《邏輯與演繹科學方法論導論》:波蘭邏輯學家塔爾斯基的《數理邏輯和數學方法 -百科知識中文網

內容提要

本書是作者塔爾斯基，A.的《論數理邏輯和演繹方法》(該書1936年最初用波蘭文出版，又於1937年出版了確切的德文譯本。書名是：《數理邏輯和數學方法論導論》)一書部分修正了的和擴充了的版本。最初寫這本書，是企圖把它當作一本通俗的科學著作；其目的是向受過相當教育的普通讀者提供一一用把科學的嚴格性和最大的可理解性結合起來的方式一一集中於現代邏輯的強大的現代思潮的一個清楚的觀念。這個思潮最初是從多少受到局限的鞏固數學基礎的任務發生的。可是，在現階段它卻具有遠見與廣泛的目的。因為它試圖創造出可為人類知識的整體提供一種共同基礎的統一的概念工具。此外，它有助於使演繹方法完全化和敏銳化，這種演繹方法在某些科學中被當作確立真理的唯一的允許的方法，而且，的確，它至少在一切智力活動的領域內，是從被公認的假設中推導出結論來的必不可少的補助的工具。周禮全等譯。

塔爾斯基

塔爾斯基，A.[AlfredTarski，1902-1983]美國國籍，波蘭邏輯學家、語言學家和哲學家，波蘭數學家，華沙邏輯學派的主要代表人物。1902年1月14日生於華沙。1924年畢業於華沙大學，獲博士學位。1926年任華沙大學講師。從1942年起在加利福尼亞大學伯克利分校任教。1946年起任數學教授。曾為《符號邏輯學報》主持編務。塔爾斯基的研究工作涉及一般代數、測度論、集合論、數理邏輯和數學基礎以及元數學等領域，其中尤以對邏輯語義學的研究引人注目。塔爾斯基認為邏輯學的學科性質類似於數學，而以這一形式出現的邏輯學，就被稱為數理邏輯或符號邏輯。塔爾斯基指出：語義學悖論的成因在於自然語言的含糊性。繼B.A.W.羅素分展語言論的工作發展和形成了理論語義學，開展了關於對象語言和元語言的研究方向。

周禮全簡介

周禮全（1921-2008），我國著名邏輯學家，哲學家。湖南省乾城（今湘西吉首）人。1946年畢業於西南聯合大學哲學系。1949年獲清華大學哲學碩士學位。曾任清華大學、北京大學講師。1955年後，歷任中國科學院哲學研究所助理研究員，中國社會科學院哲學研究所副研究員、研究員、邏輯研究室主任、學術委員會副認行委員，國務院學位委員會第一、二屆學科評議組成員，中國邏輯學會會長（1983-1996）。長期從事傳統邏輯、數理邏輯、西方邏輯史的研究。著有《論概念發展的兩個主要階段》、《模態邏輯引論》、《黑格爾的辯證邏輯》，合著有《形式邏輯》等，主要論文有《黑格爾的辯證邏輯》、《形式邏輯和自然語言》、《模態邏輯簡史》等，涉及哲學、邏輯學、邏輯史、自然語言邏輯等諸多方面。譯著有 1.《邏輯與演繹科學方法論導論》（主要譯者），商務印書館，1961年；2.《語義學引論》，商務印書館，1979年；3.《指號、語言和行為》，上海人民出版社，1989年。

經典邏輯推理以實質蘊涵為基礎

數學命題推導的有效性又由邏輯推理的規則所保證。因此可以說實質蘊涵是一切經典形式科學的基礎。但現在的問題是，邏輯學家將實質蘊涵命題p→q定義為p∨q，也就是說，在p和q的4種可能的真值組合中，只有事態p∧q使p→q為假，其它三種事態p∧q、p∧q、p∧q都使其為真；這就與日常生活和科學實踐中人們關於事實真理的推理之看法有了很大的差異。邏輯學家為什麼要這么定義實質蘊涵？就我所知，前輩邏輯哲學家似乎沒有就此提出過合理的說明，而只是進行一些實用的解釋。比如羅素曾說過：為了使從p得出q這一推論是正確無誤的，只須p為真和命題“非p或q”真；這種蘊涵關係對數學推理來說是足夠的。塔爾斯基也表達了與此相同的觀點，並指出，將實質蘊涵作為數學推理的基礎不僅非常方便，而且還取得了十分令人滿意的效果。然而對實質蘊涵的這種實用解釋並不能滿足我們的理論興趣，更何況實用根本上乃是偶然的，無法說明重言真理的必然性。我們需要的是對實質蘊涵之所以如此定義的一個邏輯哲學上合理的解釋。

尼柯標準規定

在日常生活和經驗科學研究中，關於因果性的命題可以表述為條件句的形式。就經驗知識而言，因果條件句的真值條件如何？倘若一因果條件句的前後件都是真的，則它就被認為是真的；當一條件句的前件真而後件假時，它便被認為是假的；而當一條件句的前件假時，則無論其後件的真值如何，該因果條件句都被認為並未斷言任何內容，它是無真值的。就事實真理觀來說，因果條件句具有上述的真值條件似應無可置疑。因為人們不僅在日常生活中對因果條件句的真值持這種看法，而且在對科學命題的證實或確證中也是這么行事的。在科學實踐中作為證實或確證原則而普遍適用的尼柯標準規定：任一全稱條件句形式的假說比如“所有的烏鴉是黑的”，都可符號化為（x）（F[,x]→G[,x]）（1），對命題（1）來說，一個具有F[,a]∧G[,a]形式的個體確證它，一個F[,a]∧G[,a]個體否證它，而F[,a]∧G[,a]和F[,a]∧G[,a]與對（1）的確證不相干。這表明就事實真理觀來說，（x）（F[,x]→G[,x]）（1）肯定的是所有的F[,a]∧G[,a]，它排斥的是任一個F[,a]∧G[,a]，而對F[,a]∧G[,a]和F[,a]∧G[,a]沒作任何斷言。另一方面，根據邏輯學的定義，（1）斷言的是F[,x]→G[,x]的所有替換事例都是真的，即F[,a]→G[,a]、F[,b]→G[,b]…等等都是真的。由此看來，（1）獲得確證和否證的邏輯機制便十分明顯了。為什麼我們觀察到F[,a]∧G[,a]時就對（1）進行了一次確證？因為F[,a]∧G[,a]使（1）的一個替換事例F[,a]→G[,a]為真，而（1）斷言的是所有它的替換事例都是真的，故而這就達到了對（1）的一次確證。同理，如果我們觀察到F[,a]∧G[,a]就使得（1）的一個替換事例F[,a]→G[,a]為假，從而使得（1）關於其任何替換事例都為真的斷言不成立。與此相應，當我們觀察到F[,a]∧G[,a]或F[,a]∧G[,a]時，與對（1）的任何一個替換事例的證實和否證都不相干，故相應地亦與（1）所斷言或排斥的內容不相干。
以上討論使我們清楚了，就經驗知識所涉及的範圍而言，事態p∧q使因果條件句p→q為真，事態p∧q使其為假，而p∧q和p∧q與對它的證實不相干。容易引起爭議的是，具有什麼樣真值條件的條件句才可算作因果條件句，這個問題由於一時難以澄清，況且與本題並無直接關係，讓我們暫且擱置不論。在這裡我們只需作一個推斷：上述真值條件是作為因果條件句的必要條件，但是否是作為因果條件句的充分條件暫且不論。

事實真理觀和邏輯真理觀卻有了差異

由此可知，就經驗和形式知識而言，對條件句p→q可從事實真理觀和邏輯真理觀兩個方面來理解。作為經驗知識的因果句和作為形式知識的蘊涵句在使其為假的事態上是完全一樣的，即僅p∧q使它們為假；但在使作為知識的條件句p→q為真的事態的看法上，事實真理觀和邏輯真理觀卻有了差異。究其原因，乃因為，一般而言事實真理的本質在於命題對相關事態的“符合”，這裡只取這種“符合”的直覺含義。事實真理觀將其前後件都為真看作是因果句之唯一的為真的真值條件，正滿足了這種“符合”直覺。而倘若我們對邏輯學關於邏輯常詞的有關定義作一番細緻深入的反思，就不難發現，邏輯真理實質上無非是邏輯命題必然地排除使得自身為假的事態的方式而已。邏輯真理既必然地不可能為假，又必然地不可能只在“符合”的意義上為真；由此便得出，與事實真理的實質在於“符合”不同，邏輯真理的實質在於必然的排假。僅當在必然的排假的意義上邏輯真理才可必然地為真，“符合”意義上的真理總是偶然的。

真假的觀念最先起源於經驗知識方面

從歷史上看，真假的觀念最先起源於經驗知識方面，邏輯知識中的真假概念只是對它的引申而已。在事實真理觀看來，對一命題而言，在諸相關事態中，有的事態使其為真，有的事態使其為假，而其它事態則對該命題真值的確定無關。然而邏輯真理觀卻將那些與一命題真值無關的事態都定義為可使該命題為真；比如將p∧q和p∧q都定義為是使p→q為真的真值條件。邏輯學家們為什麼要這樣定義？簡單地講，乃為了使邏輯學中所謂（與假相對而言的）真之實質不在於“符合”，而在於排假，從而保持邏輯命題的二值性，以為邏輯真理之重言永真性奠定最廣闊的基礎；我們在下文的討論中將要表明，沒有這種定義所奠定的廣闊基礎，邏輯真理將只可能建立於嚴格的同義反覆的狹隘基礎之上，這種條件下的邏輯真理從實質上看的確瑣屑無聊。因此，邏輯真理之所以是永真的，或必然地不為假的，乃因為邏輯真理必然地排假，除此之外再無其它邏輯可能性。這即是邏輯推理的有效性的根源。

有效推理都可不具同義反覆性

倘若關於邏輯真理的這個觀點能夠成立

我們便可由此出發來論證有效的邏輯推理無論在事實內容方面還是邏輯內容方面都可是必然保真擴大的；換言之，在這兩個方面有效推理都可不具同義反覆性。以重言式p→p∨q（2）為例，在事實真理觀看來，（2）之前件p所斷言的事實內容為p，而既然合取命題p∧q和析取命題p∨q所斷言的內容在事實真理觀和邏輯真理觀來看基本相同，則我們就可認為（2）之後件p∨q所斷言的事實內容即為p∨q。這樣從p所斷言的事實內容p為真，可推出p∨q所斷言的事實內容p∨q為真，但p和p∨q在自然語言中絕不必然同義，因而p∨q之事實內容也不必然地與p的事實內容相同或包含於其中。試構想一個使用自然語言十分嚴肅的場合比如法庭審判，假設p表示“A犯了謀殺罪”，p∨q表示“A犯了謀殺罪或A違反了交通規則”。在這裡當p真時，p∨q亦必真。按正統的觀點，p→p∨q既是同義反覆的，那么在p和p∨q的事實內容的關係上就有兩種可能性：或者p∨q的事實內容包含於p的之中，或者p∨q的事實內容與p的是相同的。不過既然p是沒有邏輯結構的原子命題，則p的事實內容就是構成命題的獨立的最小意義單位。因此，p∨q的事實內容便不可能是p的事實內容之一部分（即包含於p的之中），因為作為命題，p∨q的事實內容不可能比p的事實內容更小。所以唯一的可能是p∨q的事實內容與p的事實內容相同。現在如果法庭認定p為真，則應依法對A處以極刑。可如法庭不知p為真，只認定p∨q為真，則無論怎樣分析p∨q的意義也不能依法處A以極刑，因為嚴格地講，p∨q僅表示關於兩個事實的可能性而非確鑿的事實。但若p∨q與p果真同義（即它們的事實內容相同），則法庭只須分析清楚p∨q的涵義就應依法對A處以極刑，就像在認定p真時所該做的那樣。可法庭是無權只根據關於事實的可能性就依法給被告定罪的，即使這種可能性有著所謂充分的證據。所以p∨q和p在事實內容上並不同義，就此而論，p∨q的事實內容大於p的事實內容，重言推理p→p∨q在事實內容方面必然保真地擴大了。

什麼是邏輯命題的邏輯內容

另一方面，重言推理在邏輯內容上也是可必然保真擴大的。然而確切地講，什麼是邏輯命題的邏輯內容？邏輯真理的本質既在於必然的排假，那么我們就可運用邏輯命題所排除之事態的大小來定義命題的邏輯內容。但內容是一個相對的概念，只有在與其它內容的比較中一內容才可得到自身明確的定義。並不是任意兩個邏輯命題的邏輯內容都是可比較的，正如並非任意兩個事實命題的事實內容都是可比較的一樣。我們必須運用邏輯命題的排假方式（即使得該命題為真的真值條件）和命題使用這些排假方式所排除之事態（即使得該命題為假的真值條件）的結合來為命題的邏輯內容下定義：僅當兩個邏輯命題的排假方式以如下形式相聯繫，使得在這兩個命題分別作為一推理的前後件時，該推理的形式是個重言式；在這種條件下，這兩個命題的邏輯內容才是可比的，而這些命題所排事態之大小就是衡量它們邏輯內容大小的標準。換言之，只有有效推理之前後件的邏輯內容才是可比較的，因為我們只對有效推理感興趣，只有有效推理所產生的結果才可作為邏輯知識，根據上述定義，命題p→p∨q（2）既是個重言式，其前後件的邏輯內容就是可比的。（2）之前件所排事態為p，其後件所排事態則為p∧q，其後件所排事態明顯地大於其前件所排之事態，故命題（2）為邏輯內容必然保真擴大推理。重言命題（3）p→（q→p）的情況也一樣，因為它的後件所排事態q∧p明顯地大於其前件所排事態p。同理，（q→r）→〔p∨（q→r）〕（4）之前件所排事態為q∧r，其後件所排事態為p∧（q∧r），其後件所排事態亦明顯地大於其前件所排事態。故（2）、（3）和（4）之前後件都並非是同義反覆表達式：它們因此都是必然保真擴大推理。此外，重言式p∨p排除的是矛盾式p∧p，後者表示不可能事態，故凡是排除可能事態的命題之邏輯內容都大於p∨p的邏輯內容。而p∧p既是永假式，則就沒有任何邏輯內容。

邏輯等值意味著什麼

然而我們現在似乎遇到了一個反例；為了弄清這一點，首先讓我們考察一下邏輯等值意味著什麼。按照傳統的觀點，邏輯等值命題的內容是相同的；確切地講，按照我們的觀點，就兩個等值命題的關係而言，邏輯等值式實際上乃表示等值命題可用互相通用的方式對同一使它們為假的事態的排除。以p→q←→p∨q（5）為例，該等值式表示，在p和q的4種可能的真值組合中，其左右支均可用p∧q、p∧q、p∧q這三種方式排除唯一使它們為假的事態p∧q。既然p→q和p∨q所排除之事態和所用之排假方式都相同，故它們的邏輯內容完全相同，（5）式之重言性就表明了這一點。但是，命題（6）p←→p∨（q∧q）也是重言等值式，由於p∨（q∧q）可變形為（p∨q）∧（p∨q），根據（6），p→p∨q（2）即可表示為（p∨q）∧（p∨q）→p∨q（7），在p和q的4種可能真值組合（事態）1.p∧q、2.p∧q、3.p∧q、4.p∧q中，（7）之前件排除3和4事態，而其後件僅排除3事態，因此（7）之前件的邏輯內容大於其後件的邏輯內容。p既與（7）之前件邏輯等值，p的邏輯內容就應大於p∨q的邏輯內容；這對我們在前面關於p→p∨q（2）在邏輯內容上是必然保真擴大推理的論證是個反例，它促使我們進一步地去研究邏輯等值到底意味著什麼。

都具有真值的原子事態

為了較精確表述起見，將“邏輯內容[,1]”定義為可使有效推理的前後件都具有真值的原子事態如p、q、r等，由這類原子事態所組成的複合事態如p∧q等亦屬這個範疇；將“邏輯內容[,2]”定義為只使有效推理的前後件之一個具有真值而不能使另一個也具有真值的（原子）事態。再以p→p∨q（2）為例，p可使（2）之前後件都具有真值，當p出現時，其前後件都為真，故p對（2）而言是邏輯內容[,1]。另一方面，q只能使（2）之後件p∨q具有真值，卻不能使其前件p具有真值，因為p的真值與q是否出現無關，q對於（2）即是邏輯內容[,2]。具體說來，（6）可改寫成p←→p∧（q∨q）（8），而（8）之左支所排對象為p，其右支所排對象為p∨（q∧q），在這裡對（8）而言，由於其左右支都排除了p，故p是邏輯內容[,1]；而（q∧q）則涉及到了可能事態q。因為q∧q作為複合命題雖表示不可能事態，但其由以構成的原子命題卻涉及了可能事態q，這一點在推論中對有關命題的邏輯內容的確定起到了重要的作用。如果說任何命題的確立都是以否定矛盾式為前提的，那么（8）之左支p所排除的矛盾式應是（p∧p）而不是（q∧q）。簡而言之，（8）之左右支所排邏輯內容[,1]相同，但其所排邏輯內容[,2]卻不同。聯繫到前面對等值式的討論，可知等值命題之左右支所排邏輯內容[,1]是相同的，可如涉及了邏輯內容[,2]〔像（8）那樣〕，則它們所排邏輯內容[,2]自然並不相同。如此說來，（8）之左右支的邏輯內容[,1]相同，但其右支涉及了作為邏輯內容[,2]的q，其左支與q無關，故（8）之右支的邏輯內容[,2]大於其左支的邏輯內容[,2]。由此可知，諸邏輯等值命題的邏輯內容[,1]必相同；但如果其中一命題論及了而另一命題卻沒有論及邏輯內容[,2]，則當然前一命題的邏輯內容[,2]大於後一命題的邏輯內容[,2]。這樣，回過頭來再考察前面所述的那個反例，即可看出，p的邏輯內容[,2]小於（p∨q）∧（p∨q）的邏輯內容[,2]；但它們的邏輯內容[,1]則相同，這使得p和（p∨q）∧（p∨q）在有效推理中可互相等值地代換而不影響推理的有效性。這就說明了何以p→p∨q（2）是並非同義反覆的重言式，而從（2）通過（6）推導出的（p∨q）∧（p∨q）→p∨q（7）卻是同義反覆的重言式的緣故。因為p∨q的邏輯內容[,2]大於p的邏輯內容[,2]，儘管它們的邏輯內容[,1]相同，因此p→p∨q（2）是邏輯內容擴大的重言推理。另一方面，（7）之前件（p∨q）∧（p∨q）的邏輯內容[,1]大於其後件p∨q的邏輯內容[,1]，由於（7）的前後件涉及的事態完全相同，使得（7）沒有邏輯內容[,2]，故（7）是同義反覆的重言式。而由（2）的非同義反覆性推出（7）的同義反覆性，乃是利用了（6）的邏輯內容[,2]之擴大性的緣故，換言之，在通過（6）從邏輯內容上具有非同義反覆性的（2）推出（7）的過程中，就將（6）的所擴大了的邏輯內容代入了（2）之前件從而得出了（7）的同義反覆性。至此即可得出，（2）和（3）p→（q→p）的並非同義反覆性都導源於它們的邏輯內容[,2]的擴大。（3）之後件所排對象為q∧p，其前件所排對象為p，所以其後件在邏輯內容[,2]上大於其前件。p→（p→q）（9）的情況也一樣，（9）之前件所排對象為p，其後件所排對象為p∧q，故（9）之後件的邏輯內容[,2]大於其前件的邏輯內容[,2]。另一方面，以p∧q→p（10）為例，其前件所排對象p∨q，其後件所排對象是p，因此（10）之前後件的邏輯內容[,1]相同，可其前件的邏輯內容[,2]大於其後件的邏輯內容[,2]，故（10）是同義反覆的。

重言式都因此而具有非同義反覆性

綜上所述，我們似已有較充分的理由作出如下推斷：有效邏輯推理在邏輯內容上有不擴大（同義反覆）的和擴大（非同義反覆）的兩類。有效推理的邏輯內容[,1]必不是擴大的；而凡是並非同義反覆的有效推理，其邏輯內容的擴大必是其邏輯內容[,2]的擴大之所致。從理論上講，這是因為根據有效推理的邏輯本性，其前件為假的真值條件的數目不可能少於其後件為假的真值條件的數目，否則即為無效推理。這事實使得有效推理的邏輯內容[,1]必不是擴大的；換言之，有效推理的必然保真性使得其邏輯內容[,1]必具不擴大性。此外，這事實並不排斥有效推理在邏輯內容[,2]上的可擴大性；換言之，其邏輯內容[,2]的可擴大性，使得有效推理可具有必然保真的並非同義反覆性。事實上，我們現在已有理由斷言，大部分重要的重言式都因此而具有非同義反覆性。