簡介
數學相關書籍數學是研究現實世界中數量關係和空間形式的科學。簡單地說，是研究數和形的科學。由於生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，並由用手指或實物計數發展到用數字計數。基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。
數學被使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的套用通常被稱為套用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家亦研究沒有任何實際套用價值的純數學，即使其套用常會在之後被發現。
創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。
數學就是一種變換，一個抽象模型，一個符號系統， 現實世界轉換成數學模型，用數學語言描述出來之後， 經過運算，結果能夠重新返回，解釋成現實世界中具體的科學。
詞源
數學（mathematics；希臘語：μαθηματικ?）這一詞在西方源自於古希臘語的μ?θημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹意且技術性的意義－“數學研究”，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικ??（mathēmatikós），意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的複數形式，及在法語中的表面複數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性複數mathematica，由西塞羅譯自希臘文複數τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指“萬物皆數”的概念。（拉丁文：Mathemetica)原意是數和數數的技術。中國古代把數學叫算術，又稱算學，後來才改為數學。
歷史
數學相關書籍數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικ（mathematikós）意思是“學問的基礎”，源於μ?θημα（máthema）數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解了如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。
從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關係，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。
到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關係和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。
數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，“存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。”
中國歷史
數學相關書籍數學古稱算學，是中國古代科學中一門重要的學科，根據中國古代數學發展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發展；繁榮和中西方數學的融合。
中國古代數學的萌芽
原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字元號取代結繩記事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、準、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。
商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。 公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為“六藝”之一的數已經開始成為專門的課程。 春秋戰國之際，籌算已得到普遍的套用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛套用，在數學上亦有相應的提高。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。 而墨家則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。 墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。 名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。
中國古代數學體系的形成
秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標誌是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。 《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。
《九章算術》有幾個顯著的特點：採用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視套用，缺乏理論闡述等。 這些特點是同當時社會條件與學術思想密切相關的。秦漢時期，一切科學技術都要為當時確立和鞏固封建制度，以及發展社會生產服務，強調數學的套用性。最後成書於東漢初年的《九章算術》，排除了戰國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重於與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法，這與當時社會的發展情況是完全一致的。 《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，並成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的發展。
相關人物
中國古代數學家——劉徽
劉徽(生於公元250年左右)，三國後期魏國人，是中國古代傑出的數學家，也是中國古典數學理論的奠基者之一。其生卒年月、生平事跡，史書上很少記載。據有限史料推測，他是魏晉時代山東鄒平人。終生未做官。他在世界數學史上，也占有傑出的地位。他的傑作《九章算術注》和《海島算經》，是中國最寶貴的數學遺產。
劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人。劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給人們中華民族留下了寶貴的財富。
中國古代數學家——祖沖之
祖沖之圖冊祖沖之在數學上的傑出成就，是關於圓周率的計算秦漢以前，人們以徑一周三做為圓周率，這就是古率．後來發現古率誤差太大，圓周率應是圓徑一而周三有餘，不過究竟余多少，意見不一直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法--割圓術，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長劉徽計算到圓內接96邊形，求得π=3.14，並指出，內接正多邊形的邊數越多，所求得的π值越精確。祖沖之在前人成就的基礎上，經過刻苦鑽研，反覆演算，求出π在3.1415926與3.1415927之間並得出了π分數形式的近似值，取22/7為約率，取355/133為密率，其中355/133取六位小數是3.141929，它是分子分母在1000以內最接近π值的分數。祖沖之究竟用什麼方法得出這一結果，現在無從考查若構想他按劉徽的割圓術方法去求的話，就要計算到圓內接16，384邊形，這需要花費多少時間和付出多么巨大的勞動啊！由此可見他在治學上的頑強毅力和聰敏才智是令人欽佩的祖沖之計算得出的密率， 外國數學家獲得同樣結果，已是一千多年以後的事了為了紀念祖沖之的傑出貢獻，有些外國數學史家建議把π=叫做祖率。
華人命名
數學【李氏恆等式】數學家李善蘭在級數求和方面的研究成果，在國際上被命名為“李氏恆等式”。
【華氏定理】數學家華羅庚關於完整三角和的研究成果被國際數學界稱為“華氏定理”；另外他與數學家王元提出多重積分近似計算的方法被國際上譽為“華—王方法”。
【蘇氏錐面】數學家蘇步青在仿射微分幾何學方面的研究成果在國際上被命名為“蘇氏錐面”。
【熊氏無窮級】數學家熊慶來關於整函式與無窮級的亞純函式的研究成果被國際數學界譽為“熊氏無窮級”。
【陳示性類】數學家陳省身關於示性類的研究成果被國際上稱為“陳示性類”。
【周氏坐標】數學家周煒良在代數幾何學方面的研究成果被國際數學界稱為“周氏坐標；另外還有以他命名的“周氏定理”和“周氏環”。
【吳氏方法】數學家吳文俊關於幾何定理機器證明的方法被國際上譽為“吳氏方法”；另外還有以他命名的“吳氏公式”。
【王氏悖論】數學家王浩關於數理邏輯的一個命題被國際上定為“王氏悖論”。
【柯氏定理】數學家柯召關於卡特蘭問題的研究成果被國際數學界稱為“柯氏定理”；另外他與數學家孫琦在數論方面的研究成果被國際上稱為“柯—孫猜測”。
【陳氏定理】數學家陳景潤在哥德巴赫猜想研究中提出的命題被國際數學界譽為“陳氏定理”。
【楊—張定理】數學家楊樂和張廣厚在函式論方面的研究成果被國際上稱為“楊—張定理”。
【陸氏猜想】數學家陸啟鏗關於常曲率流形的研究成果被國際上稱為“陸氏猜想”。
【夏氏不等式】數學家夏道行在泛函積分和不變測度論方面的研究成果被國際數學界稱為“夏氏不等式”。
【姜氏空間】數學家姜伯駒關於尼爾森數計算的研究成果被國際上命名為“姜氏空間”；另外還有以他命名的“姜氏子群”。
【侯氏定理】數學家侯振挺關於馬爾可夫過程的研究成果被國際上命名為“侯氏定理”。
【周氏猜測】數學家周海中關於梅森素數分布的研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。
【王氏定理】數學家王戌堂關於點集拓撲學的研究成果被國際數學界譽為“王氏定理”。
【袁氏引理】數學家袁亞湘在非線性規劃方面的研究成果被國際上命名為“袁氏引理”。
語言
數學相關書籍在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出複雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產生的。大部份數學符號都是到了16世紀後才被發明出來了。在此之前，數學被以文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程式。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。
數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者，如開放和域等字在數學裡有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹”。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的“定理”，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。
領域
早期的數學完全著重在演算實際運算的需要上，有如反映在中國算盤上的一般。如同上面所述一般，數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(套用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。
數與代數，空間與圖形，統計與機率，綜合實踐活動等四大領域。
分類
數學課堂1、初等數學和古代數學：這是指17世紀以前的數學。主要是古希臘時期建立的歐幾里得幾何學，古代中國、古印度和古巴比倫時期建立的算術，歐洲文藝復興時期發展起來的代數方程等。
2、變數數學：是指17--19世紀初建立與發展起來的數學。從17世紀上半葉開始的變數數學時期，可以分為兩個階段：17世紀的創建階段（英雄時代）與18世紀的發展階段（創造時代）。
3、近代數學：是指19世紀的數學。近代數學時期的19世紀是數學的全面發展與成熟階段，數學的面貌發生了深刻的變化，數學的絕大部分分支在這一時期都已經形成，整個數學呈現現出全面繁榮的景象。
4、現代數學：是指20世紀的數學。1900年德國著名數學家希爾伯特（D. Hilbert）在世界數學家大會上發表了一個著名演講，提出了23個預測和知道今後數學發展的數學問題（見下），拉開了20世紀現代數學的序幕。
從橫向劃分：
1、基礎數學（英文：Pure Mathematics）又稱為理論數學或純粹數學，是數學的核心部分，包含代數、幾何、分析三大分支，分別研究數、形和數形關係。
2、套用數學。簡單地說，也即數學的套用。
3、計算數學。研究諸如計算方法（數值分析）、數理邏輯、符號數學、計算複雜性、程式設計等方面的問題。該學科與計算機密切相關。
4、機率統計。分機率論與數理統計兩大塊。5、運籌學與控制論。運籌學是利用數學方法，在建立模型的基礎上，解決有關人力、物資、金錢等的複雜系統的運行、組織、管理等方面所出現的問題的一門學科。
學科分布
具有數學一級學科國家重點學科的大學：
| 北京大學 |
| 北京協和醫學院-清華大學醫學部 |
| 清華大學 |
| 北京師範大學 |
| 南開大學 |
| 吉林大學 |
| 復旦大學 |
| 南京大學 |
| 浙江大學 |
| 中國科學技術大學 |
| 山東大學 |
| 四川大學 |
| 基礎數學 | 中山大學 |
| 首都師範大學 | |
| 廈門大學 | |
| 華東師範大學 | |
| 武漢大學 | |
| 計算數學 | 湘潭大學 |
| 大連理工大學 | |
| 西安交通大學 | |
| 機率論與數理統計 | 中南大學 |
| 套用數學 | 新疆大學 |
| 運籌學與控制論 | （無） |
數學難題
數學 計算公式圖一：P（多項式算法）問題對NP（非多項式算法）問題
在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裡掃視，並且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13，717，421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程式是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）於1971年陳述的。
二：霍奇(Hodge)猜想
二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程式的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
三：龐加萊(Poincare)猜想（已被證明）
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。
四：黎曼(Riemann)假設
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其套用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函式z(s$的性態。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。
五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對巨觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中套用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函式z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那么存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那么只存在有限多個這樣的點。
哥德巴赫猜想
在1742年6月7日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了以下猜想：a)任一不小於6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和；b)任一不小於9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。現在通常把這兩個命題統稱為哥德巴赫猜想。把命題"任何一個大偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"，哥氏猜想就是要證明"1+1"成立。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任何一個大偶數都可表示成一個素數與另一個素因子不超過2個的數之和"。
六藝
中國古代儒家要求學生掌握的六種基本才能：禮、樂、射、御、書、數。出自《周禮•保氏》：“養國子以道，乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數。” 這就是所說的“通五經貫六藝”的“六藝”。
