餘弦定理

餘弦定理

餘弦定理,是描述三角形中三邊長度與一個角的餘弦值關係的數學定義,是勾股定理在一般三角形情形下的推廣。它的歷史可追溯至西元三世紀前歐幾里得的幾何原本,在書中將三角形分為鈍角和銳角來解釋,這同時對應現代數學中餘弦值的正負餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理,直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題,若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識,則使用起來更為方便、靈活。直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的餘弦值。利用餘弦定理,可以判斷三角形形狀。同時,還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。解三角形時,除了用到餘弦定理外還常用正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

基本信息

定理套用

餘弦定理是解三角形中的一個重要定理,可套用於以下兩種需求:

當已知三角形的兩邊及其夾角,可由余弦定理得出已知角的對邊。

當已知三角形的三邊,可以由余弦定理得到三角形的三個內角。

求邊

餘弦定理公式可變換為以下形式:

餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理

因此,如果知道了三角形的兩邊及其夾角,可由余弦定理得出已知角的對邊。

三角函式

餘弦定理餘弦定理

如上圖所示,△ABC,在c上做高,將c邊寫:

餘弦定理餘弦定理

將等式同乘以c得到:

餘弦定理餘弦定理

運用同樣的方式可以得到:

餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理

將兩式相加:

餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理

向量

餘弦定理餘弦定理

中,

餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理

求角

餘弦定理公式可變換為以下形式:

餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理

因為餘弦函式在

上的單調性,可以得到:

餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理
餘弦定理餘弦定理

因此,如果已知三角形的三條邊,可以由余弦定理得到三角形的三個內角。

歷史

餘弦定理的歷史可追溯至西元三世紀前歐幾里得的幾何原本,在書中將三角形分為鈍角和銳角來解釋,這同時對應現代數學中餘弦值的正負。

作用

(1)已知三角形的三條邊長,可求出三個內角

(2)已知三角形的兩邊及夾角,可求出第三邊。

(3)已知三角形兩邊及其一邊對角,可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式,推導過程略。)

判定定理一(兩根判別法):

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數,c1為c的表達式中根號前取加號的值,c2為c的表達式中根號前取

減號的值

①若m(c1,c2)=2,則有兩解

②若m(c1,c2)=1,則有一解

③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。

注意:若c1等於c2且c1或c2大於0,此種情況算到第二種情況,即一解。

判定定理二(角邊判別法):

一當a>bsinA時

①當b>a且cosA>0(即A為銳角)時,則有兩解

②當b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

③當b=a且cosA>0(即A為銳角)時,則有一解

④當b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

⑤當b

二當a=bsinA時

①當cosA>0(即A為銳角)時,則有一解

②當cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

三當a

解三角形公式解三角形公式

解三角形公式

例如:已知△ABC的三邊之比為5:4:3,求最大的內角。

解 設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大邊對大角可知:∠A為最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中,AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之長。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7. (注:cos60=0.5,可以用計算器算)

以上兩個小例子簡單說明了餘弦定理的作用。

平面幾何證法

在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所對的邊為c,∠B所對的邊為b,∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得:

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

其他

從餘弦定理和餘弦函式的性質可以看出,如果一個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方,那么第三邊所對的角一定是直角,如果小於第三邊的平方,那么第三邊所對的角是鈍角,如果大於第三邊的平方,那么第三邊所對的角是銳角。即,利用餘弦定理,可以判斷三角形形狀。同時,還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。

解三角形時,除了用到餘弦定理外還常用正弦定理。

30°

45°

60°

75°

Sin

1/2

√2/2

√3/2

(√6+√2)/4

Cos

√3/2

√2/2

1/2

(√6-√2)/4

Tan

√3/3

1

√3

2+√3

先考慮怎樣計算三角形第三邊的長

餘弦定理的實際套用

在實際生活中,餘弦定理是在計算機應有技術中的智慧型推薦系統,新聞分類中的基本算法之一。從吳軍的《數學之美》那本書上知道餘弦公式是可以對新聞進行分類的,當然就可以用來對用戶進行分類了。引用《數學之美》文章中的話:"向量實際上是多維空間中有方向的線段。如果兩個向量的方向一致,即夾角接近零,那么這兩個向量就相近。而要確定兩個向量方向是否一致,這就要用到餘弦定理計算向量的夾角了。" "當兩條新聞向量夾角的餘弦等於一時,這兩條新聞完全重複(用這個辦法可以刪除重複的網頁);當夾角的餘弦接近於一時,兩條新聞相似,從而可以歸成一類;夾角的餘弦越小,兩條新聞越不相關。 "同理,可以在推薦系統中用來計算用戶或者商品的相似性。

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