塞瓦定理

塞瓦定理

塞瓦定理,是指在△ABC內任取一點O,延長AO、BO、CO分別交對邊於D、E、F,則(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。塞瓦(Giovanni Ceva,1648~1734)義大利水利工程師,數學家。塞瓦定理載於塞瓦於1678年發表的《直線論》一書,也有書中說塞瓦定理是塞瓦重大發現。塞瓦定理記憶法:三頂點選一個作為起點,定一方向,繞一圈,三組比例相乘為1。

基本信息

證法

(Ⅰ)本定理可利用梅涅勞斯定理(簡稱梅氏定理)證明:

塞瓦定理塞瓦定理

∵△ADC被直線BOE所截,

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①

∵△ABD被直線COF所截,

∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②/①約分得:

(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

(Ⅱ)也可以利用面積關係證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③

同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④,AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③×④×⑤得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

證明定理

塞瓦定理塞瓦定理

①利用塞瓦定理逆定理證明三角形三條高線必交於一點:

設△ABC三邊的高分別為AE、BF、CD,垂足分別為D、E、F,

根據塞瓦定理逆定理,因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cot∠BAC)/[(CD*cotABC)]*[(AE*cotABC)/(AE*cotACB)]*[(BF*cotACB)/[(BF*cotBAC)]=1,所以三條高CD、AE、BF交於一點。

②三角形三條中線交於一點(重心):

塞瓦定理證明三條中線交於一點塞瓦定理證明三條中線交於一點

如右圖:已知,D、E分別為△ABC的邊BC、AC的中點,連線AD、BE相交於點O,連線CO並延長

交AB於F

求證:AF=FB

證明:∵BD=DC,CE=EA

∴BD/DC=1,CE/EA=1

由塞瓦定理得

(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

∴AF/FB=1∴AF=FB,

∴CF為AB邊上的中線

∴三角形三條中線交於一點(重心

③用塞瓦定理還可以證明三條角平分線交於一點

此外,可用定比分點來定義塞瓦定理:

在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。於是AL、BM、CN三線交於一點的充要條件是λμν=1。(注意與梅涅勞斯定理相區分,那裡是λμν=-1)

塞瓦定理推論

1.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交於一點的充分必要條件是:

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

由正弦定理及三角形面積公式易證

2.對於圓周上順次6點A,B,C,D,E,F,直線AD,BE,CF交於一點的充分必要條件是:

(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圓弦長與所對圓周角關係易證。

數學意義

使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算,其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法,是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理,具有重要的作用。塞瓦定理的對偶定理是梅涅勞斯定理

記憶方法

塞瓦定理塞瓦定理
塞瓦定理的優點多多,但是卻不是特別好記,這裡有一個方法相當於BD*CE*AF=DC*EA*FB(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,發現等式左右兩端字母竟然是一樣的。

可以如下表述,在記憶(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1時,可理解為在符合在三邊線段的前提下,分母分子字母一樣,且分母分子內部有相同字母

另外一種記憶方式是,將圖中的ABC作為頂點,圖中的DEF作為分點,則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)可以看做是:頂點到分點(BD),該分點到另一頂點(DC),頂點再到分點(CE),分點再到頂點(EA),頂點再到分點(AF),分點再到頂點(FB)。一個循環。

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