位勢論

位勢的概念來源於物理學中的萬有引力理論。它同黎曼曲面論、偏微分方程、調和分析、機率論等數學分支也有著緊密的聯繫。

位勢論

正文

位勢的概念來源於物理學中的萬有引力理論。因為位勢在不分布質量的地方是調和的，所以關於狄利克雷問題的研究一直是位勢論中的一個重要內容。由於（G.F.）B.黎曼把位勢論和函式論統一處理，以及現代分析的基礎理論（如泛函分析、測度論、廣義函式、拓撲學等）在位勢論中的深入套用，位勢論成了數學領域內比較徹底地完成了現代化變革的一個分支。它同黎曼曲面論、偏微分方程、調和分析、機率論等數學分支也有著緊密的聯繫。
基本概念和主要原理　設Ω是n維(n≥2)歐幾里得空間Rn中的一個區域,μ是拉東測度(以下簡稱測度,若μ是非負的,也用μ≥0表示),它的支柱S(μ)嶅Ω，K(x,y)是定義在Ω×Ω上的廣義實值函式，那么

稱為測度μ 的K位勢。K(x,y)則稱為位勢U(x)的核函式。
用|·|表示Rn中的範數，當

時，U(x)稱為平面上的對數位勢。當Ω=Rn(n≥3),0<α<n，K(x,y)=|x-y|時，U(x)稱為μ的α位勢（或里斯位勢），此時也記作U(x)。特別α=2時，U(x)稱為μ的牛頓位勢。下面限於討論U扝∞的情形。
對Rn里的兩個測度μ和v,把

稱為μ，v的α相互能量。特別稱Iα(μ)=Iα(μ,μ)為μ的α能量。
把支柱包含在緊集K中且總質量等於1的非負測度全體記作，令則稱為緊集K的α容量。對任意集合E，把稱為E的α內容量，把

稱為E的α外容量。若Cα(E)=婔α(E)，則說E是α可定容的。G.紹凱證明了所有解析集,從而所有的波萊爾集是α可定容的。
當Cα(E)=0（或婔α(E)=0）時,稱E為α內（或外）零容集。一個性質若除了一個α內零容集外處處成立,則說該性質近乎處處成立；若除了一個α 外零容集外處處成立,則說該性質似乎處處成立。對任意零容的緊集K都有v(K)=0的測度v稱為C絕對連續測度。
集合E稱為α極集，若存在測度μ≥0,其α位勢在且僅在E上等於+∞。E是α極集的充要條件是:E為α零容的GΛ集。
對緊集 K，關於渾收斂拓撲是緊的，從而存在使

稱為K的α平衡測度,它滿足:(v(1)是v的總質量)。它的位勢Uǎ(x)稱為K的α平衡位勢α它滿足：在S(v)處處成立而 在K上近乎處處成立。特別當0<α≤2時,由第一極大值原理知在Rn處處成立。
對任意集E,當Cα(E)<∞（或婔α(E)<∞）時有相應的內(外)平衡測度。當0<α≤2,α<n，若E可定容且Cα(E)<∞時,E的內、外平衡測度相等,稱之為E的平衡測度。此時v是滿足①支柱在唕,②v(1)=Cα(E),③在E上似乎處處有諸條件的惟一測度。平衡測度是C絕對連續的，而平衡位勢Uǎ(x)是這樣一族α位勢U(x)的下確界:μ≥0且U(x)≥1在E上似乎處處成立。因此，若μ≥0且在E上似乎處處成立,則μ的總質量μ(1)≥Cα(E)。
由於測度的α能量非負,所以能量有限的測度全體在通常的線性組合的意義下，以Iα(μ，v)為內積構成一個實的準希爾伯特空間εα,其中非負測度全體ε是εα的一個完備凸錐。若K緊,那么支柱含於K中的具有限α能量的非負測度全體ε(K)是ε的完備凸子錐，因此ε的任何元素μ在ε(K)上有惟一的正交投影βKμ，即滿足當0<α≤2時，βKμ是掃除問題的解，即βKμ滿足：在Rn處處成立且等號在K上似乎處處成立。
若不假定μ≥0的能量有限，則存在惟一的支柱含於K的測度βKμ使得方程

對任意λ∈ε成立且βKμ是掃除問題的解。
當0<α≤2,α<n時,對α容量有限的波萊爾集E及測度μ≥0，設A是E的緊子集全體以包含關係為序的有向集，則網{βKμ|K∈A}的渾極限βEμ存在,稱βEμ為μ到E的掃除測度,掃除測度βEμ是μ到E的掃除問題的解,且掃除位勢是在E上似乎處處滿足的位勢族{U(x)}的下確界函式。
設εx是在點x的狄喇克測度，則βEεC稱為E的α格林測度。對任意測度μ,。當x0∈唕且時,稱x0為E的α正則點,當x0∈唕而時，稱x0為E的α非正則點。
開集Ω的邊界記作дΩ,余集記作CΩ,稱 為Ω的α格林函式。以格林函式為核的位勢叫做格林位勢。當 α=2時，對任意的波萊爾集E吇дΩ，由定義的дΩ上的測度ωy稱為關於y的調和測度,其中XE表示E的特徵函式。
當2<α<n時,關於測度的掃除問題一般無解，但J.德尼利用廣義函式解決了這個問題。
用ε宎表示單位質量在以y為球心，r為半徑的球面的均勻分布。若函式ƒ在Ω里下半連續且滿足
①
② 對任何x∈Ω,存在正數ρ使對任意正數r<ρ有

則稱ƒ在Ω里超調和。不恆等於+∞的超調和函式稱為上調和函式。若-ƒ上調和，就說ƒ下調和,既上調和又下調和的函式叫調和函式。
當2≤α<n時,α位勢U(x)是上調和函式。里斯分解定理指出:ƒ在區域Ω里上調和的充要條件是存在惟一的Ω上的測度μ≥0，使得對任何相對緊的區域Ω1嶅捙1嶅Ω有

,

這裡μ|Ω1表示μ在Ω1的限制，在Ω1里調和。
當0<α<2時，α位勢不是上調和函式。但當U(x)是μ幾乎處處有限時，它是α上調和函式。一個函式稱為α上調和函式,指的是滿足下麵條件的非負的不恆為+∞的下半連續函式：
①
② 式中
　如果在x0的一個鄰域內連續的函式滿足條件①且對充分小的r恆有 則稱ƒ(x)在x0是α調和的。若ƒ(x)在集Ω上點點α調和，則稱ƒ在Ω里α調和。對於α上調和函式，同樣也有類似的里斯分解定理。
對上調和函式的連續性的研究導致細拓撲概念的引入。為敘述方便,也稱上調和函式為2－上調和函式。用E┡表示集E的極限點全體,若x0媂E┡或x0∈E┡且存在α上調和函式u(x)使

成立,則稱E在x0是α瘦的。E在x0是α瘦的充要條件是x0媂唕或x0是E的α非正則點。
若E的余集在x0為α瘦則說E在x0是α肥的。若E在E的每一點都是α肥的，則說E是一個α肥集。α肥集全體構成Rn里一個拓撲,稱為α細拓撲。2-瘦和2-細拓撲通常分別稱為瘦和細拓撲。開集必為α肥集，α細拓撲比通常拓撲細。此外，當α<α┡時,α細拓撲嚴格細於α┡細拓撲；α細拓撲是使所有α上調和函式（包括α位勢）都連續的最粗拓撲。在α細拓撲下的極限叫α細極限。對α細拓撲,α細極限與不相切極限的關係，J.L.杜布等人曾有深入的研究。
第一極大值原理　當0<α≤2,μ≥0時,若U(x)≤M，μ幾乎處處成立，則該不等式處處成立。
當2<α<n時，第一極大值原理不成立。
廣義極大值原理　當0<α<n時,若U(x)≤M在S(μ)上成立，則處處成立。
第二極大值原理　又稱控制原理。設μ≥0是能量有限的測度，λ≥0是任意測度，若μ幾乎處處成立,則該不等式處處成立。
當0<α<2時，若U(x)關於μ≥0幾乎處處有限,ƒ(x)是α上調和函式，且U(x)≤ƒ(x)，μ幾乎處處成立，則該不等式處處成立。
惟一性原理　設0<α<n,μ1,μ2是絕對連續的非負測度，若在S(μ1)∪S(μ2)上似乎處處成立，則μ1=μ2。
下包絡原理　設0<α≤2，則對任意兩個非負測度μ，v存在測度λ，使
連續性原理　若把U(x)看作支柱S(μ)上的函式時是取有限值的連續函式,那么U(x)在整個空間上也連續。
能量原理　對任意測度μ， 等號成立若且唯若μ =0。
掃除原理　當0<α≤2時,對任意α容量有限的波萊爾集E和具有限位勢的測度μ≥0,掃除問題有解，即存在支柱在唕的測度βEμ使在E上似乎處處有

且在Rn處處有。
狄利克雷問題　廣義形式可敘述為：若Rn的區域Ω的邊界дΩ是緊的，對дΩ上的函式ƒ,是否存在惟一的函式u在Ω里調和且對每一個正則邊界點y滿足：

且當Ω是無界區域時，
下面採用的佩隆方法是解這個問題的最有效工具，它是歷史上有名的施瓦茲交錯法及龐加萊掃除法的發展與精密化。
令（當Ω無界時還要求），記

那么Hƒ≤啛ƒ。當此式等號成立且僅取有限值時稱ƒ是可解的。ƒ可解的充要條件是對於每個x∈Ω,ƒ關於дΩ的調和測度ωx可積分。這時 就是所要求的惟一解。特別，若 ƒ連續則必可解，而且，y∈дΩ為正則邊界點的充要條件是對 дΩ上的每個連續函式ƒ有。
在一定條件下,也可以考慮關於α調和函式的狄利克雷問題。
當0<α≤2，α<n時,y∈дΩ為α正則邊界點若且唯若Ω的余集在y是α不瘦的。維納判別法指出，若0<q<1,令則y∈дΩ為α非正則的充要條件是，式中Cα(Ωk)表示Ωk的α容量。Ω的α非正則邊界點全體是α零容集。此外，關於正則點的充要判別法還可利用閘函式、格林函式、平衡位勢等給出，而龐加萊錐判別法是常用的充分判別法。
狄利克雷原理　設D0是Rn的有界區域Ω上的連續可微且梯度平方可積的函式全體。在 D0定義內積<>記,則依等價關係“～”得到的商空間 D 是準希爾伯特空間。若ƒ∈D0且有界並可連續地開拓到捙，則狄利克雷問題的解Hƒ滿足:,這裡H表示D0中的調和函式全體所組成的D的子希爾伯特空間，即Hƒ是ƒ在H上的正交投影。
德尼用廣義函式證明，D的完備化是由下述BLD函式ƒ組成的：ƒ似乎處處有限且D0中有子列似乎處處收斂於ƒ。若ƒ是有界區域Ω1(叾捙)上的BLD函式,則在Ω上,Hƒ存在且除了一個附加常數外是惟一的使 ‖u-ƒ‖達到極小的BLD函式，也是惟一的在Ω里調和並且可由ƒ開拓成Ω1上的BLD函式的函式。
上述結果都可以推廣到ε空間的相對緊的子區域上去。
格林空間與格林函式　連通的豪斯多夫空間Ω若滿足下麵條件則稱之為ε空間:Ω的每一點x有一個開鄰域Vx連同一個把Vx變Rn上的一個開子集的同胚yMx(y),並且任何兩個這樣的鄰域 VC與Vy的交VC∩Vy在相應的兩個同胚變換下是保距的（當r≥3）或共形的(當n＝2)。於是作為局部性概念的調和、超調和、上調和函式等可在ε空間Ω上相應地定義。更一般地，也可以用垪n代替上述 Rn來定義ε空間。這種廣義ε空間將有若干無窮遠點。
若ε空間Ω上存在正的非常數的上調和函式，則稱Ω為格林空間。例如Rn(n≥3)及Rn的任何有界子區域都是格林空間,R2是ε空間而不是格林空間。格林空間Ω上必存在滿足下列條件的函式Gx(y)，稱之為以x∈Ω為極的格林函式：①Gx(y)>0；②在Ω\{x}上,Gx(y)調和；③存在x的鄰域V(嶅Vx)使得對每個y∈V，若記y┡=Mx(y),則式中K為α=2時的核函式，u調和。
由於Gx(y)=Gy(x),故記作G(x,y)=G(y,x)。
稱G(x，y)dμ(x)(μ≥0)為格林位勢。它或恆為+∞，或是個以0為最大調和下屬的上調和函式。
最一般的抽象邊界與CC緊緻化　在非空集合Ω上賦予拓撲τ，設I是任一非空號標集，若凬i∈I,Ω的開子集族Bi為Ω的濾基，則I可成為Ω的鑲上去的抽象邊界，因為在Ω∪I上存在滿足下述條件的拓撲τ1：①Ω∈τ1；②τ1在Ω的誘導（相對）拓撲正好是τ；③每個i∈I的鄰域系與Ω 的交構成由Bi生成的濾子。這樣的拓撲中最細者在I上誘導出離散拓撲；而最粗者當I是Ω上抽象調和函式凸錐的極端母線全體時就稱為極小細拓撲。
在實用中，常據在Ω上所考慮的函式族的性質來引入邊界且保證Ω鑲邊後是緊的。康斯坦丁斯庫－科尼緊緻化定理即若Ω是非緊的局部緊的豪斯多夫空間,φ是一族從Ω到【-∞，+∞】的連續函式，則存在惟一（至多相差一個同胚）的緊空間惂滿足：①Ω在惂中是開的且在惂中稠密；②φ中每個函式ƒ能開拓成惂上的連續函式弮;③弮全體能辨別理想邊界Δ=惂\Ω。
惂也可看成關於 Ω上的這樣的一致結構的完備化空間:它是使得φ中每個函式都一致連續且相應的一致拓撲與Ω原有拓撲相容的最粗的一致結構。
作為套用，適當選取φ 可以得到如下位勢論中常用的緊緻化。
亞歷山德羅夫單點緊緻化　這時φ為空集。
斯通－切赫緊緻化　這時φ 是Ω上的所有廣義實值連續函式。
凱雷克亞托－斯托伊洛夫緊緻化　這時φ 由這樣的實值連續函式ƒ組成:在Ω中有緊子集Kƒ使得Ω\Kƒ是一些區域之並集且在每個區域上ƒ取常數值。
羅伊登緊緻化　這時Ω是ε空間，φ 是所有實連續的BLD函式。
倉特善緊緻化　這時Ω是ε空間，φ 是滿足下述條件的實連續BLD函式ƒ全體：Ω有閉子集Fƒ使得ƒ在Ω\Fƒ里調和且在那些於Fƒ上取值等於ƒ的BLD函式中,ƒ的狄利克雷積分（即‖ƒ‖D）達到最小。
馬丁緊緻化　是位勢論中重要的一種緊緻化。
馬丁空間與馬丁邊界　為紀念R.S.馬丁，將格林空間Ω相對於函式族

（y0∈Ω任意取定）的CC緊緻化空間惂 稱為馬丁空間；Δ＝惂\Ω稱為馬丁邊界。所有函式xм→K(x,y)(y∈Ω),在惂都有連續的開拓且能辨別Δ。惂可度量化。Rn的一般區域的歐氏邊界與Δ全然不同;但當Ω是球或其他較為正則的區域時,惂等同於Ω的歐氏閉包；對R2的單連通格林區域，Δ等同於卡拉西奧多里分歧邊界。
調和函式u>0稱為極小調和函式,指的是任何不大於u的正調和函式必與u成比例。若u極小調和,必存在x∈Δ使得u(y)=u(y0)·K(x,y)。稱這樣的X 為Δ的極小點。極小點全體Δ1是 GΛ集。對任一非負調和函式u必存在唯一的分布在Δ1上的拉東測度μ使得凬y∈Ω，

稱此式為馬丁積分表現，其右端是雙層位勢的推廣。它促使了著名的關於凸錐的極端點的紹凱定理的產生並且後者反過來簡化了前者的證明。
對馬丁邊界同樣可考慮狄利克雷問題，可討論一個集在X ∈Δ1的瘦與肥並進而把Ω上的細拓撲開拓到Ω∪Δ1。對任意上調和函式u>0及調和函式h>0，u/h在Δ1上至多除去一個h零測集外處處有細極限,這是杜布對著名的法圖定理即球內的正調和函式在邊界上幾乎處處有不相切極限的重大推廣。
馬丁緊緻化有許多推廣的形式。例如，當考慮的函式族是由某一橢圓型方程（特別是Δu＝pu）在Ω上的格林函式G┡(x,y)的商

（e(x)為確定的有界正解）組成時，可得到橢圓馬丁邊界Δ┡，並進而可研究Ω的橢圓維數，所考慮的方程的解空間的結構以及Δ┡與其他邊界的關係等。
馬丁邊界可翻譯成機率的語言並在隨機過程論中得到套用與推廣。
局部緊阿貝爾群上位勢論　由於拓撲學和代數學，特別是群上傅立葉分析的發展，使這種群上的位勢論取得了豐富的成果。
設G是局部緊阿貝爾群,若對G上一個測度網(μα)α∈A，存在一測度μ，使對任意ƒ∈Cc。（支柱緊的連續函式全體），均有，則稱(μα)α∈A渾收斂於μ。
若G上一正測度集合 ( μt)t>0, 滿足以下條件：① μt(G)≤1，t>0;②,s>0；③渾收斂於狄喇克測度ε0；④渾積分存在，則稱(μt)t>0是G上一個遷移測度卷積半群。K=稱為它所對應的位勢核。若測度

，

則測度K*σ就稱為K位勢。
一個正測度ξ稱為關於(μt)t>0是過度的，若對所有t>0,ξ是μt上調和,即μt*ξ ≤ξ;一個正測度ξ 稱為關於(μt)t>0是不變的，若對所有t>0，ξ是μt調和的,也就是μt*ξ=ξ。每一個K位勢必為過度測度;反之,每一個過度測度必是單調增加K位勢網的渾極限。對過度測度ξ，里斯分解定理成立,也就是ξ=K*σ+η，σ∈D+(K)；η是不變測度。
若,其中正測度μ 滿足μ(G)≤1,μn是n重卷積,μ0＝ε0 則稱v為基本核。若K為位勢核,則λK+ε0，λ>0,必為基本核。基本核對所有開集滿足掃除原理，所以位勢核K對所有開集也滿足掃除原理。
若ω是開集，ξ是過度測度，測度是過度測度,在稱為ξ在ω上的簡化測度。對簡化測度，里斯分解定理仍成立。利用簡化測度可證明平衡分布原理和正質量原理；也就是若σ1，σ2∈D +（K），且,則有σ1(G)≤σ2(G)。在1978年，還證明了電容器原理,即若ωG是G上哈爾測度,Ω0，Ω1是一對開集 捙0∩捙1=═, 且捙0是緊的，那么存在正測度 μ0,μ1∈D+(K)，使得滿足：①0≤ξ ≤ωG；②ξ =ωG在Ω0；③ξ =0在Ω1；④支柱

。

關於位勢核K在理想邊界的性質,能量有限複測度空間的完備化以及廣義函式的引入等，都有了一系列很好的結果。
如果把上述遷移測度卷積半群 (μt)t>0所滿足的條件①、③放寬為渾收斂於μs,t,s>0和μ0=ε0,測度就稱為亨特核。亨特核滿足掃除原理和推廣的電容器原理。
設x為局部緊豪斯多夫空間，ξ 為x上一個處處稠密正拉東測度（對任意非空開集ω,ξ(ω)>0）,由x上一族局部ξ可積的複函數u(x)組成的希爾伯特空間D＝D(x，ξ)，若滿足下列三條公理：①對任一緊集K,存在一數A(K)>0，使得;②Cc∩D在D中和Cc中稠密；③對複平面上每一個正常收縮映射T和任一u∈D,有Tu∈D,且‖Tu‖≤‖u‖,則稱D(x,ξ)為ξ狄利克雷空間。若對u∈D，存在一拉東測度μ,使得,φ∈Cc∩D,則稱u為μ的位勢。在ξ 狄利克雷空間中，也有相應的電容器原理、平衡分布原理和掃除原理等。
公理化位勢論　由於位勢論的大部分結果都可由其狄利克雷問題、極值原理和收斂性質三個基本原理導出，且為了適應偏微分方程和隨機過程的需要，公理化位勢論，即調和空間理論迅速地發展起來，它提供了統一處理問題的方法。從50年代起，G.L.陶茨、杜布和M.布雷洛特等在這方面做了開創性的工作，C.康斯坦丁斯庫和A.科尼在70年代初期建立了一般調和空間理論。
一般公理系統　又稱康斯坦丁斯庫－科尼公理系統。在一個局部緊、第二可數的豪斯多夫空間X 的每一開集U上,給出一個由一族不取值－∞的下半連續函式組成的凸錐U(U)，所有這些函式的全體構成x上的一個函式簇U。拓撲空間x上的函式簇是指定義在x的開集上滿足下列條件的一個映射U：①對於x的任意開集U，U(U)是U上的函式集；②對於X 的任意開集U，V，U吇V,若ƒ∈U(V)，則ƒ|U∈U(U)；③對於x的任意開集族(Uα)α∈A，一個上的函式 ƒ，若對一切α ∈A，，則。U稱為x上的超調和簇，凸錐U(U)中的函式叫做U上的超調和函式。超調和是局部性質。
在一個開集上,一個函式u稱為亞調和函式,如果-u是超調和的,若一個函式h既是超調和亦是亞調和，則說h是調和函式。
一個開集U稱為可解集，如果在U上超調和函式的極小值原理成立,並且每一ƒ∈Cc(дU)在U內的廣義狄利克雷問題是可解的。ƒ的解H在U上可表示為調和測度μ的積分，μ分布在дU上且大於等於零。
一般公理系統包括如下四個公理：
正(P)公理　x上的每一點都存在有該點的一個開鄰域上的一個調和函式，使它在該點取正值。
可解(R)公理　可解集全體構成拓撲空間x的一個拓撲基。
完備(C)公理　在一個開集U上,任一不取-∞的下半連續函式u若滿足在U的每一相對緊的可解子集V(堸嶅U)上，，則u∈U(U)。
鮑厄收斂(BC)性質　單調增加、局部一致有界的調和函式列的極限仍是調和函式。
滿足上述公理的有序偶(x,U)叫做調和空間（或叫CC調和空間）。
布雷洛特公理系統　在一局部緊、第二可數的豪斯多夫空間x上一個調和函式簇H滿足如下公理。
① 每一開集U 上的調和函式全體H(U)是C(U)的一個線性子空間。
② 正則區域構成x的一個拓撲基。
所謂正則區域即一個相對緊的區域V,其邊界дV上的每一連續函式都可惟一地開拓成為V上的調和函式H抦,並且當ƒ≥0時H抦≥0。
③ 區域上的單調增加的調和函式列的極限是調和函式或恆等於+∞。
有序偶(x,H)叫做布雷洛特調和空間，它是第一個完善的公理系統。布雷洛特調和空間上的位勢論與經典位勢論最為接近。
此外,比較典型的還有鮑厄-博博克-康斯坦丁斯庫-科尼公理系統（簡稱BBCC公理系統）。二階橢圓型偏微分方程滿足布雷洛特公理系統，但熱傳導方程卻不滿足布雷洛特公理系統，而滿足BBCC公理系統。一個布雷洛特調和空間是一個BBCC調和空間，而BBCC調和空間是一般的CC調和空間。布雷洛特公理系統嚴格強於BBCC公理系統,而BBCC公理系統又嚴格強於一般公理系統。設U是調和空間(x,U)的開子集,u是U上超調和函式,若在U的每一相對緊的可解子集V(堸嶅U)上,是調和函式，則 u叫做上調和函式。-u叫做下調和函式。上、下調和函式在一個稠密集上取有限數值。以 0為最大調和下屬的非負上調和函式叫做位勢。在調和空間中，相應的里斯分解定理仍然成立。
對於布雷洛特調和空間，R.M.埃爾韋證明了，在滿足一定條件下，若區域上存在正位勢，則格林函式也存在。一個布雷洛特調和空間若存在一個相容的對稱格林函式系，稱為自共軛調和空間，其原型來自偏微分方程Δu=сu。F.Y.馬埃達通過引入梯度測度的概念，在自共軛調和空間上建立了廣義格林公式。
位勢論與機率論的聯繫　角谷靜夫、卡茨、杜布等人首先發現了布朗運動與古典位勢論有密切的聯繫；亨特則發現通過一大類非常返馬爾可夫過程可以深入研究位勢論；後來，F.L.斯皮策用隨機遊動，J.G.凱梅尼和J.L.斯內爾用馬爾可夫鏈首先研究了常返的位勢理論。
位勢論與機率論的密切聯繫，最明顯的是，決定一個馬爾可夫過程的轉移函式可以用來定義位勢論中的格林函式。位勢論中的許多概念和原理都有明確的機率意義，特別體現在上鞅理論中，比如上調和函式相應於上鞅。位勢論中的法圖型邊界極限理論相應於上鞅收斂理論；單調上調和函式列的極限性質與單調上鞅的極限過程性質頗為相似；某些上調和函式、上鞅稱為位勢，它們在各自的理論中都有與之關聯的測度，都遵從只涉及這些測度支柱的控制原理,以及在機率論與位勢論中,都存在一個性質相同的簡化測度，它導出與位勢相關聯的測度的掃除等等。
以布朗運動為例，設x(t),t≥0為Rn上的標準布朗運動,{px},x∈Rn為相應的機率測度族,px以為密度,而p(t,x,y)構成強馬爾可夫轉移半群。令（Bn為波萊爾代數）,稱τB為x(t)首中B的時間,稱TB=τ為首退出B的時間。若對任意x∈Rn都有px(τB<∞)=0，則說B是極集；若px(τB=0)=1，則說x是B的正則點。對n≥3，令

，

則gμ（μ是拉東測度）就是牛頓位勢（當n=2時為對數位勢），極集是牛頓零容集。
設區域，A∈Bn稱為布朗運動的退出分布，則HD(x,·)就是D在x點的調和測度。又設φ(x)在дD基本有界，則就是廣義狄利克雷問題的解。令；則 GD(x，y)就是D上的格林函式。如果u是上調和函式， 在滿足一些適當的條件後，u(x(t))是上鞅。
在馬丁空間也可以構造布朗運動。此外，利用隨機積分方程的方法可以構造一般C∞級流形上的擴散過程，因此可以用機率方法研究馬丁空間和C∞黎曼流形上的位勢論。由於位勢論與機率論存在密切的聯繫，使得位勢論有了明顯的機率意義而位勢論也為機率論的研究提供了一種新的有力的分析工具。
參考書目
　N. S. Landkof,Foundations of Modern Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1972.
　M.Brelot,On Topologies and Boundaries in Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1971.
　C.Constantinescu and A.Cornea,Potential Theory on harmonic Space,Springer-Verlag, Berlin,1972.
　C.Berg and G.Forst,Potential Theory on locally Compact Abelian Groups,Springer-Verlag, Berlin, 1975.
　J.L.Doob,Classical Potential Theory and Its Probabilitic Counterpart, Springer-Verlag, New York, 1984.
　M.Tsuji,Potential Theory in Modern Function Theory, Maruzen, Tokyo, 1959.

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