概念
形如y=x^a(a為常數）的函式，即以底數為自變數，冪為因變數，指數為常量的函式稱為冪函式。當a取非零的有理數時是比較容易理解的，而對於a取無理數時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函式里，我們不要求掌握指數為無理數的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數連續性的極為深刻的知識。
性質
冪函式（1）當α>0時，冪函式y=xa有下列性質：
a、圖像都通過點（1，1）（0，0）；
b、在第一象限內，函式值隨x的增大而增大；
c、在第一象限內，α>1時，圖像開口向上；0<α<1時，圖像開口向右；
d、函式的圖像通過原點，並且在區間[0，+∞)上是增函式。
（2）當α<0時，冪函式y=xa有下列性質：
a、圖像都通過點（1，1）；
b、在第一象限內，函式值隨x的增大而減小，圖像開口向上；
c、在第一象限內，當x從右趨於原點時，圖像在y軸上方趨向於原點時，圖像在y軸右方無限接近y軸，當x趨於+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸。
（3）當α=0時，冪函式y=xa有下列性質：
a、y=x0是直線y=1去掉一點（0，1）它的圖像不是直線。
特性
對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分數（即p、q互質），q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號下（x的p次方），如果q是奇數，函式的定義域是R，如果q是偶數，函式的定義域是[0，+∞）。當指數a是負整數時，設a=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函式的定義域是（－∞，0)∪(0，+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
a小於0時，x不等於0；
a的分母為偶數時，x不小於0；
a的分母為奇數時，x取R。
定義域和值域
當a為不同的數值時，冪函式的定義域的不同情況如下：
1、如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函式的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函式的定義域為大於0的所有實數；
2、如果同時q為奇數，則函式的定義域為不等於0的所有實數。
當x為不同的數值時，冪函式的值域的不同情況如下：
1、在x大於0時，函式的值域總是大於0的實數。
2、在x小於0時，則只有同時q為奇數，函式的值域為非零的實數。
而只有a為正數，0才進入函式的值域。
由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，
因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況。
特殊性
可以看到：
（1）所有的圖形都通過（1，1）這點，（a≠0）a>0時圖象過點（0，0）和（1，1）
（2）單調區間：
當a為整數時，a的正負性和奇偶性決定了函式的單調性：
①當a為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增；
②當a為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增；
③當a為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）；
④當a為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。
當a為分數時，a的正負性和分母的奇偶性決定了函式的單調性：
①當a>0，分母為偶數時，函式在第一象限內單調遞增；
②當a>0，分母為奇數時，函式在第一三象限各象限內單調遞增；
③當a<0，分母為偶數時，函式在第一象限內單調遞減；
④當a<0，分母為奇數時，函式在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）；
（3）當a>1時，
冪函式圖形下凸（豎拋）；當0<a<1時，冪函式圖形上凸（橫拋）。當a<0時，圖像為雙曲線。
（4）在（0，1）上，冪函式中a越大，函式圖像越靠近x軸；在（1，﹢∞）上冪函式中a越大，函式圖像越遠離x軸。
（5）當a<0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
（6）顯然冪函式無界限。
（7）a=2n,該函式為偶函式{x|x≠0}。
圖象
冪函式冪函式的圖象：
①當a≤-1且a為奇數時，函式在第一、第三象限為減函式
②當a≤-1且a為偶數時，函式在第二象限為增函式
③當a=0且x不為0時，函式圖象平行於x軸且y=1、但不過（0，1）
④當0<a<1時，函式是增函式
⑤當a≥1且a為奇數時，函式是奇函式
⑥當a≥1且a為偶數時，函式是偶函式
冪函式的圖像不過第四象限
特別說明
為了研究方便，在初等函數裡對於冪函式，只討論a=1，2，3，1/2，-1時的情形。
盤點高中數學名詞
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