名稱介紹
函式的單調性也叫函式的增減性.函式的單調性是對某個區間而言的，它是一個局部概念.
函式圖基本方法
先要弄清概念和研究目的,因為函式本身是動態的，所以判斷函式的單調性、奇偶性，還有研究函式切線的斜率、極值等等，都是為了更好地了解函式本身所採用的方法。其次就解題技巧而言，當然是立足於掌握課本上的例題，然後再找些典型例題做做就可以了，這部分知識僅就應付解題而言應該不是很難。最後找些考試試卷題目來解，針對考試會出的題型強化一下.
1.把握好函式單調性的定義。證明函式單調性一般（初學最好用定義）用定義（謹防循環論證），如果函式解析式異常複雜或者具有某種特殊形式，可以採用函式單調性定義的等價形式證明。另外還請注意函式單調性的定義是[充要命題]。
2.熟練掌握基本初等函式的單調性及其單調區間。理解並掌握判斷複合函式單調性的方法：同增異減。
3.高三選修課本有導數及其套用，用導數求函式的單調區間一般是非常簡便的。還應注意函式單調性的套用，例如求極值、比較大小，還有和不等式有關的問題。
一般的，求函式單調性有如下幾個步驟：
1、取值X1,X2屬於{？}，並使X1<X2<
2、作差f(x1)-f(x2)
3、變形
4、定號（判斷f(x1)-f(x2)的正負）
5、下結論
判斷複合函式的單調性
1.導數
2.構造基本初等函式（已知單調性的函式）
3.複合函式根據同增異減口訣，先判斷內層函式的單調性，再判斷外層函式單調性，在同一定義域上，若兩函式單調性相同，則此複合函式在此定義域上為增函式，反之則為減函式。
4.定義法
5.數形結合
複合函式的單調性一般是看函式包含的兩個函式的單調性（1）如果兩個都是增的,那么函式就是增函式（2）一個是減一個是增,那就是減函式（3）兩個都是減,那就是增函式
複合函式求導公式
F'(g(x))=[F(g(x+dx))-F(g(x))]/dx......(1)g(x+dx)-g(x)=g'(x)*dx=dg(x)........(2)g(x+dx)=g(x)+dg(x).........(3)F'(g(x))=[F(g(x)+dg(x))-F(g(x))]/dx=[F(g(x)+dg(x))-F(g(x))]/dg(x)*dg(x)/dx=F'(g)*g'(x)
特徵
一般地，設函式f(x)的定義域為I：
如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1＜x2時都有f(x1)＜f(x2)。那么就說f(x)在這個區間上是增函式。 相反地，如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1＜x2時都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在這個區間上是減函式。
基本性質
⒈ 增函式與減函式
一般地，設函式f(x)的定義域為I：
如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2,當x1、x2時都有f(x1)< f(x2).那么就說f(x)在 這個區間上是增函式。
如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1<x2時都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在這個區間上是減函式。
⒉ 單調性與單調區間
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式,則就說函式在這一區間具有(嚴格的)單調性,這一區間叫做函式的單調區間.此時也說函式是這一區間上的單調函式.
在單調區間上,增函式的圖像是上升的,減函式的圖像是下降的。
規律
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函式的單調區間。此時也說函式是這一區間上的單調函式。在單調區間上，增函式的圖像是上升的，減函式的圖像是下降的。
註：在單調性中有如下性質。
圖例：↑（增函式）↓（減函式）
↑+↑=↑ 兩個增函式之和仍為增函式
↑-↓=↑ 增函式減去減函式為增函式
↓+↓=↓ 兩個減函式之和仍為減函式
↓-↑=↓ 減函式減去增函式為減函式
複合函式
在函式y=f[g(x)]的定義域內，令u=g(x)，則y=f[g(x)]的單調性由u=g(x)與y=f(u)的單調性共同確定，方法如下u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]
增函式增函式 增函式
減函式 減函式 增函式
增函式減函式減函式
減函式增函式減函式
因此，複合函式的單調性可用“同增異減”來判定，但要考慮某些特殊函式的定義域。
註：y=f(x)+g(x)不屬於複合函式，因此不在此方法的適用範圍內。
例題解析
判斷函式的單調性y=1/(x^2-2x-3)。設x^2-2x-3=t，令x^2-2x-3=0，
解得：x=3或x=-1，
當x>3和x<-1時，t>0，
當-1<x<3時，t<0。
所以得到x^2-2x-1對稱軸是1。
根據反比例函式性質：
在整個定義域上是1/t是減函式。
當t>0時，x>3時，
t是增函式，1/t是減函式，
所以（3，+∞）是減區間，
而x<-1時，t是減函式，
所以1/t是增函式。
因此（-∞，-1）是增區間，
當x<0時，-1<x<1,t是減函式，
所以1/t是增函式，因此（-1，1）是增區間，
而1<x<3時，t是增函式，1/t是減函式，
因此（1，3）是減區間，
得到增區間是（-∞，-1）和（-1，1），（1，3）和（3，+∞）是減區間。
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