簡介
勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。
中國是世界上最早發現證明並運用勾股定理的國家，在中國算學中勾股定理為重中之重。《周髀算經》中記述周公問數商高段中，就有證明該定理的方法。傳說古希臘發現勾股定理的是畢達哥拉斯，所以勾股定理又稱畢達哥拉斯定理，但這個說法沒有任何證據。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝（百牛大祭），更是荒唐可笑，眾所周知，畢達哥拉斯派食素。
定理
在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數學語言表達：
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勾股定理是餘弦定理中的一個特例。勾股定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。
其他形式
如果c是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度，勾股定理可以寫成：
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如果a和b知道，c可以這樣寫：
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如果斜邊的長度c和其中一條邊（a或b）知道,那另一邊的長度可以這樣計算：
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或
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勾股數組
勾股數組是滿足勾股定理的正整數組（a、b、c），其中的（a、b、c）稱為勾股數。
歷史
這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。
勾股數
勾股數出現得較早，例如埃及的紙草書裡面就有(3,4,5)這一組勾股數，而巴比倫泥板涉及的最大的一個勾股數組是（18541，12709，13500）。後來的中國的算經、印度與阿拉伯的數學書也有記載。相傳是在公元前11世紀商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；商高答周公問曰：“勾廣三，股備四，徑隅五”；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋：“勾股個自乘，並之，為弦實，開方除之，即弦”。《九章算術》卷第九《句股》章詳細討論了勾股定理的運用，魏國數學家劉徽反覆運用勾股定理求圓周率。
金朝數學家李冶的《測圓海鏡》通過勾股容圓圖式的十五個勾股形和直徑的關係，建立了系統的天元術，推導出692條關於勾股形的各邊的公式，其中用到了多組勾股數作為例子。
普遍定理的發現
巴比倫人得到的勾股數的數量和質量不太可能純從測量手段獲得。之後的畢達哥拉斯本人並無著作傳世，不過在他死後一千年，第五世紀的普羅克勒斯給歐幾里德的名著《幾何原本》做註解時將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派：
| 如果我們聽聽那些喜歡說古代歷史的人，他們把這個定理歸於畢達哥拉斯，並且說他殺了一頭公牛來慶祝。對我來說，雖然我欣賞那個第一個觀察到這個定理的人，我更嘆服《原本》的作者。不光是因為他給出了清晰明確的證明，而且還因為他用無可置疑的方法在第六篇中證明了一個更一般的命題。 |
普魯塔克和西塞羅也將發現的功勞歸於畢達哥拉斯。
在中國，秦朝的算數書並未記載勾股定理，只是記錄了一些勾股數，定理首次載於書面是在漢朝的《周髀算經》“榮方問於陳子”一節中：
| 若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日 ——周髀算經卷上之二 |
因此有些人將這個定理稱之為陳子定理。趙爽《勾股方圓圖注》記載：
| 勾股各自乘，並之，為弦實，開方除之，即弦 |
在《九章算術》劉徽著中，劉徽反覆利用勾股定理求圓周率。
直至現時為止，有許多辯論關於勾股定理是否早已不只一次被發現。
證明
畢達哥拉斯學派的證明沒有流傳下來，流傳下來的勾股定理的書面證明最早見於幾何原本第一冊的第47個命題。在中國，三國時吳國的趙爽最早給出勾股定理的證明。最近，巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。
證明
這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（ElishaScottLoomis）的PythagoreanProposition一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函式的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明。
利用相似三角形的證法
有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。
設ABC為一直角三角形,直角於角C（看附圖）。從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於“高”的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：
 |  相似三角形的證法 |
歐幾里得的證法
《幾何原本》中的證明在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。
證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
證明輔助圖21.設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。
2.其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
3.畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。
4.分別連線CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。
5.∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對應的，同理可證B、A和H。
6.∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。
7.因為AB和BD分別等於FB和BC，所以△ABD必須相等於△FBC。
8.因為A與K和L在同一直線上，所以四方形BDLK必須二倍面積於△ABD。
9.因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。
10.因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF=AB²。
11.同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH=AC²。
12.把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
13.由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
14.由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²。
此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
由於這個定理的證明依賴於平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。
圖形重新排列證法
此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為（a+b）²，把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a²+b²，右方餘下面積為c²，兩者相等。證畢。逆定理
勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中AB=c為最長邊:
如果A²+B²=C²，則△ABC是直角三角形。
如果A²+B²>C²，則△ABC是銳角三角形(若無先前條件AB=c為最長邊，則該式的成立僅滿足∠C是銳角)。
如果A²+B²<C²，則△ABC是鈍角三角形。
(這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸)
逆定理的證明
勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。
同一法
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餘弦定理
相似三角形
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非歐幾何
勾股定理是由歐幾里得幾何的公理推導出來的，其在非歐幾里得幾何中是不成立的。因為勾股定理的成立涉及到了平行公理。
勾股數通式和常見勾股素數
若m和n是互質，而且m和n至少有一個是偶數，計算出來的a,b,c就是素勾股數。(若m和n都是奇數，a,b,c就會全是偶數，不符合互質。)所有素勾股數(不是所有勾股數)都可用上述列式當中找出，這亦可推論到數學上存在無窮多的素勾股數。
常見的勾股數及幾種通式
(1)(3，4，5),(6，8，10)……3n,4n,5n(n是正整數)
(2)(5，12，13),(7，24，25),(9，40，41)……
2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1(n是正整數)
(3)(8，15，17),(12，35，37)……
2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1(n是正整數)
(4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2(m、n均是正整數，m>n)
生活套用
勾股定理在生活中的套用也較廣泛，舉例說明如下：1、挑選投影設備時需要選擇最佳的投影螢幕尺寸。以教室為例，最佳的螢幕尺寸主要取決於使用空間的面積，從而計畫好學生座位的多少和位置的安排。選購的關鍵則是選擇適合學生的螢幕而不是選擇適合投影機的螢幕，也就是說要把學生的視覺感受放在第一位。一般來說在選購時可參照三點：
第一，螢幕高度大約等於從螢幕到學生最後一排座位的距離的1/6;
第二，螢幕到第一排座位的距離應大於2倍螢幕的高度;
第三，螢幕底部應離觀眾席所在地面最少122厘米。
螢幕的尺寸是以其對角線的大小來定義的。一般視頻圖像的寬高比為4:3，教育幕為正方形。如一個72英寸的螢幕，根據勾股定理，很快就能得出螢幕的寬為1.5m，高為1.1m。
2、2005年珠峰高度複測行動。
測量珠峰的一種方法是傳統的經典測量方法，就是把高程引到珠峰腳下，當精確高程傳遞至珠峰腳下的6個峰頂交會測量點時，通過在峰頂豎立的測量覘標，運用“勾股定理”的基本原理測定珠峰高程，配合水準測量、三角測量、導線測量等方式，獲得的數據進行重力、大氣等多方面改正計算，最終得到珠峰高程的有效數據。
通俗來說，就是分三步走：
第一步，先在珠峰腳下選定較容易的、能夠架設水準儀器的測量點，先把這些點的精確高程確定下來;
第二步，在珠峰峰頂架起覘標，運用三角幾何學中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰頂相對於這幾個點的高程差;
第三步，獲得的高程數據要進行重力、大氣等多方面[4]的改正計算，最終確定珠峰高程測量的有效數據。
練習題
1.等邊三角形的高是h，則它的面積是()A.h2B.h2 C.h2 D.h2
2.直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，其面積為()
A.12cm2B.10cm2C.8cm2D.6cm2
3.下列命題是真命題的個數有()
①直角三角形的最大邊長為，短邊長為1，則另一條邊長為
②已知直角三角形的面積為2，兩直角邊的比為1：2，則它的斜邊長為
③在直角三角形中，若兩條直角邊長為n2−1和2n，則斜邊長為n2+1
④等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，則腰長為5
A.1個B.2個C.3個D.4個
參考答案
1.B2.D
3.D
