簡介
對數函式函式y=a^x(a>0,a≠1)的反函式y=loga(x)(a>0,a≠1)叫做對數函式．
對數函式的一般形式為 ，它實際上就是指數函式 的反函式。因此指數函式里對於a的規定，同樣適用於對數函式。
右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形：
可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函式。
（1）對數函式的定義域為大於0的實數集合。
（2）對數函式的值域為全部實數集合。
（3）函式總是通過（1，0）這點。
（4）a大於1時，為單調遞增函式，並且上凸；a小於1大於0時，函式為單調遞減函式，並且下凹。
（5）顯然對數函式無界。
實際套用
在實數域中，真數式子沒根號那就只要求真數式大於零，如果有根號，要求真數大於零還要保證根號里的式子大於等於零（若為負數，則值為虛數），底數則要大於0且不為1。
對數函式的底數為什麼要大於0且不為1？【在一個普通對數式里a<0，或=1的時候是會有相應b的值。但是，根據對數定義：log以a為底a的對數；如果a=1或=0那么log以a為底a的對數就可以等於一切實數（比如log11也可以等於2，3，4，5，等等）】
通常我們將以10為底的對數叫常用對數（commonlogarithm），並把log10N記為lgN。另外，在科學計數中常使用以無理數e=2.71828···為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數（naturallogarithm），並且把logeN記為InN。根據對數的定義，可以得到對數與指數間的關係：
當a>0，a≠1時，aX=NX=logaN。（N>0）
由指數函式與對數函式的這個關係，可以得到關於對數的如下結論：
在實數範圍內，負數和零沒有對數；log以a為底1的對數為0（a為常數）恆過點（1，0）。
有理和無理指數
如果是正整數，表示等於的個因子的加減:
但是，如果是不等於1的正實數，這個定義可以擴展到在一個域中的任何實數（參見冪）。類似的，對數函式可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數，有一個對數函式和一個指數函式，它們互為反函式。
對數可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發明電子計算機之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛的用於天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。
複對數
複對數計算公式
複數的自然對數，實部等於複數的模的自然對數，虛部等於複數的輻角。
產生歷史
16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。
德國的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列（叫原數的代表，或稱指數，德文是Exponent ，有代表之意）。
對數的圖像納皮爾對數值計算頗有研究。他所製造的納皮爾算籌，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。 他發明對數的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據一種非常獨等的與質點運動有關的構想構造出所謂對數方 法，其核心思想表現為算術數列與幾何數列之間的聯繫。在他的《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理，後人稱為 納皮爾對數，記為Nap．㏒x，它與自然對數的關係為
Nap．㏒x=107㏑(107/x)
由此可知，納皮爾對數既不是自然對數，也不是常用對數，與現今的對數有一定的距離。
瑞士的彪奇（1552-1632）也獨立地發現了對數，可能比納皮爾較早，但發表較遲（1620）。
英國的布里格斯在1624年創造了常用對數。
1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近（以e=2.71828...為底）。
對數的發明為當時社會的發展起了重要的影響，正如科學家伽利略（1564-1642）說：“給我時間，空間和對數，我可以創造出一個宇宙”。又如十八世紀數學家拉普拉斯（1749-1827）亦提到：“對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍”。
最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫“真數”，0.3010叫做“假數”，真數與假數對列成表，故稱對數表。後來改用“假數”為“對數”。
我國清代的數學家戴煦（1805-1860）發展了多種的求對數的捷法，著有《對數簡法》（1845）、《續對數簡法》（1846）等。1854年，英國的數學家艾約瑟（1825-1905） 看到這些著作後，大為嘆服。
當今中學數學教科書是先講“指數”，後以反函式形式引出“對數”的概念。但在歷史上，恰恰相反，對數概念不是來自指數，因為當時尚無分指數及無理指數的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數表示對數的建議。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在給G．威廉的《對數表》所寫的前言中作出指數可定義對數。而歐拉在他的名著《無窮小 分析尋論》（1748）中明確提出對數函式是指數函式的逆函式，和現在教科書中的提法一致。
函式性質
定義域求解：對數函式y=logax的定義域是{x丨x>0}，但如果遇到對數型複合函式的定義域的求解，除了要注意大於0以外，還應注意底數大於0且不等於1，如求函式y=logx（2x-1）的定義域，需同時滿足x>0且x≠1
和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為{x丨x>1/2且x≠1}
值域：實數集R，顯然對數函式無界；
定點：對數函式的函式圖像恆過定點（1，0）；
單調性：a>1時，在定義域上為單調增函式；
0<a<1時，在定義域上為單調減函式；
奇偶性：非奇非偶函式
周期性：不是周期函式
對稱性：無
最值：無
零點：x=1
注意：負數和0沒有對數。
兩句經典話：底真同對數正，底真異對數負。解釋如下：
也就是說：若y=logab（其中a>0，a≠1，b>0）
當0<a<1，0<b<1時，y=logab>0;
當a>1，b>1時，y=logab>0;
當0<a<1，b>1時，y=logab<0;
當a>1，0<b<1時，y=logab<0。
公式推導
e的定義：
設a>0，a≠1
方法一：
指數函式
方法二：
兩邊取對數lny=xlna
兩邊對x求導：y'/y=lna，y'=ylna=a^xlna
特殊地，當a=e時，y'=（a^x）'=（e^x）'=e^xlne=e^x。
eº=1
運算性質
定義
在實數域中，真數式子沒根號那就只要求真數式大於零，如果有根號，要求真數大於零還要保證根號里的式子大於等於零(若為負數，則值為虛數)，底數則要大於0且不為1。
對數函式的底數為什麼要大於0且不為1? 【在一個普通對數式里a<0,或=1的時候是會有相應b的值。但是，根據對數定義：
log以a為底a的對數;如果a=1或=0那么log以a為底a的對數就可以等於一切實數（比如log11也可以等於2，3，4，5，等等）】
通常我們將以10為底的對數叫常用對數(commonlogarithm),並把log10N記為lgN。另外，在科學技術中常使用以無理數e=2.71828···為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數(naturallogarithm)，並且把logeN記為InN。根據對數的定義，可以得到對數與指數間的關係：
當a>0，a≠1時，aX=N→X=logaN。（N>0）
由指數函式與對數函式的這個關係，可以得到關於對數的如下結論：
在實數範圍內，負數和零沒有對數
logaa=1
log以a為底a的對數為1(a為常數)恆過點(1，0)
性質
和差和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為{x丨x>1/2且x≠1}
值域：實數集R，顯然對數函式無界。
定點：函式圖像恆過定點(1，0)。
單調性：a>1時，在定義域上為單調增函式;
0<a<1時，在定義域上為單調減函式。
指數函式周期性：不是周期函式
對稱性：無
最值：無
零點：x=1
注意：負數和0沒有對數。
兩句經典話：底真同對數正,底真異對數負。解釋如下：
也就是說：若y=logab(其中a>0,a≠1，b>0)
當<a<1,0<b<1時，y=logab>0;
當a>1,b>1時，y=logab>0;
當0<a<1,b>1時，y=logab<0;
當a>1,0<b<1時，y=logab<0。
指數函式的求導:
e的定義：e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2.718281828...
設a>0,
a!=1----(loga(x))'
對數函式化簡問題=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*loga((x+Δx)/x))
=lim(Δx→0)(1/x*loga((1+Δx/x)x/Δx))
=1/x*lim(Δx→0)(loga((1+Δx/x)x/Δx))
=1/x*loga(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)
=1/x*loga(e)
特殊地，當a=e時，(loga(x))'=(lnx)'=1/x。
----設y=ax兩邊取對數lny=xlna兩邊對求x導y'/y=lnay'=ylna=a^xlna
特殊地，當a=e時，y'=(ax)'=(ex)'=e^lnex=ex。
運算性質
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等於N，那么數b叫做以a為底N的對數，記作logaN=b，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
底數則要>0且≠1真數>0
並且，在比較兩個函式值時：
如果底數一樣，真數越大，函式值越大。(a>1時)
如果底數一樣，真數越小，函式值越大。(0<a<1時）
當a>0且a≠1時，M>0,N>0，那么：
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga(M/N)=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R)
(4)換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b≠1)
(5)a(log(b)n)=n(log(b)a)證明：
設a=nx則alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)
(6)對數恆等式：alog(a)N=N;log(a)ab=b
(7)由冪的對數的運算性質可得(推導公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以n次根號下的a為底)(以n次根號下的M為真數)=log(a)M,
log(以n次根號下的a為底)(以m次根號下的M為真數)=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
表達方式
(1)常用對數：lg(b)=log10b(10為底數)
(2)自然對數:ln(b)=logeb(e為底數)
e為無限不循環小數，通常情況下只取e=2.71828 對數函式的定義
與指數的關係
同底的對數函式與指數函式互為反函式。
當a>0且a≠1時，ax=Nx=㏒(a)N。
關於y=x對稱。
對數函式的一般形式為y=㏒(a)x，它實際上就是指數函式的反函式(圖象關於直線y=x對稱的兩函式互為反函式），可表示為x=ay。因此指數函數裡對於a的規定（a>0且a≠1），右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形：關於X軸對稱、
可以看到，對數函式的圖形只不過是指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函式。
盤點高中數學名詞
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