證明
方法一
![三面角餘弦定理](/img/b/23a/wZwpmL3MDM0ADN5QDOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
在OA上取一點D,過D作OD的垂線DE、DF分別交OB、OC於E與F。接著使用向量證明。
考慮有向線段 OD、 OE、 OF、 DE、 DF。易知:
cos∠OA= DE· DF/(DE*DF)
sin∠AOB=DE/OE
sin∠AOC=DF/OF
cos∠AOB=OD/OE
cos∠AOC=OD/OF
cos∠BOC= OE· OF/(OE*OF);
則實際是要證明:
DE· DF/(DE*DF)*DE/OE*DF/OF+OD/OE*OD/OF= OE· OF/(OE*OF)
整理得( DE· DF+OD²)/(OE*OF)= OE· OF/(OE*OF)
即是要證明OD²+ DE· DF= OE· OF;
顯然, OE· OF=( OD+ DE)·( OD+ DF)=OD²+ OD· DE+ OD· DF+ DE· DF,
注意到 OD· DE= OD· DF=0,即可證明原式。
方法二
![三面角餘弦定理](/img/4/7cf/wZwpmLzEzMzETMwEzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxczL3UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
將三面角O-ABC放入單位球中,並設三面角與球面的交點分別為A、B、C。過A作球面的切平面,射線OB、OC與切平面交點為B'、C‘。則:
∠OA=∠B'AC'=A,AB'=tan∠AOB=tanc,AC'=tan∠AOC=tanb,OB'=1/cos∠AOB=1/cosc,OC'=1/cos∠AOC=1/cosb
在△AB'C'中,由余弦定理得
B'C'²=tan²c+tan²b-2tanc*tanb*cosA
在△OB'C'中,由余弦定理得
B'C'²=1/cos²c+1/cosb-2cos∠BOC/(cosc*cosb)
∴sin²c/cos²c+sin²b/cos²b-2sinc*sinb*cosA/(cosc*cosb)
=1/cos²c+1/cos²b-2cos∠BOC/(cosc*cosb)
兩邊乘以cos²c*cos²b得
sin²c*cos²b+sin²b*cos²c-2sinc*cosc*sinb*cosb*cosA
=cos²b+cos²c-2cosb*cosc*cos∠BOC
移項,整理得
cos²b(1-sin²c)+cos²c(1-sin²b)-2cosb*cosc*cos∠BOC=-2sinc*cosc*sinb*cosb*cosA
化簡得cos∠BOC=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA
也就是cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC+sin∠AOBsin∠AOCcos∠OA
三面角餘弦定理第二形式
第二形式
在三面角O-ABC中,設二面角B-OA-C為∠OA,則有:
![三面角餘弦定理](/img/f/246/wZwpmLwEjMzMDN0kTNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
證明
將三面角O-ABC的頂點與單位球的球心重合,並設三邊與球面分別交於A、B、C。根據球面三角形的定義,在球面△ABC中,∠AOB=c,∠BOC=a,∠AOC=b;∠OA=A,∠OB=B,∠OC=C。則餘弦定理的第一形式可化為:
![三面角餘弦定理](/img/f/f8b/wZwpmL0UzNzETN4ETOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxkzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
餘弦定理的第二形式可化為:
![三面角餘弦定理](/img/1/00f/wZwpmL0YDMzkjN2gjNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzL4czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
由於球面三角形與其極對稱三角形之間存在定量的邊角關係,因此不妨設球面△ABC的極對稱三角形為△A'B'C',則在△A'B'C'中,由余弦定理的第一形式得
![三面角餘弦定理](/img/7/331/wZwpmL0ATO4UjNzczNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3czL3IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
∵a'=π-A,b'=π-B,c'=π-C,A'=π-a
![三面角餘弦定理](/img/4/957/wZwpmL1QjN1MDM2kzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5czL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
∴上式可化為
![三面角餘弦定理](/img/1/00f/wZwpmL0YDMzkjN2gjNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzL4czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
即
證明完畢
全向量證明
![三面角餘弦定理的全向量證明](/img/b/03b/wZwpmL1MjN0ETM1gzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4MzL1UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)