積分
分劃的參數趨於零時的極限，叫做這個函式在這個閉區間上的定積分。
不定積分（Indefinite integral）即已知導數求原函式。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導數也是f(x)（C是任意常數）。所以f(x)積分的結果有無數個，是不確定的。我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。即如果一個導數有原函式，那么它就有無限多個原函式。
定積分 （definite integral）定積分就是求函式f(X)在區間[a,b]中圖線下包圍的面積。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。
概念
定積分其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a，b]叫做積分區間，函式f(x)叫做被積函式，x叫做積分變數，f(x)dx叫做被積表達式，∫叫做積分號。
之所以稱其為定積分，是因為它積分後得出的值是確定的，是一個數，而不是一個函式。
基本性質
定積分②：代數和的積分等於積分的代數和。
③：定積分的可加性：如果積分區間[a,b]被c分為兩個子區間[a,c]與（c,b]則有（見右圖）
④Risch算法
⑤如果在區間[a,b]上，f(x)≥0,則∫_a^b(f(x)dx)≥0
公式
牛頓—萊布尼茨公式定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由於一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關係。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由於這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：
如果f(x)是[a,b]上的連續函式，並且有F′(x)=f(x)，那么
公式用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函式在上限的值與原函式在下限的值的差。
正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯繫，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。
黎曼積分
定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐標繫上的函式的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函式的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b.
我們可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個函式的原函式。它們看起來沒有任何的聯繫，那么為什麼定積分要寫成積分的形式呢？
分點問題
定積分是把函式在某個區間上的圖象[a,b]分成n份，用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。習慣上，我們用等差級數分點，即相鄰兩端點的間距Δx是相等的。但是必須指出，即使Δx不相等，積分值仍然相同。我們假設這些“矩形面積和”S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1)，那么當n→+∞時，Δx的最大值趨於0，所以所有的Δx趨於0，所以S仍然趨於積分值.
換元法與分部積分法
定積分的換元法
設函式f(x)在區間[a，b]上連續；函式g(t)在區間[m，n]上是單值的且有連續導數；當t在區間[m，n]上變化時，x=g(t)的值在[a，b]上變化，且g(m)=a，g(n)=b；則有定積分的換元公式：
定積分定積分的分部積分法
設u(x)、v(x)在區間[a，b]上具有連續導數u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv'，分別求此等式兩端在[a，b]上的定積分，並移向得：
定積分上式即為定積分的分部積分公式。
套用
1，解決求曲邊圖形的面積問題
例：求由拋物線y²=4x與直線y=2x-4圍成的平面圖形D的面積S.
2，求變速直線運動的路程
做變速直線運動的物體經過的路程s，等於其速度函式v=v(t)(v(t)≥0)在時間區間[a,b]上的定積分。
3，變力做功
某物體在變力F=F(x)的作用下，在位移區間[a,b]上做的功等於F=F(x)在[a,b]上的定積分。
定理.
定理1：設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。
定理2：設f(x)區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。
定理3：設f(x)在區間[a,b]上單調，則f(x)在[a,b]上可積。
經濟套用數學
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