基本定義
二次函式一般地，把形如（a、b、c是常數）的函式叫做二次函式，其中a稱為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。x為自變數，y為因變數。等號右邊自變數的最高次數是2。
二次函式頂點坐標
二次函式交點式 為 （ 僅限 於與x軸有交點的拋物線），
二次函式
二次函式與x軸的交點坐標是 和 。
注意：“變數”不同於“未知數”，不能說“二次函式是指未知數的最高次數為二次的多項式函式”。“未知數”只是一個數（具體值未知，但是只取一個值），“變數”可在一定範圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函式方程、微分方程中是未知函式，但不論是未知數還是未知函式，一般都表示一個數或函式——也會遇到特殊情況），但是函式中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。從函式的定義也可看出二者的差別。。
歷史
大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。
11世紀阿拉伯的花拉子密 獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。
據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是：在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程的兩邊同時開二次方（引自婆什迦羅第二）
函式性質
二次函式1.二次函式的圖像是拋物線，但拋物線不一定是二次函式。開口向上或者向下的拋物線才是二次函式。拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的 對稱軸是y軸（即直線x=0）。
二次函式
二次函式
二次函式2.拋物線有一個頂點P，坐標為P 。當 時，P在y軸上；當 時，P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。 當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小； |a|越小，則拋物線的開口越大。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。 當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左側； 當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右側。（可巧記為：左同右異）
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於(0, c）
二次函式 二次函式
二次函式6.拋物線與x軸交點個數： 時，拋物線與x軸有2個交點。 時，拋物線與x軸有1個交點。當 時，拋物線與x軸沒有交點。
二次函式 二次函式
二次函式
二次函式
二次函式
二次函式7.當 時，函式在 處取得最小值 ；在 上是減函式，在 上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是 。
二次函式 二次函式 二次函式 二次函式 二次函式
二次函式當 時，函式在 處取得最大值 ；在 上是增函式，在 上是減函式；拋物線的開口向下；函式的值域是 。
二次函式當 時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)。
8. 定義域：R
二次函式 二次函式值域：當a>0時，值域是 ；當a<0時，值域是 。
奇偶性：當b=0時，此函式是偶函式；當b不等於0時，此函式是非奇非偶函式。
周期性：無
解析式：
二次函式①一般式：
⑴a≠0
⑵若a>0，則拋物線開口朝上；若a<0，則拋物線開口朝下；
二次函式⑶頂點： ；
二次函式⑷
若Δ>0，則函式圖像與x軸交於兩點：
二次函式
二次函式和 ；
若Δ=0，則函式圖像與x軸交於一點：
二次函式若Δ<0，函式圖像與x軸無公共點；
二次函式②頂點式： 此時頂點為（h,k)
二次函式
二次函式
二次函式時，對應頂點為 ，其中, ；
二次函式③交點式：
二次函式
二次函式函式圖像與x軸交於 和 兩點。
表達式
頂點式
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點坐標為（h,k) ，對稱軸為直線x=h，頂點的位置特徵和圖像的開口方向與函式y=ax²的圖像相同，當x=h時，y最大（小）值=k.有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。
例：已知二次函式y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。
解：設y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。
注意：與點在平面直角坐標系中的平移不同，二次函式平移後的頂點式中，h>0時，h越大，圖像的對稱軸離y軸越遠，且在x軸正方向上，不能因h前是負號就簡單地認為是向左平移。
具體可分為下面幾種情況：
當h>0時，y=a(x-h)²的圖像可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到；
當h<0時，y=a(x-h)²的圖像可由拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位得到；
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象。
交點式
二次函式
二次函式[僅限於與x軸即y=0有交點時的 拋物線，即b -4ac≥0] .
二次函式已知拋物線與x軸即y=0有交點A(x, 0)和B(x, 0),我們可設 ,然後把第三點代入x、y中便可求出a。
二次函式由一般式變為交點式的步驟： (韋達定理)
二次函式重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。
二次函式f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引導出交點式的係數 (y為截距) 二次函式表達式的右邊通常為 二次三項式。
二次函式歐拉交點式：
二次函式
二次函式若ax²+bx+c=0有兩個實根x,x，則 此拋物線的對稱軸為直線 。
三點式
方法1：
已知二次函式上三個點，(x, y)、(x, y)、(x, y)。把三個點分別代入函式解析式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數)，有：
二次函式得出一個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。
方法2：
已知二次函式上三個點，(x, y)、(x, y)、(x, y)
利用拉格朗日插值法，可以求出該二次函式的解析式為：
二次函式與X軸交點的情況:
二次函式當 時，函式圖像與x軸有兩個交點，分別是(x, 0)和(x, 0)。
二次函式 二次函式當 時，函式圖像與x軸只有一個切點，即 。
二次函式
二次函式當 時，拋物線與x軸沒有公共交點。x的取值範圍是虛數（ ）
函式圖像
基本圖像
二次函式在平面直角坐標系中作出二次函式y=ax +bx+c的圖像，可以看出，在沒有特定定義域的二次函式圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準確無誤，那么二次函式圖像將是由 平移得到的。
軸對稱
二次函式圖像 二次函式二次函式圖像是 軸對稱圖形。對稱軸為直線
對稱軸與二次函式圖像 唯一的交點為二次函式圖象的頂點P。
特別地，當b=0時，二次函式圖像的對稱軸是 y軸（即直線x=0）。是頂點的橫坐標（即x=？）。
a,b同號，對稱軸在y軸左側；
a,b異號，對稱軸在y軸右側。
頂點
二次函式圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)。
當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在 x軸上。即可表示為頂點式y=a(x-h) +k（x≠0）
二次函式 二次函式, 。
開口
二次項係數a決定二次函式圖像的開口方向和大小。
當 a>0時，二次函式圖象 向上開口；當 a<0時，拋物線 向下開口。
|a| 越大，則二次函式圖像的開口 越小。
決定位置因素
一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a>0,與b 同號時（即ab >0），對稱軸在 y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸 小於0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a>0,與b 異號時（即ab <0），對稱軸在 y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要 大於0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為 左同右異，即當對稱軸在y軸左時，a與b同號（即a>0，b>0或a<0，b<0）；當對稱軸在y軸右時，a與b異號（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。
事實上，b有其自身的幾何意義：二次函式圖象與y軸的交點處的該二次函式圖像切線的函式解析式（一次函式）的斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
決定交點因素
常數項c決定二次函式圖像與y軸交點。
二次函式圖像與y軸交於（0,C）點
注意：頂點坐標為（h,k)， 與y軸交於（0,C)。
與x軸交點數
a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函式圖像與x軸有2個交點。
k=0時，二次函式圖像與x軸只有1個交點。
質疑點：a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函式圖像與x軸無交點。
二次函式當a>0時，函式在x=h處取得最小值 =k，在x<h範圍內是減函式，在x>h範圍內是增函式（即y隨x的變大而變大），二次函式圖像的開口向上，函式的值域是y>k
二次函式當a<0時，函式在x=h處取得最大值 =k，在x<h範圍內是增函式，在x>h範圍內是減函式（即y隨x的變大而變小），二次函式圖像的開口向下，函式的值域是y<k
當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式
函式圖象
對稱關係
對於 一般式 ：
①y=ax +bx+c與y=ax -bx+c兩圖像關於y軸對稱
②y=ax +bx+c與y=-ax -bx-c兩圖像關於x軸對稱
③y=ax +bx+c與y=-ax +bx+c-b /2a關於頂點對稱
④y=ax +bx+c與y=-ax +bx-c關於原點中心對稱。（即繞原點鏇轉180度後得到的圖形）
對於頂點式：
①y=a(x-h) +k與y=a(x+h) +k兩圖像關於y軸對稱，即頂點(h, k)和(-h, k)關於y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。
②y=a(x-h) +k與y=-a(x-h) -k兩圖像關於x軸對稱，即頂點(h, k)和(h, -k)關於x軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。
③y=a(x-h) +k與y=-a(x-h) +k關於頂點對稱，即頂點(h, k)和(h, k)相同，開口方向相反。
④y=a(x-h) +k與y=-a(x+h) -k關於原點對稱，即頂點(h, k)和(-h, -k)關於原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。
（其實①③④就是對f(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況）
五點法
五點草圖法又被叫做五點作圖法是二次函式中一種常用的作圖方法。
註明：雖說是草圖，但畫出來絕不是草圖。
五點草圖法中的五個點都是極其重要的五個點，分別為：頂點、與x軸的交點、與y軸的交點及其關於對稱軸的對稱點。
Ps.正規考試也是用這種方法初步確定圖像。但是正規考試的要求在於要列表格，取x、y，再確定總體圖像。五點法是可以用在正規考試中的。
描點法
在國中數學中，要求採用描點法畫出二次函式圖像。
二次函式其做法與五點法類似：【以 為例】
1、列表
| x | …… | -1 | -0.5 | 0 | 1 | 2 | 2.5 | 3 | …… |
| 二次函式 | …… | 7 | 3.5 | 1 | -1 | 1 | 3.5 | 7 | …… |
y=2(x-1)^2-1先取頂點，用虛線畫出對稱軸。取與x軸兩個交點（如果存在）、y軸交點及其對稱點（如果存在）和另外兩點及其對稱點。 Ps.原則上相鄰x的差值相等，但遠離頂點的點可以適當減小差值
2、依據表格數據繪製函式圖像,如圖
方程關係
二次函式特別地，二次函式（以下稱函式） ,
當 y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），即
二次函式此時，函式圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函式y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
y=ax² (0，0) x=0
y=ax²+K (0，K) x=0
y=a(x-h)² (h，0) x=h
y=a(x-h)²+k (h，k) x=h
y=ax²+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k（h>0,k>0）的圖象
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y=a(x-h)²+k（h>0,k<0）的圖象
當h<0,k>0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k>0）的圖象
當h<0,k<0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k<0）的圖象
在向上或向下。向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究拋物線 y=ax +bx+c(a≠0)的圖像，通過配方，將一般式化為y=a(x-h) +k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖像提供了方便。
2．拋物線y=ax +bx+c(a≠0)的圖像：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)。
3．拋物線y=ax +bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小。
4．拋物線y=ax +bx+c的圖像與坐標軸的交點：
(1)圖像與y軸一定相交，交點坐標為(0, c)；
二次函式
二次函式
二次函式(2)當 時，圖像與x軸交於兩點A(x, 0)和B(x, 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由 （A為其中一點的橫坐標的兩倍）
二次函式當 時，圖像與x軸只有一個切點；
二次函式當 時，圖像與x軸沒有公共點。當a>0時，圖像落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖像落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0。
二次函式
二次函式 二次函式
二次函式5．拋物線y=ax +bx+c的最值：如果a>0，則當 時， ；如果a<0，則當 時， 。
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值。
6．用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式（表達式）為一般形式：
二次函式(a≠0)
(2)當題給條件為已知圖像的頂點坐標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h) +k(a≠0)。
(3)當題給條件為已知圖像與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。
學習方法
知識要點
1.要理解函式的意義。
2.要記住函式的幾個表達形式，注意區分。
3.一般式，頂點式，交點式，等，區分對稱軸，頂點，圖像，y隨著x的增大而減小（增大）(增減值）等的差異性。
4.聯繫實際對函式圖象的理解。
5.計算時，看圖像時切記取值範圍。
6.隨圖象理解數字的變化而變化。 二次函式考點及例題
二次函式知識很容易與其他知識綜合套用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現。
誤區提醒
（1）對二次函式概念理解有誤，漏掉二次項係數不為0這一限制條件；
（2）對二次函式圖像和性質存在思維誤區；
（3）忽略二次函式自變數取值範圍；
（4）平移拋物線時，弄反方向 。
定義與表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
y=ax²+bx+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.）
則稱y為x的二次函式。
二次函式表達式的右邊通常為二次三項式。
三種表達式
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)²+k[拋物線的頂點P(h, k)]
交點式：y=a(x-x)(x-x)[僅限於與x軸有交點A（x，0）和B（x，0）的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關係：
二次函式 二次函式 二次函式, ，
拋物線的性質
二次函式1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
二次函式。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂
二次函式點P，坐標為
二次函式 二次函式當 時，P在y軸上；當 時，P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線開口大小。
當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a有1個交點。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
拋物線與x軸
交點個數
Δ=b²-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。
係數表達的意義
a決定拋物線的開口方向和大小.當a>0時,拋物線向上開口；當a<0時,拋物線向下開口.
b和a共同決定對稱軸的位置.當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右.
c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交於（0,c）
盤點高中數學名詞
| 高中是大學的過渡階段，學好高中數學，才能為學好大學數學打好基礎，那我們盤點下高中數學中有哪些名詞吧。 |
