定義
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
一般式：y=ax +bx+c(a≠0，a 、b、c為常數)，則稱y為x的二次函式。
頂點式：y=a(x-h) +k(a≠0，a、h、k為常數)
交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2為常數)
重要知識：（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
二次函式表達式的右邊通常為二次。
x是自變數，y是x的二次函式
一元二次方程求根公式
當b -4ac>0 時
二次函式性質當b -4ac=0時
x1=x2=-b/2a
表達式
①一般式
y=ax +bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
②頂點式
[拋物線的頂點 P(h，k) ]： y=a(x-h)+k(a,h,k為常數,a≠0)
③交點式
[僅限於與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]： y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2為常數,a≠0)
轉化
3種形式的轉化∶
①一般式和頂點式
對於二次函式 y=ax+bx+c，其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b)/4a
②一般式和交點式
x1,x2=[-b±√(b-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
有關性質
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b )/4a )
當-b/2a=0，〔即b=0〕時，P在y軸上；當Δ= b -4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b -4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b -4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b -4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（ x= -b±√b－4ac 乘上虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=〔4ac-b 〕/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函式，在{x|x>-b/2a}上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是{y|y≥4ac-b /4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax +c(a≠0)
7.定義域：R
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b )/4a，正無窮）；②[k，正無窮）
奇偶性：非奇非偶 （若且唯若b=0時，函式解析式為f（x）=ax +c, 此時為偶函式）
周期性：無
解析式：
①y=ax +bx+c[一般式]
⑴a≠0，a、b、c為常數。
⑵a>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b )/4a）；
⑷Δ=b -4ac,
Δ>0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b-√Δ]/2a，0）；
Δ=0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
Δ<0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h) +k[配方式]
此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b )/4a；
二次函式的性質
特別地，二次函式（以下稱函式） y=ax+bx+c(a≠0)，
當 y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即 ax+bx+c=0(a≠0)
此時，函式圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函式 y=ax，y=ax+k,y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
| 解析式 | y=ax+k | y=ax | y=a(x-h) | y=a(x-h)+k | y =ax+bx+c |
| 頂點坐標 | (0,k) | (0，0) | ( h，0) | ( h，k) | (-b/2a，4ac-b/4a) |
| 對 稱軸 | x=0(y軸) | x=0(y軸 ) | x=h | x=h | x=-b/2a |
當 h>0時， y=a(x-h)的圖象可由拋物線 y=ax^2向右平行移動 h個單位得到，
當 h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當 h>0,k>0時，將拋物線 y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h) +k的圖象；
當 h>0,k<0時，將拋物線 y=ax向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到 y=a(x-h)+k的圖象；
當 h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動 |h|個單位，再向上移動k個單位可得到 y=a(x-h)+k的圖象；
當 h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動 |h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到 y=a(x-h)+k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h) +k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線 y=ax+bx+c(a≠0 )的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線 x=-b/2a，頂點坐標是 (-b/2a，[4ac-b]/4a)．
3．拋物線 y=ax+bx+c(a≠0 )，若 a>0，當 x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當 x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax +bx+c (a≠0)的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b -4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax +bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x2-x1| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由2x|A+b/2a|（A為其中一點的橫坐標）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax +bx+c的最值（也就是極值）：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b )/4a．
頂點的橫坐標，是取得極值時的自變數值，頂點的縱坐標，是極值的取值．
6．用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax +bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h) +k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．
7．二次函式知識很容易與其它知識綜合套用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中高考的熱點考題，往往以大題形式出現．
其它
關於二次函式的答題
函式y=2x+1的圖象與拋物線y=2x +2x+1的圖像交於一點，求此點坐標.
解:由題知2x+1=2x +2x+1
所以:2x =0
x1=x2=0
y=2x0+1
所以:該點坐標為(0,1)
