定理簡介

定理推廣
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定理1,以△ABC的三邊為底邊各向形外作等腰三角形BCD,CAE和ABF,這三個等腰三角形的底角各為α,β和γ,且α+β+γ=90°,則∠FDE=90°-α,∠DEF=90°-β,∠EFD=90°-γ.證明 為方便計,把△ABC的三內角簡記為A、B、C.因DC=DB,則可將△DCE繞D點鏇轉∠BDC至△DBG位置,連FG.
∵∠FBG=360°-∠DBF-∠DBG
=360°- (α+β+γ) - (α+C+β)
=180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ
=A+β+γ=∠FAE.
又BG=CE=AE,FB=FA,
∴△FBG≌△FAE,FG=FE.
從而△DGF≌△DEF,∠FDG=∠FDE,同理∠DEF=90°-β,∠EFD=90°-γ.
定理2,在△ABC的外側作三角形△BCP、△CAQ和△ABR,使∠PBC=∠QAC=α,∠PCB=∠QCA=β,∠RAB=∠RBA=γ,且α+β+γ=90°,則RQ=RP,且∠QRP=2α.
證明 RB繞R逆時針鏇轉2α至RG,連BG、AG、QG.
∵∠GBA=∠GBR-γ
=90°-α-γ=β
又RA=RB=RG,即R為△ABG的外心,∴△ABG∽△ACQ∽△BCP,又∠BAC=∠GAQ,又∠RGQ=∠AGQ+∠AGR=∠ABC+α+γ=∠RBP,∴∠RGQ≌△RBP.∴RQ=RP.又因∠GRQ=∠BRP,∴∠QRP=∠GRB=2α.
以上摘自百讀拿破崙吧.下面介紹一個更好想的方法:計算法
設新三個三角形的中心分別是O1 O2 O3,
設出角度及邊長,表達出∣O1O2∣及∣O1O3∣的長.經計算均等於(a2+b2+c2)/6】+(abc/2*√3*R)
其中分別為三邊長,R為三角形ABC外接圓半徑。