二次曲線
正文
也稱圓錐曲線或圓錐截線，是直圓錐面的兩腔被一平面所截而得的曲線。當截面不通過錐面的頂點時，曲線可能是圓、橢圓、雙曲線、拋物線。當截面通過錐面的頂點時，曲線退縮成一點、一直線或二相交直線。在截面上的直角坐標系(x,y)之下,這些曲線的方程是x,y的二元二次方程：
。若截面不通過錐面的頂點，令截面與錐面軸線所成的角為θ,錐面的半頂角為α，則當
時，所截曲線為圓；當
時，截面與錐面的所有母線都相交,所截曲線為橢圓；當θ=α時，截面與錐面的一條母線平行，所截曲線為拋物線；當0≤θ<α時,截面與錐面的兩條母線平行，所截曲線為雙曲線。 焦點與準線 如果圓錐曲線不是圓，則在圓錐曲線所在的平面上存在一定點和一定直線，使得圓錐曲線上任何一點到該定點和定直線的距離之比為常數，這個定點稱為圓錐曲線的焦點，定直線稱為圓錐曲線的準線。為了得到焦點與準線，只需作一個球面內切於圓錐面並同時與圓錐曲線所在的平面σ相切。設球面與平面σ相切於點F，球面與圓錐面相切於一個圓,這個圓所在的平面為ω，ω 與σ相交於直線l，則點F，就是焦點，直線l就是準線（圖1）。
二次曲線
二次曲線
。其中θ,α都與P在曲線上的位置無關，所以是常數。這個常數稱為圓錐曲線的離心率，記為e。當截線是橢圓時，e<1；當截線是雙曲線時，e>1；當截線是拋物線時，e=1。對於橢圓或雙曲線，存在兩個合於以上要求的球面，因此橢圓或雙曲線都有兩個焦點與兩條準線。每個焦點與其相應的準線都有上述性質。拋物線只有一個焦點與一條準線。若橢圓的兩個焦點為F1,F2。如圖2所示的球面與圓錐面相切的圓為C1,C2。這時對於橢圓上任意一點P，令通過P的母線OP（O為圓錐面的頂點）與C1、C2的交點分別為A、B。則P到F1的距離｜PF1｜與P到F2的距離｜PF2｜之和為｜PF1｜ ｜PF2｜=｜PA｜ ｜PB｜=｜AB｜。這裡｜AB｜是常數,它與點P在橢圓上的位置無關。這說明了橢圓焦點的一個重要性質，即橢圓上任何一點到兩個焦點的距離之和為常數。類似地，關於雙曲線的焦點有性質：雙曲線上任何一點到兩個焦點距離之差的絕對值為常數。 圓錐曲線的定義 可以根據圓錐曲線的上述焦點、準線性質給出圓錐曲線的定義。三種圓錐曲線的統一定義是：在平面內,設動點到一定點F（稱為焦點）與一定直線l（稱為準線）的距離之比等於常數,根據此常數小於1、大於1或等於1,此動點的軌跡分別稱為橢圓、雙曲線或拋物線。如果分別定義,則為：在平面內,設動點到二定點（稱為焦點）的距離之和等於常數，則此動點的軌跡稱為橢圓；若動點到二定點（稱為焦點）的距離之差的絕對值等於常數，則此動點的軌跡稱為雙曲線。拋物線仍定義為到一定點與一定直線距離相等的動點的軌跡。
以上圓錐曲線的兩種定義是等價的。
圓錐曲線的方程 為了得到圓錐曲線的方程，必須選取適當的坐標系。通過圓錐面的軸並垂直於準線的平面與圓錐曲線所在平面相交於圓錐曲線的軸。圓錐曲線關於它的軸是對稱的。從上面的考慮可知，橢圓和雙曲線還必須關於二焦點連線F1F2的垂直平分線對稱。這條垂直平分線與圓錐曲線的軸的交點就是圓錐曲線的中心C。因此對橢圓或雙曲線而言,適當的坐標系是把圓錐曲線的軸作為x軸,而過中心C的垂線作為y軸的直角坐標系。還可以x軸同上面一樣，而y軸是過一個頂點（軸與曲線的交點）的切線。還可以取圓錐曲線的軸作為極軸的零方向,而一個焦點作為極點的極坐標系（見坐標系）,則對於三種圓錐曲線都是適合的。對於雙曲線而言，還可以形成一個很自然的斜角坐標系，這個坐標系的軸就是相交於中心的兩條漸近線。
拋物線方程 取x軸為拋物線的軸，
而y軸為過頂點的切線（圖3）,令拋物線的焦點與準線的距離為p（稱為拋物線的半參數）,則得到拋物線的頂點型方程 
。
。
， 
橢圓方程 取x軸與橢圓的軸一致,而y軸與兩個頂點之間線段V1V2的垂直平分線一致(圖4
)。y軸與橢圓相交於稱為第二對頂點的兩點W1與W2。長度|V1V2|=2α叫做長軸，長度｜W1W2｜=2b叫做短軸；則得到橢圓的中心型方程 
。這時橢圓的焦點是F1(X,0),F2(-X,0)，其中
，準線是
,
,離心率
。方程
(α>b)也表示橢圓。 雙曲線方程 與橢圓類似地建立坐標系，可以得到雙曲線的中心型方程
。雙曲線沒有短半軸,且只有兩個頂點V1,V2（圖5
）。長度|V1V2|=2α叫做實軸。 由於兩個焦點之間的距離大於兩個頂點間的距離，所以存在由
給出的正數b。2b叫做虛軸。雙曲線的焦點是F1(X,0),F2(-X,0)。準線是
，
，離心率
。 數b的意義可以從下面整理過的方程中看出：
。
時，這個表達式的極限值是
,以這兩極限值作為斜率的兩條直線
就是雙曲線的漸近線。只考慮第一象限的情況，從漸近線上的一點(ξ,η)，其中ξ>α，向x軸作一垂線,它與雙曲線相交於點P(x,y)。由於ξ=x，並且從
與
有y<η。由於從雙曲線方程可以得出 
，在x→時,
,所以
,或者當x→時，
。由此得知x越大，則差 η-y越小。當x→時，雙曲線任意地接近直線
。這條直線就是雙曲線的漸近線。從直角邊為α和b及斜邊為X的直角三角形可以求得它對x軸的傾角。如果把雙曲線的兩條漸近線作為坐標軸,則雙曲線的方程是
常數。形如xy＝常數(≠0)的任何函式都表示雙曲線。與橢圓的情況類似，方程
也表示雙曲線。 方程的一般形式 通過以上圓錐曲線方程的建立，得知任何一種圓錐曲線（拋物線、橢圓、雙曲線）關於直角坐標系的方程都是二元二次方程，因此圓錐曲線可以稱為二次曲線。這一結論對於仿射坐標系也是成立的。反過來要說明二次曲線的各種可能情況，則需對一般二元二次方程進行討論。兩個變數x和y的一般二次方程的形式是
，
，這時方程化為形式：
。這意味著圓錐曲線的軸與坐標軸平行了。然後再通過坐標系的平移繼續進行化簡，平移公式是x′＝x″ ξ，y┡＝y″ η（其中ξ和η 是常數）。這時方程化為形式：
,對於這個方程可以分為兩種情況討論:①如果A≠0且C≠0，選取
,
,則方程變為:
。當N>0時，此方程所表示的曲線可能是橢圓,可能不存在實曲線，可能是雙曲線。當N=0時，此方程所表示的曲線可能是一個點，可能是一對相交直線。當N<0時，可得到與N>0時相同的曲線。②如果AC=0，有三種可能性：當 A=0，C≠0時，若D≠0，選取ξ,η使得Cη K=0,Cη 2Dξ 2Kη F=0,則方程變為
，曲線是一拋物線。若D=0,方程是關於y″的二次方程，因此表示一對平行直線。當A≠0,C=0時,得到與A=0，C≠0時相同的曲線。當A=C=0時，若D與K不全是零,方程表示一直線。若D=K=0，則F也是零。綜上所述，一般二元二次方程所表示的曲線可以是空集、一點、一條或兩條直線,可以是圓錐曲線。對於方程αx 2bxy Xy 2dx 2ey ƒ=0，設 
。
除坐標變換法以外，還可以利用二次曲線方程αx 2bxy Xy 2dx 2ey ƒ =0係數的一些函式來描述二次曲線。經過坐標變換後，方程的係數有所改變，但這些函式的值不變，這些函式稱為二次曲線的不變數。用到的不變數有：
圓錐曲線的其他類型方程 對圓錐曲線還可以建立其他類型的方程，並可以從中看到幾種圓錐曲線之間的聯繫。
頂點型方程 首先定義圓錐曲線的參數。圓錐曲線的參數指的是通過焦點且垂直於主軸的弦長，根據這個定義,計算得拋物線y=2px的參數為2p,橢圓
的參數為
。雙曲線
的參數為
橢圓或雙曲線的參數也可以記為2p，即對上述橢圓或雙曲線，
。 y=2px就是拋物線的頂點型方程。對於橢圓或雙曲線，根據其中心型方程,進行適當的坐標變換,再引用離心率e，就得圓錐曲線的一個公共頂點型方程y＝2px-(1－e)x。對於橢圓
,0<e<1;對於雙曲線
；對於拋物線e=1。應該注意,圓的頂點型方程也包括在這個方程之內,令p=r與e=0,則得到y=2rx-x這正是圓的方程。 極坐標方程 太陽系行星的運動或人造地球衛星的運動都是圍繞一個引力中心（太陽或地球）的橢圓運動，對於這類運動，最自然並且最常用的坐標系是：以引力中心為極點，以運行平面上某一固定方向為極軸方向的極坐標系。在各種圓錐曲線里，取焦點為極點，取該焦點到與其相應的準線的方向為極軸方向，則可得到在極坐標系中所有圓錐曲線的相同形式的方程
。
對於拋物線(e=1)當，φ=π 時，r沒有定義。對於圓或橢圓（e=0或0<e<1），任何φ都對應惟一r值。對於雙曲線(e>1)，當
時，即角φ的終邊與漸近線平行時，r沒有定義。 二級曲線與二階曲線 曲線作為點的集合，在這個觀點下，二次曲線也稱為二階曲線。曲線也可以作為直線的集合。直線 ux υy w=0的係數u,υ,w稱為該直線的齊次坐標，坐標滿足
,（其中α、b、с、d、e、ƒ是實數且α、b、с不全為零）的直線集合稱為二級曲線。有時也把這個直線集合的包絡曲線稱為二級曲線。非退化二階曲線的切線集合構成二級曲線，如果二階曲線的方程是αx 2bxy сy＋2dx＋2ey＋ƒ＝0，則其切線構成的二級曲線方程是
其中 A、B、C、D、K、F分別是α、b、с、d、e、ƒ在
里的代數餘子式。 二次曲線既可以看作二階曲線也可以看作二級曲線。但對高次代數曲線，其階數與級數不相同。
從射影的觀點來看，二階曲線可以定義如下：兩個不同中心S，S′成射影對應的線束S(α1,α2,…)與S′(α
,α
,…)的對應直線的交點
的集合稱為二階曲線。而二級曲線則可以定義為兩個不同底的成射影對應的點列的對應點的連線的集合。根據這種定義知：六個點 A1,A2,…,A6屬於同一個二階曲線的條件是：線束A1(A3,A4,A5,A6)與A2(A3,A4,A5,A6)成射影對應,對偶地可得六條直線屬於同一個二級曲線的條件。 參考書目
G.Salmon,A treatise on conic Section, 6th ed., Chelsea,New York,1962.
孫澤瀛著，《解析幾何學》，高等教育出版社，北京，1958。
