簡介
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有些幾何軌跡問題如果用極坐標法處理,它的方程比用直角坐標法來得簡單,描圖也較方便。1694年,J.貝努利利用極坐標引進了雙紐線,這曲線在18世紀起了相當大的作用。
極坐標系
簡介
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極坐標系是一個二維坐標系統。該坐標系統中的點由一個夾角和一段相對中心點——極點(相當於我們較為熟知的直角坐標系中的原點)的距離來表示。極坐標系的套用領域十分廣泛,包括數學、物理、工程、航海以及機器人領域。在兩點間的關係用夾角和距離很容易表示時,極坐標系便顯得尤為有用;而在平面直角坐標系中,這樣的關係就只能使用三角函式來表示。對於很多類型的曲線,極坐標方程是最簡單的表達形式,甚至對於某些曲線來說,只有極坐標方程能夠表示。
極坐標系的歷史
眾所周知,希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯(Hipparchus 190-120 BC)製成了一張求各角所對弦的弦長函式的表格。並且,曾有人引用了他的極坐標系來確定恆星位置。在螺線方面,阿基米德描述了他的著名的螺線,一個半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻,儘管最終並沒有建立整個坐標系統。關於是誰首次將極坐標系套用為一個正式的坐標系統,流傳著有多種觀點。關於這一問題的較詳盡歷史,哈佛大學教授朱利安·羅亞爾·科利奇的《極坐標系起源》作了闡述。格雷瓜·德·聖-萬桑特 和博納文圖拉·卡瓦列里,被認為在幾乎同時、並獨立地各自引入了極坐標系這一概念。聖-萬桑特在1625年的私人文稿中進行了論述並發表於1647年,而卡瓦列里在1635進行了發表,而後又於1653年進行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標系來解決一個關於阿基米德螺線內的面積問題。布萊士·帕斯卡隨後使用極坐標系來計算拋物線的長度。
在1671年寫成,1736年出版的《流數術和無窮級數》(en:Method of Fluxions)一書中,艾薩克·牛頓第一個將極坐標系套用於表示平面上的任何一點。牛頓在書中驗證了極坐標和其他九種坐標系的轉換關係。在1691年出版的《博學通報》(Acta eruditorum)一書中雅各布·伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線,定點稱為極點,射線稱為極軸。平面內任何一點的坐標都通過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利通過極坐標系對曲線的曲率半徑進行了研究。
實際上套用“極坐標”en:Polar coordinate system這個術語的是由格雷古廖·豐塔納開始的,並且被18世紀的義大利數學家所使用。該術語是由喬治·皮科克在1816年翻譯拉克魯瓦克斯的《微分學與積分學》(Differential and Integral Calculus)一書時,被翻譯為英語的。
阿勒克西斯·謝羅特和萊昂哈德·歐拉被認為是將平面極坐標系擴展到三維空間的數學家。
在極坐標系中表示點
正如所有的二維坐標系,極坐標系也有兩個坐標軸:r(半徑坐標)和θ(角坐標、極角或方位角,有時也表示為φ或t)。r坐標表示與極點的距離,θ坐標表示按逆時針方向坐標距離0°射線(有時也稱作極軸)的角度,極軸就是在平面直角坐標系中的x軸正方向。比如,極坐標中的(3,60°)表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。(−3,240°) 和(3,60°)表示了同一點,因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方(240° − 180° = 60°)。
極坐標系中一個重要的特性是,平面直角坐標中的任意一點,可以在極坐標系中有無限種表達形式。通常來說,點(r,θ)可以任意表示為(r,θ ± n×360°)或(−r,θ ± (2n + 1)180°),這裡n是任意整數。如果某一點的r坐標為0,那么無論θ取何值,該點的位置都落在了極點上。
使用弧度單位
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兩坐標系轉換
極坐標系中的兩個坐標 r 和 θ 可以由下面的公式轉換為 直角坐標系下的坐標值x = r*cos(θ),
y = r*sin(θ),
由上述二公式,可得到從直角坐標系中x 和 y 兩坐標如何計算出極坐標下的坐標
r = sqrt(x^2 + y^2),
θ= arctan y/x
在 x = 0的情況下:若 y 為正數 θ = 90° (π/2 radians); 若 y 為負,則 θ = 270° (3π/2 radians).
極坐標方程
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極坐標方程經常會表現出不同的對稱形式,如果ρ(−θ) = ρ(θ),則曲線關於極點(0°/180°)對稱,如果ρ(π-θ) = ρ(θ),則曲線關於極點(90°/270°)對稱,如果ρ(θ−α) = ρ(θ),則曲線相當於從極點逆時針方向鏇轉α°。
圓
在極坐標系中,圓心在(r,φ) 半徑為 r 的圓的方程為ρ=2rcos(θ-φ)
另:圓心M(ρ',θ') 半徑r 的圓的極坐標方程為:
(ρ')^2+ρ^2-2ρρ'cos(θ-θ')=r^2
根據餘弦定理可推得。
直線
經過極點的射線由如下方程表示θ = φ,
其中φ為射線的傾斜角度,若 m為直角坐標系的射線的斜率,則有φ = arctan m。任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。這些在點(r0,φ)處的直線與射線θ = φ 垂直,其方程為r(θ) = r_0*sec(θ - φ)。
玫瑰線
極坐標的玫瑰線(polar rose)是數學曲線中非常著名的曲線,看上去像花瓣,它只能用極坐標方程來描述,方程如下:r(θ) = a*cos kθ 或
r(θ) = a sin kθ,
如果k是整數,當k是奇數時那么曲線將會是k個花瓣,當k是偶數時曲線將是2k個花瓣。如果k為非整數,將產生圓盤(disc)狀圖形,且花瓣數也為非整數。注意:該方程不可能產生4的倍數加2(如2,6,10……)個花瓣。變數a代表玫瑰線花瓣的長度。
阿基米德螺線
右圖為方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線。阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示:r(θ) = a+bθ,
改變參數a將改變螺線形狀,b控制螺線間距離,通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線,一條θ > 0,另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連線。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像,就是另一條螺線。
圓錐曲線
圓錐曲線方程如下:r = l / (1 + e*cosθ)
其中l表示半徑,e表示離心率。如果e < 1,曲線為橢圓,如果e = 1,曲線為拋物線,如果e > 1,則表示雙曲線。
或者r= e*p / (1 -e*cosθ)
其中e表示離心率,p表示焦點到準線的距離。
其他曲線
由於坐標系統是基於圓環的,所以許多有關曲線的方程,極坐標要比直角坐標系(笛卡兒坐標系)簡單得多。比如雙紐線,心臟線。套用
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克卜勒第一定律:太陽系中的所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在所有橢圓的一個焦點上。
克卜勒第二定律。
極坐標提供了一個表達開普拉行星運行定律的自然數的方法。克卜勒第一定律,認為環繞一顆恆星運行的行星軌道形成了一個橢圓,這個橢圓的一個焦點在質心上。上面所給出的二次曲線部分的等式可用於表達這個橢圓。克卜勒第二定律,即等域定律,認為連線行星和它所環繞的恆星的線在等時間間隔所劃出的區域是面積相等的,即ΔA/Δt是常量。這些等式可由牛頓運動定律推得。在克卜勒行星運動定律中有相關運用極坐標的詳細推導。