定義
來源
機率（Probability）一詞來源於拉丁語“probabilitas”, 又可以解釋為 probity.Probity的意思是“正直，誠實”，在歐洲probity用來表示法庭案例中證人證詞的權威性，且通常與證人的聲譽相關。總之與現代意義上的機率“可能性”含義不同。
古典定義
如果一個試驗滿足兩條：
（1）試驗只有有限個基本結果；
（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。
這樣的試驗便是古典試驗。
對於古典試驗中的事件A，它的機率定義為：P（A）=m/n，其中n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義機率的方法稱為機率的古典定義。
頻率定義
隨著人們遇到問題的複雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點，特別是對於同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的機率，從而產生了種種悖論。另一方面，隨著經驗的積累，人們逐漸認識到，在做大量重複試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，顯示一定的穩定性。R.von米澤斯把這個固定數定義為該事件的機率，這就是機率的頻率定義。從理論上講，機率的頻率定義是不夠嚴謹的。
統計定義
機率 在歷史上，第一個對“當試驗次數n逐漸增大，頻率nA穩定在其機率p上”這一論斷給以嚴格的意義和數學證明的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）。
從機率的統計定義可以看到，數值p就是在該條件下刻畫事件A發生可能性大小的一個數量指標。
由於頻率nA/n總是介於0和1之間，從機率的統計定義可知，對任意事件A，皆有0≤P（A）≤1，P(Ω)=1，P（Φ）=0。其中Ω、Φ分別表示必然事件（在一定條件下必然發生的事件）和不可能事件（在一定條件下必然不發生的事件）。
公理化定義
柯爾莫哥洛夫於1933年給出了機率的公理化定義，如下：
設E是隨機試驗，S是它的樣本空間。對於E的每一事件A賦於一個實數，記為P(A)，稱為事件A的機率。這裡P(·)是一個集合函式，P（·）要滿足下列條件：
（1）非負性：對於每一個事件A，有P(A)≥0;
（2）規範性：對於必然事件Ω，有P(Ω)=1;
（3）可列可加性：設A1，A2……是兩兩互不相容的事件，即對於i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），則有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
名詞
事件
轉盤機率 在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。
通常一次實驗中的某一事件由基本事件組成。如果一次實驗中可能出現的結果有n個，即此實驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那么這種事件就叫做等可能事件。
不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件。
對立事件。即必有一個發生的互斥事件叫做對立事件。
概型
古典概型
古典概型討論的對象局限於隨機試驗所有可能結果為有限個等可能的情形，即基本空間由有限個元素或基本事件組成，其個數記為n，每個基本事件發生的可能性是相同的。若事件A包含m個基本事件，則定義事件A發生的機率為p（A）=m/n，也就是事件A發生的機率等於事件A所包含的基本事件個數除以基本空間的基本事件的總個數，這是P.-S.拉普拉斯的古典概型定義，或稱之為機率的古典定義。歷史上古典概型是由研究諸如擲骰子一類賭博遊戲中的問題引起的。計算古典概型，可以用窮舉法列出所有基本事件，再數清一個事件所含的基本事件個數相除，即藉助組合計算可以簡化計算過程。
幾何概型
幾何概型若隨機試驗中的基本事件有無窮多個，且每個基本事件發生是等可能的，這時就不能使用古典概型，於是產生了幾何概型。幾何概型的基本思想是把事件與幾何區域對應，利用幾何區域的度量來計算事件發生的機率，布豐投針問題是套用幾何概型的一個典型例子。
設某一事件A（也是S中的某一區域），S包含A，它的量度大小為μ（A），若以P（A）表示事件A發生的機率，考慮到“均勻分布”性，事件A發生的機率取為：P（A）=μ（A）/μ（S），這樣計算的機率稱為幾何概型。若Φ是不可能事件，即Φ為Ω中的空的區域，其量度大小為0，故其機率P（Φ）=0。
在機率論發展的早期，人們就注意到古典概型僅考慮試驗結果只有有限個的情況是不夠的，還必須考慮試驗結果是無限個的情況。為此可把無限個試驗結果用歐式空間的某一區域S表示，其試驗結果具有所謂“均勻分布”的性質，關於“均勻分布”的精確定義類似於古典概型中“等可能”只一概念。假設區域S以及其中任何可能出現的小區域A都是可以度量的，其度量的大小分別用μ（S）和μ（A）表示。如一維空間的長度，二維空間的面積，三維空間的體積等。並且假定這種度量具有如長度一樣的各種性質，如度量的非負性、可加性等。
歷史
第一個系統地推算機率的人是16世紀的卡爾達諾。記載在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。書中關於機率的內容是由Gould從拉丁文翻譯出來的。
卡爾達諾的數學著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。例如：《誰，在什麼時候，應該賭博？》、《為什麼亞里斯多德譴責賭博？》、《那些教別人賭博的人是否也擅長賭博呢？》等。
然而，首次提出系統研究機率的是在帕斯卡和費馬來往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找費馬請教幾個關於由Chevvalier de Mere提出的問題。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宮廷的顯要，也是一名狂熱的賭徒。問題主要是兩個：擲骰子問題和比賽獎金分配問題。
性質
性質1．P（Φ）=0.
性質2．（有限可加性）當n個事件A1,…,An兩兩互不相容時： P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)．
性質3．對於任意一個事件A：P(A)=1-P(非A)．
性質4．當事件A,B滿足A包含於B時：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P（B）。
性質5．對於任意一個事件A，P（A）≤1。
性質6．對任意兩個事件A和B，P（B-A）=P（B）-P（AB）。
性質7．（加法公式）對任意兩個事件A和B，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）。
區別頻率
對事件發生可能性大小的量化引入“機率”。獨立重複試驗總次數n,事件A發生的頻數μ，事件A發生的頻率Fn（A）=μ/n,A的頻率Fn（A）有沒有穩定值？如果有就稱頻率μn的穩定值p為事件A發生的機率記作P（A）=p（機率的統計定義）
P（A）是客觀的，而Fn（A）是依賴經驗的。統計中有時也用n很大的時候的Fn（A）值當機率的近似值。
盤點高中數學名詞
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