簡介
保羅·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美國製造業的生產函式。
他們指出，製造業的投資分為，以機器和建築物為主要形式的固定資本投資和以原料、半成品和倉庫里的成品為主要形式的流動資本投資，同時還包括對土地的投資。在他們看來，在商品生產中起作用的資本，是不包括流動資本的。這是因為，他們認為，流動資本屬於製造過程的結果，而非原因。同時，他們還排除了對土地的投資。這是因為，他們認為，這部分投資受土地價值的異常增值的影響較大。
因此，在他們的生產函式中，資本這一要素只包括對機器、工具、設備和工廠建築的投資。而對勞動這一要素的度量，他們選用的是製造業的僱傭工人數。
但是，不幸地是，由於當時對這些生產要素的統計工作既不是每年連續的，也不是恰好按他們的分析需要來分類統計的。因而，他們不得不儘可能地利用有的一些其它數據，來估計出他們打算使用的數據的數值。比如，用生鐵、鋼、鋼材、木材、焦炭、水泥、磚和銅等用於生產機器和建築物的原料的數量變化來估計機器和建築物的數量的變化；用美國一兩個州的僱傭工人數的變化來代表整個美國的僱傭工人數的變化等等。
經過一番處理，他們得到關於1899年至1922年間，產出量P、資本C和勞動L的相對變化的數據（以1899年為基準）。令人佩服的是，在沒有計算機的年代裡，他們從這些數據中，得到了如下的生產函式公式：
柯布這一結果雖然與現代計算機統計軟體的計算結果不同，但兩者無本質上的差別。用嚴格的統計學術語來說，就是在5%的顯著性水平上，不能拒絕這兩者相同的原假設。 從這一結果出發，他們計算出資本的邊際產出，即產出P對資本C的導數，為1/4P/C；勞動的邊際產出，即
產出對勞動L的導數，為3/4P/L。然後，將這些邊際產出乘以相應的生產要素量，得到資本的總產出為1/4P，勞動的總產出為3/4P。
他們顯然被自己的結論嚇壞了。因為他們竟然表示他們自己千辛萬苦好不容易得到的這樣一個結果是值得懷疑的，強調他們的文章不在於給出結論，而在於演示方法。當然，嚇壞他們的，決不是因為他們發現資本也能“創造”價值，而只是因為他們發現產出的大部分，即3/4的產出都應歸屬於勞動。
繼柯布和道格拉斯之後，其他西方學者也對所謂的生產函式進行了實證研究，如霍奇等。霍奇還根據其研究的結果，計算了所謂的最優生產要素配置。根據這一配置，要大大降低勞動要素的投入，增加資本要素的投入，以期獲得更高回報。
基本形式
生產函式模型——經濟成長分析
生產函式模型——經濟成長分析柯布—道格拉斯生產函式的基本的形式為：
式中Y是工業總產值，At是綜合技術水平，L是投入的勞動力數（單位是萬人或人），K是投入的資本，一般指固定資產淨值（單位是億元或萬元，但必須與勞動力數的單位相對應，如勞動力用萬人作單位，固定資產淨值就用億元作單位），α是勞動力產出的彈性係數，β是資本產出的彈性係數，μ表示隨機干擾的影響，μ≤1。
從這個模型看出，決定工業系統發展水平的主要因素是投入的勞動力數、固定資產和綜合技術水平（包括經營管理水平、勞動力素質、引進先進技術等）。根據α 和β的組合情況，它有三種類型：
①α+β>1， 稱為遞增報酬型，表明按技術用擴大生產規模來增加產出是有利的。
②α+β<1，稱為遞減報酬型，表明按技術用擴大生產規模來增加產出是得不償失的。
③α+β=1，稱為不變報酬型，表明生產效率並不會隨著生產規模的擴大而提高，只有提高技術水平，才會提高經濟效益。meaning that doubling the usage of capital K and labor L will also double output Y
美國經濟學家R.M.斯諾提出的中性技術模式即斯諾模型屬於不變報酬型。當μ=1時，斯諾模型為：
柯布-道格拉斯生產函式或
式中(1-ε)是勞動力產出的彈性係數。根據彈性係數的經濟意義和數學意義。
這裡p是產出價格，q是資本價格。當p=q時，
它表示對生產技術水平、經營管理水平和服務水平的綜合評價，全面反映企業的適應能力、競爭能力和生存能力。A(t)值越大，水平越高。
固定投入比例生產函式
根據柯布-道格拉斯生產函式可以得到下列經濟參數（設μ=1）：
柯布-道格拉斯生產函式①勞動力邊際生產力
表示在資產不變時增加單位勞動力所增加的產值。
②資產邊際生產力表示在勞動力不變時增加單位資產所增加的產值。
③勞力對資產的邊際代換率表示產值不變時增加單位勞動力所能減少的資產值。
柯布-道格拉斯生產函式④勞動力產出彈性係數
，表示勞動力投入的變化引起產值的變化的速率。
⑤資產產出彈性係數，表示資產投入的變化引起產值變化的速率。
國際上一般取α=0.2～0.4，β=0.8～0.6。中國根據國家計委測算一般可取α=0.2～0.3，β=0.8～0.7。
生產函式
生產函式介紹
生產函式生產函式是指在一定時期內，在技術水平不變的情況下，生產中所使用的各種生產要素的數量與所能生產的最大產量之間的關係。
它可以用一個數理模型、圖表或圖形來表示。換句話說，就是一定技術條件下投入與產出之間的關係，在處理實際的經濟問題時，生產函式不僅是表示投入與產出之間關係的對應，更是一種生產技術的制約。例如，在考慮成本最小化問題時，必須要考慮到技術制約，而這個制約正是由生產函式給出的。另外，在總量經濟學的增長理論中，在討論技術進步的時候，生產函式得到了很大的討論。
該生產函式表示在既定的生產技術水平下生產要素組合(X1，X2…Xn)在每一時期所能生產的最大產量為Q。在經濟學分析中，通常只使用勞動（L）和資本（K）這兩種生產要素，所以生產函式可以寫成：Q=f(L，K)。
生產函式的特點
1、生產函式反映的是在既定的生產技術條件下投入和產出之間的數量關係。如果技術條件改變，必然會產生新的生產函式。
2、生產函式反映的是某一特定要素投入組合在技術條件下能且只能產生的最大產出。
生產函式的分類
生產函式分一種可變投入生產函式和多種可變投入生產函式。
1、一種可變投入生產函式
對既定產品，技術條件不變、固定投入(通常是資本）一定、一種可變動投入（通常是勞動)與可能生產的最大產量間的關係，通常又稱作短期生產函式。
2、多種可變投入生產函式
長期生產函式在考察時間足夠長時，可能兩種或兩種以上的投入都可以變動、甚至所有的投入都可以變動，通常稱為長期生產函式。
常見的生產函式
1、固定投入比例生產函式
固定投入比例生產函式是指在每一個產量水平上任何一對要素投入量之間的比例都是固定的生產函式。
2、柯布-道格拉斯生產函式
柯布-道格拉斯生產函式是由數學家柯布(C.W.Cobb)和經濟學家道格拉斯(PaulH.Douglas)於20世紀30年代提出來的。柯布—道格拉斯生產函式被認為是一種很有用的生產函式，因為該函式以其簡單的形式具備了經濟學家所關心一些性質，它在經濟理論的分析和套用中都具有一定意義。
套用
生產函式柯布—道格拉斯生產函式模型的建立和套用
柯布—道格拉斯生產函式模型是廣泛套用的一種生產函式。美國科學家道格拉斯和數學家柯布合作，研究了勞動投入與資本投入和產出之間的關係，得出如下柯布—道格拉斯生產函式模型：Y=ax1b1x2b2
柯布—道格拉斯生產函式模型廣泛套用於經濟數量分析，對於農業技術經濟數量分析具有特殊意義。柯布—道格拉斯生產函式模型具有以下的特點：
1、柯布—道格拉斯生產函式模型中，a，b1，b2是固定參數。
2、可線性化。
3、參數估計和其它代數方程相比，計算比較方便。
4、運用柯布—道格拉斯生產函式模型進行技術經濟分析，由於數據特性，計算分析結論更準確。
正是由於這些特點，該模型在農業生產的技術經濟分析中得到了廣泛的套用。
經濟學知識（六）
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