研究過程
波函式（wavefunction）是量子力學中用來描述粒子的德布羅意波的函式。波函式是空間和時間的函式，並且是複函數，即ψ=ψ(x，y，z，t)。將愛因斯坦的“鬼場”和光子存在的機率之間的關係加以推廣，玻恩假定ψ就是粒子的機率密度，即在時刻t，在點(x,y,z)附近單位體積內發現粒子的機率。波函式ψ因此就稱為機率幅。電子在屏上各個位置出現的機率密度並不是常數：有些地方出現的機率大，即出現干涉圖樣中的“亮條紋”；而有些地方出現的機率卻可以為零，沒有電子到達，顯示“暗條紋”。
由此可見，在電子雙縫干涉實驗中觀察到的，是大量事件所顯示出來的一種機率分布，這正是玻恩對波函式物理意義的解釋，即波函式模的平方對應於微觀粒子在某處出現的機率密度(probabilitydensity)：
即是說，微觀粒子在各處出現的機率密度才具有明顯的物理意義。
據此可以認為波函式所代表的是一種機率的波動。這雖然是人們對物質波所能做出的一種理解，但是波函式概念的形成正是量子力學完全擺脫經典觀念、走向成熟的標誌；波函式和機率密度，是構成量子力學理論的最基本的概念。
機率幅滿足於迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2（1.26）相應的機率分布為（1.27）
波函式ψ(r,t)是坐標和時間t的複函數。ψ(r,t)的絕對值二次方乘上r處的體積元dxdydz與粒子在這個體積元中出現的幾率p(r,t)成比例。
p(r,t)=с|ψ(r,t)|²dxdydz,с是比例常數。
一個微觀系統的波函式，滿足薛丁格方程。處於具體條件下的微觀系統的波函式，可由相應的薛丁格方程解出。例如描寫具有確定動量p和能量E的自由粒子狀態的波函式是（公式1）
由|Ф(r,t)|²=|A|²=常量說明自由粒子在空間各點出現的幾率相同。
把波函式的絕對值二次方解釋為與粒子在單位體積內出現的幾率成比例是M.玻恩在E.薛丁格建立波動力學後提出的，被稱為是波函式的統計詮釋。波函式所表示的波也常被稱為幾率波。
由於粒子肯定存在於空間中，因此，將波函式對整個空間積分，就得出粒子在空間各點出現幾率之和，結果應等於1（公式2）
可以用波函式代替ψ(rr,t)作為波函式，那么波函式波函式就滿足條件。
這個條件稱為波函式的歸一化條件，滿足這個條件的波函式ψ┡(r,t)稱為歸一化波函式。
歷史沿革
在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。
埃爾溫·薛丁格德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程，這點子給予埃爾溫·薛丁格極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程。薛丁格參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程來描述這波動行為，而薛丁格給出了這方程。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛丁格方程。他又用自己設計的方程來計算氫原子的譜線，得到的答案與用玻爾模型計算出的答案相同。他將這波動方程與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。
薛丁格給出的薛丁格方程能夠正確地描述波函式的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函式的涵義，薛丁格嘗試用波函式來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函式的物理意義。可是，薛丁格本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函式坍縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛丁格永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛丁格清楚地表明了這意見。
1927年，道格拉斯·哈特里（DouglasHartree）與弗拉基米爾·福克（VladimirFock）在對於多體波函式的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合泡利不相容原理的要求。
薛丁格方程不具有洛倫茲不變性，無法準確給出符合相對論的結果。薛丁格試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程，並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。
1926年，奧斯卡·克萊因（OskarKlein）和沃爾特·戈爾登（WalterGordon）將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛丁格先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有洛倫茲不變性。這方程後來稱為克萊因-戈爾登方程。
1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程，適用於電子等等自鏇為1/2的粒子。這方程的波函式是一個鏇量，擁有自鏇性質。
數學表達
量子力學假設一：對於一個微觀體系，他的任何一個狀態都可以用一個坐標和時間的連續、單值、平方可積的函式Ψ來描述。Ψ是體系的狀態函式，它是所有粒子的坐標函式，也是時間函式。（Ψ）Ψdτ為時刻t及在體積元dτ內出現的機率。Ψ是歸一化的：
波函式量子力學假設二：體系的任何一個可觀測力學量A都可與一個線性算符對應，算符按以下規律構成：
（1）坐標q和時間t對應的算符為用q和t來相乘。
（2）與q相關聯的動量p的算符{p}=-i(h/(2π))(d/dq)(註：d指偏微分，以後不特別說明都指偏微分)
（3）對任一力學量{A}先用經典方法寫成q,p,t的函式A=A(q,p,t)則對應的算符為：{A}=A(q,-i(h/(2π))(d/dq),t)
則：能量算符為：{H}=-h^2/(8π^2m)△+V(其中△為拉普拉斯算符)
△=d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2(直角坐標)
△=(1/r^2)d(r^2d/dr)/dr+(1/(r^2sinθ))d(sinθd/dθ)/dθ+(1/(r^2sin^2θ))d^2/dφ^2(球坐標)
角動量算符：
{L[x]}=-i(h/(2π))(yd/dz-zd/dy)
{L[y]}=-i(h/(2π))(zd/dx-xd/dz)
{L[z]}=-i(h/(2π))(xd/dy-yd/dx)
L^2={L[x]}^2+{L[y]}^2+{L[z]}^2
量子力學假設三：若某一力學量A的算符{A}作用於某一狀態函式ψ後，等於一常數a乘以ψ，即{A}ψ=aψ則稱力學量A對ψ描述的狀態有確定的數值a。a稱的本徵值，ψ稱的本徵波函式，方程{A}ψ=aψ稱的本徵方程。
顯然，對能量來說，{H}ψ=Eψ即為定態的薛定鄂方程。含時的薛定鄂方程為：{H}Ψ=ih/(2π)dΨ/dt量子力學假設四：若ψ[1]，ψ[2]…ψ[n]為某一微觀體系的可能狀態，則他們的線性組合∑Cψ也是該體系的可能狀態，稱ψ的這一性質為疊加原理。
（1）有本徵值力學量的平均值：設ψ對應本徵值為a，體系處於狀態ψ，若ψ已歸一化則:
a(平均值)=∫(ψ){A}ψdτ=∑|C|^2a
(2)無本徵值力學量的平均值：
F(平均值)=∫(ψ){F}ψdτ
則定態中所有的力學量平均值都不隨時間變化。
如圖：為S亞層的軌道3s1電子經過10萬次影象合成的波函式圖象。
機率詮釋
波函式是機率波。其模的平方代表粒子在該處出現的機率密度。既然是機率波，那么它當然具有歸一性。即在全空間的積分。
然而大多數情況下由薛丁格方程求出的波函式並不歸一。所以要在前面乘上一個係數N，即，然後把它帶入歸一化條件,解出N。至此，得到的才是歸一化之後的波函式。注意N並不唯一。
波函式不是買彩票的中獎幾率，彩票的中獎幾率是線性相加的，買兩張彩票，中獎幾率就變為2倍，買N張彩票，中獎幾率就是N倍。波函式具有相干性，具體地說，兩個波函式疊加，機率並非變成12+12=24倍，而是在有的地方變成(1+1)2=4倍，有的地方變成(1-1)2=0，具體取決於兩個波函式的相位差。聯想一下光學中的楊氏雙縫實驗，不難理解這個問題。
重要概念
在量子力學中，可觀測的力學量A以算符的形式出現。代表對波函式的一種運算。例如，在坐標表象下，動量算符對應的A稱為力學量的本徵值，ψ稱為力學量的本徵態。如果測量位於的本徵態ψ上的力學量A，那么它的值是唯一確定的。
重要原理
如果ψ1是體系的一個本徵態，對應的本徵值為A1，ψ2也是體系的一個本徵態，對應的本徵值為A2，那么ψ=C1ψ1+C2ψ2是體系一個可能的存在狀態，如果在這個狀態下對力學量A進行測量，測量到的A值既有可能是A1也有可能是A2，相應的機率之比為。A的平均值為。或者採用狄拉克符號記為。
定態問題
在量子力學中，一類基本的問題是哈密頓算符不是時間的函式的情況。這時，可以分解成一個只與空間有關的函式和一個只與時間有關的函式乘積，即。把它帶入薛丁格方程，就會得到。物理學知識2
| 物理學(PHYSICS)是研究物質世界最基本的結構、最普遍的相互作用、最一般的運動規律及所使用的實驗手段和思維方法的自然科學，簡稱物理。物理學是人們對無生命自然界中物質的轉變的知識做出規律性的總結。 |
