發展歷史
萌芽時期
微分例如公元前五世紀，希臘的德謨克利特（Democritus）提出原子論：他認為宇宙萬物是由極細的原子構成。在中國，《莊子．天下篇》中所言的一尺之捶，日取其半，萬世不竭，亦指零是無窮小量。這些都是最早期人類對無窮、極限等概念的原始的描述。
其他關於無窮、極限的論述，還包括芝諾（Zeno）幾個著名的悖論：其中一個悖論說一個人永遠都追不上一隻烏龜，因為當那人追到烏龜的出發點時，烏龜已經向前爬行了一小段路，當他再追完這一小段，烏龜又已經再向前爬行了一小段路。芝諾說這樣一追一趕的永遠重覆下去，任何人都總追不上一隻最慢的烏龜－－當然，從現代的觀點看，芝諾說的實在荒謬不過；他混淆了「無限」和「無限可分」的概念。人追烏龜經過的那段路縱然無限可分，其長度卻是有限的；所以人仍然可以以有限的時間，走完這一段路。然而這些荒謬的論述，開啟了人類對無窮、極限等概念的探討，對後世發展微積分有深遠的歷史意味。
另外值得一提的是，希臘時代的阿基米德（Archimedes）已經懂得用無窮分割的方法正確地計算一些面積，這跟現代積分的觀念已經很相似。由此可見，在歷史上，積分觀念的形成比微分還要早－－這跟課程上往往先討論微分再討論積分剛剛相反。
十七世紀的大發展牛頓和萊布尼茨的貢獻
中世紀時期，歐洲科學發展停滯不前，人類對無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有什麼突破。中世紀以後，歐洲數學和科學急速發展，微積分的觀念也於此時趨於成熟。在積分方面，一六一五年，克卜勒（Kepler）把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件，從而求出其體積。而伽利略（Galileo）的學生卡瓦列里（Cavalieri）即認為一條線由無窮多個點構成；一個面由無窮多條線構成；一個立體由無窮多個面構成。這些想法都是積分法的前驅。
在微分方面，十七世紀人類也有很大的突破。費馬（Fermat）在一封給羅貝瓦（Roberval）的信中，提及計算函式的極大值和極小值的步驟，而這實際上已相當於現代微分學中所用，設函式導數為零，然後求出函式極點的方法。另外，巴羅（Barrow）亦已經懂得透過微分三角形（相當於以dx、dy、ds為邊的三角形）求出切線的方程，這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的。由此可見，人類在十七世紀已經掌握了微分的要領。
然而，直至十七世紀中葉，人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的觀念。就在這個時候，牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題，透過微積分基本定理或牛頓－萊布尼茨公式聯繫起來，說明求積分基本上是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石，是微積分發展一個重要的里程碑。
一元型
定義
微分通常把自變數x的增量Δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx=Δx。於是函式y=f(x)的微分又可記作dy=f'(x)dx。函式因變數的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。因此，導數也叫做微商。
當自變數X改變為X+△X時，相應地函式值由f(X)改變為f(X+△X)，如果存在一個與△X無關的常數A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0關於△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f(X)在X的微分，記為dy，並稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接套用就是函式的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函式的數值計算結果作為本來函式的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。
推導
設函式y=f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函式的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依賴於△x的常數，o(Δx)是△x的高階無窮小，則稱函式y=f(x)在點x0是可微的。AΔx叫做函式在點x0相應於自變數增量△x的微分，記作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自變數改變數△x的線性函式，dy與△y的差是關於△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。得出：當△x→0時，△y≈dy。導數的記號為：(dy)/(dx)=f′(X)，我們可以發現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變數的增量等於自變數的微分），還可表示為dy=f′(X)dX。
幾何意義
設Δx是曲線y=f(x)上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。
多元型
當自變數為多個時，可得出多元微分的定義。一元微分又叫常微分。
高階型
當自變數是多元變數時，導數的概念已經不適用了（儘管可以定義對某個分量的偏導數），但仍然有微分的概念。
定義
設f是從歐幾里得空間（或者任意一個內積空間）中的一個開集射到的一個函式。對於中的一點x及其在中的鄰域中的點x+h。如果存線上性映射A使得對任意這樣的x+h,
那么稱函式f在點x處可微。線性映射A叫做f在點x處的微分，記作 。
如果f在點x處可微，那么它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別，多元函式的微分也叫做全微分或全導數 。
當函式在某個區域的每一點x都有微分時，可以考慮將x映射到的函式：
這個函式一般稱為微分函式。
性質
如果f是線性映射，那么它在任意一點的微分都等於自身。
在Rn（或定義了一組標準基的內積空間）里，函式的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫：
設f是從Rn射到Rm的函式，f=(f1,f2,...fm)，那么：
具體來說，對於一個改變數：，微分值：
可微的必要條件：如果函式f在一點x_0處可微，那么雅克比矩陣的每一個元素都存在，但反之不真。
可微的充分條件：如果函式f在一點x_0的雅克比矩陣的每一個元素\frac{\partialf_i}{\partialx_j}(x_0)都在x_0連續，那么函式在這點處可微，但反之不真。
例子
函式是一個從R2射到R3的函式。它在某一點(x,y)的雅可比矩陣為：
微分為：，也就是：
我們對函式y進行微分，得出導數，由於微分只進行了一次，所以又被稱為一階導數。
這時，我們微分，得出，那么被稱為二階導數。
同理，我們可以得到三次導數及更高次的導數，（n2）被稱為n階導數。
切線微分
微分需要求出曲線上一點的斜率時，前人往往採用作圖法，將該點的切線畫出，以切線的斜率作為該點的斜率。然而，畫出來的切線是有誤差的，也就是說，以作圖法得到的斜率並不是完全準確的斜率 。微分最早就是為了從數學上解決這一問題而產生的。
以y=x2為例，我們需要求出該曲線在(3,9)上的斜率，當△x與△y的值越接近於0，過這兩點直線的斜率就越接近所求的斜率m，當△x與△y的值變得無限接近於0時，直線的斜率就是點的斜率。
當x=3+Δx時，y=9+Δy，也就是說，（兩邊除以△x）。
（m為曲線在(3,9)上的斜率，為直線斜率）。
我們得出，在點(3,9)處的斜率為6。
當自變數為任意值
在很多情況下，我們需要求出曲線上許多點的斜率，如果每一個點都按上面的方法求斜率，將會消耗大量時間，計算也容易出現誤差，這裡我們仍以為例，計算圖象上任意一點的斜率m。
假設該點為(x,y)，做對照的另一點為(,)，我們按上面的方法再計算一遍：
我們得出，y=x2在點(x,y)處的斜率為2x。
從二次函式到冪函式
通過以上的方法，我們可以得出x的二次函式在任意一點上的斜率，但是這遠遠不夠。我們需要把這種方法擴充到所有的冪函式。假設有函式，假設函式上有一點(x,y)和另一點(x+Δx,y+Δy)，我們可以這樣計算斜率：
（二項展開式）
（兩邊除以△x）
（加上極限）
（其他項均帶有△x，在△x→0的情況下都可以視為等於0）
我們得出，在點(x,y)處的斜率為。
從冪函式到單項式
我們可以把冪函式的斜率擴展到單項式函式的斜率，依然假設有兩點(x,y)和：
（二項展開式）
（ 兩邊減去y）
（兩邊除以△x）
（加上極限）
（其他項均帶有△x，在△x→0的情況下都可以視為等於0）
我們得出，在點(x,y)處的斜率為。
這就是微分的基本公式，“基本法則”目錄有詳細的說明。
被記作dy/dx=m。
單項式
當函式為單項式（a和n為常數）的形式時，有基本公式：
注意：基本公式極為重要，在學習更為複雜的運算法則前請務必牢記。
多項式
當函式為幾個形式的單項式的和或差時，這個函式的導數只需在原函式的導數上進行加減即可。
以函式為例，將其拆分為兩個函式和 且。
可以得出 。
y=u+v
同理可以得出
最後得出公式：
有了這兩個公式，我們可以對大部分常見的初等函式求導。
注意：f'(x)是函式f(x)的導數。
運算法則
基本法則
微分連鎖律
（微分連鎖律）
乘法律
（微分乘法律）
除法律
（微分除法律）
導數
導數一
正弦函式的導數
假設正弦函式y=sinx（x的單位為弧度）上有一點(x,y)和另一點(x+δx,y+δy)：
d/dx(sinx)
=limδx→0δy/δx
=limδx→0sin(x+δx)-sinxδx
=limδx→02os0.5(2x+δx)sin0.5(δx)/δx（sinA-sinB=2os0.5(A+B)in0.5(A-B)）
=limδx→0 os0.5(2x+δx)sin0.5(δx)/0.5δx（兩邊除以2）
=limδx→0 os0.5(2x+δx)sin0.5(δx)/0.5δx
=limδx→0 cos0.5(2x+δx)×limδx→0 sin0.5(δx)0.5δx
=cos0.5(2x)×1（limθ→0(sinθ)/θ=1）
=cosx
最後得出d/dx(sinx)=cosx。
餘弦函式的導數
我們知道cosx=sin(π/2-x)，所以d/dx(cosx)=d/dxsin(π/2-x)。
假設π/2-x=u，我們可以用連鎖律對餘弦函式y=cosx求導：
d/dx(cosx)
=d/dxin(π/2-x
=d/dsin(π/2-x×d/dx(π/2-x)（連鎖律）
=cos(π/2-x)×(-1)（d/dx(sinx)=cosx）
=-cos(π/2-x)
=-sinx（cos(π/2-x)=sinx）
最後得出d/dx(cosx)=-sinx。
正切函式的導數
由於正切函式tanx=(sinx)/(cosx)，我們可以用除法律對其求導：
d/dx(tanx)
=d/dxsinx)/(cosx) （tanx=(sinx)/(cosx)）
=(cosx)d/dx(sinx)-(sinx)d/dx(cosx)(cos^2x)（除法律）
=cos^2x-(sinx)(-sinx)/cos^2x
=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x
=1/cos^2x
=sec^2x
最後得出d/dx(tanx)=sec^2x。
三角函式的套用1
當我們遇到y=sin/cos/tanu（u是自變數為x的函式且常為ax+b的形式）這類函式的時候，可以使用連鎖律求導：
①y=sinu
d/dx(sinu)
=(dy/du)(du/dx)（連鎖律）
=(cosu)(du/dx)
當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：
d/dxin(ax+b)=acos(ax+b)
②y=cos
當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：
d/dxcos(ax+b)=-ain(ax+b)
③y=tanu
d/dx(tanu)
=(dy/du)(du/dx)（連鎖律）
=(sec^2u)(du/dx)
當u的形式為ax+b時，du/dx=a，所以：
d/dxan(ax+b)=asec^2(ac+b)
三角函式的套用2
有時我們需要對y=sin^nx或y=cos^nx（n為常數）這類函式求導，使用連鎖律也可以解決：
這裡我們使用“連鎖律的套用1”中得到的公式：d/dx(y^n)=ny^(n-1)(dy/dx)
①y=sin^nx
dy/dx
=nsin^(n-1)x/dx(sinx)
=nsin^(n-1)xcosx)
②y=cos^nx
dy/dx
=nos^(n-1)xd/dx(cosx)
=-ncos^(n-1)xsinx)
得出公式：
d/dx(sin^nx)=nsin^(n-1)xcosx)
d/dx(cos^nx)=-ns^(n-1)xsinx)
導數二
自然指數函式的導數
在畫圖軟體里，我們可以看出在函式y=e^x上任意一點(x,y)的斜率均等於y。也就是說，m=dy/dx=y。
因此，函式e^x的導數由以下公式獲得
證明：y=e^x,
y+dy=e^(x+dx),
dy=e^(x+dx)-e^x
=e^x(e^dx-1)
=e^x(1+dx+dx^2/2!+……+dx^n/n!-1){e^a=1+a+a^n/n!(n∈N）}
≈dxe^x
∴d/dx(e^x)=e^x
自然指數函式的套用
我們可以使用連鎖律對y=e^u（u是自變數為x的函式）求導：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx)（連鎖律）
=d/du(e^u)(du/dx)
=(e^u)(du/dx)
最後得出：
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
如果u的形式為ax+b（a和b均為常數），那么du/dx=a，可以得出：
d/dxe^(ax+b)=ae^(ax+b)
自然對數函式的導數
我們可以通過d/dx(e^x)=e^x對自然對數函式y=lnx求導：
y=lnx
x=e^y
d/dx(x)=d/dx(e^y)
d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx)（連鎖律）
d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)
(e^y)(dy/dx)=1
x(dy/dx)=1（x=e^y）
dy/dx=1/x
最後得出：
d/dx(lnx)=1/x
自然對數函式的套用
我們可以使用連鎖律對y=lnu（u是自變數為x的函式）求導：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx)（連鎖律）
=d/du(lnu)(du/dx)
=(1/u)(du/dx)
可以得出：
d/dx(lnu)=(1/u)(du/dx)
如果u的形式為ax+b（a和b均為常數），那么du/dx=a，可以得出：
d/dxln(ax+b)=a/(ax+b)
特殊導數
三角函式
d/dx(sinx)=cosx
d/dx(cosx)=-sinx
d/dx(tanx)=sec^2x
d/dxsin(ax+b)=acos(ax+b)
d/dxcos(ax+b)=-asin(ax+b)
d/dxtan(ax+b)=asec^2(ax+b)
d/dx(sin^nx)=nin^(n-1)x(cosx)
d/dx(cos^nx)=-ncos^(n-1)x(sinx)
自然指數函式
d/dx(e^x)=e^x
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
d/dxe^(ax+b)=ae^(ax+b)
自然對數函式
d/dx(lnx)=1/x
d/dx(lnu)=(1/u)(du/dx)
d/dxln(ax+b)=a/(ax+b)
微分套用
法線
我們知道，曲線上一點的法線和那一點的切線互相垂直，微分可以求出切線的斜率，自然也可以求出法線的斜率。
假設函式y=f(x)的圖象為曲線，且曲線上有一點(x1,y1)，那么根據切線斜率的求法，就可以得出該點切線的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以該切線的方程式為：
y-y1=m(x-x1)
由於法線與切線互相垂直，法線的斜率為-1/m且它的方程式為：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函式與減函式
微分是一個鑑別函式（在指定定義域內）為增函式或減函式的有效方法。
鑑別方法：dy/dx與0進行比較，dy/dx大於0時，說明dx增加為正值時，dy增加為正值，所以函式為增函式；dy/dx小於0時，說明dx增加為正值時，dy增加為負值，所以函式為減函式。
例1：分析函式y=x^2-1的增減性
y=x^2-1
dy/dx=2x
當x>0時，dy/dx>0，所以函式y=x^2-1在x>0時是增函式；
當x<0時，dy/dx<0，所以函式y=x^2-1在x<0時是減函式 。
變化的速率
微分在日常生活中的套用，就是求出非線性變化中某一時間點特定指標的變化。
比如說，有一個水箱正在加水，水箱裡水的體積V（升）和時間t（秒）的關係為V=5-2/(t+1)，
在t=3時，我們想知道此時水加入的速率，於是我們算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3後得出dV/dt=1/8。
所以我們可以得出在加水開始3秒時，水箱裡的水的體積以每秒1/8升的速率增加。
經濟套用數學
| 經濟套用數學是高等學校財經類專業的必學內容。此任務主要對微積分的基本知識進行概述講解。提供給剛入門此專業的學生。希望對他們有所幫助。 |
