柯西，A．L．（Cauchy，Augustin－Louis）1789年8月21日生於法國巴黎；1857年5月22日卒於法國斯科。數學、數學物理、力學。數學分析嚴格化的開拓者
分析嚴格化的需要
柯西懷著嚴格化的明確目標，為數學分析建立了一個基本嚴謹的完整體系。他說：“至於方法，我力圖賦予……幾何學中存在的嚴格性，決不求助於從代數一般性導出的推理。這種推理……只能認為是一種推斷，有時還適用於提示真理，但與數學科學的令人嘆服的嚴謹性很不相符。”他說他通過分析公式成立的條件和規定所用記號的意義，“消除了所有不確定性”，並說：“我的主要目標是使嚴謹性（這是我在《分析教程》中為自己制定的準繩）與基於無窮小的直接考慮所得到的簡單性和諧一致。”極限與無窮小
柯西規定：“當一個變數相繼取的值無限接近於一個固定值，最終與此固定值之差要多小就有多小時，該值就稱為所有其他值的極限。”“當同一變數相繼取的數值無限減小以至降到低於任何給定的數，這個變數就成為人們所稱的無窮小或無窮小量。這類變數以零為其極限。”“當同一變數相繼取的數值越來越增加以至升到高於每個給定的數，如果它是正變數，則稱它以正無窮為其極限，記作∞；如果是負變數，則稱它以負無窮為其極限，記作－∞。”從字面上看，柯西的定義與在此以前達朗貝爾、拉克魯瓦所給的定義差別不大，但實際上有巨大改進。
首先，柯西常常把他的定義轉述為不等式。在討論複雜表達式的極限時，他用了ε－δ論證法的雛型。其次，他首次放棄了過去定義中常有的“一個變數決不會超過它的極限”這類不必要的提法，也不提過去定義中常涉及的一個變數是否“達到”它的極限，而把重點放在變數具有極限時的性態。最後，他以極限為基礎定義無窮小和微積分學中的基本概念，建立了級數收斂性的一般理論。
函式及其連續性
柯西以接近於現代的方式定義單元函式：“當一些變數以這樣的方式相聯繫，即當其中之一給定時，能推知所有其他變數的值，則通常就認為這些變數由前一變數表示，此變數取名為自變數，而其餘由自變數表示的變數，就是通常所說的該自變數的一些函式。”他以類似方式定義多元函式，並區別了顯函式和隱函式，用他建立的微分方程解的存在性定理在較強條件下證明了隱函式的局部存在性。
柯西給出了連續的嚴格定義：“函式f（x）是處於兩個指定界限之間的變數x的連續函式，如果對這兩個界限之間的每個值x，差f（x＋a）－f（x）的數值隨著a無限減小。換言之，……變數的無窮小增量總導致函式本身的無窮小增量。”在一個附錄中，他給出了閉區間上連續函式介值性質的嚴格證明，其中用到了“區間套”思想。
微分學
柯西按照前人方式用差商的極限定義導數，但在定義中多了一句：“當這個極限存在時，……用加撇符號y'或f'（x）表示。”這表明他已用嶄新的方式考慮問題。他把導數定義轉述為不等式，由此證明有關的各種定理。
柯西以割線的極限位置切線，用中值定理證明極限點處切線的水平性。他證明了f'（x0）＝……＝f（n－1）（x0）＝0時用f（n）（x0）的符號判斷極大、極小的命題。他由自己的中值定理推導出洛必達法則。這樣，他就為微分學的套用奠定了嚴格的理論基礎。
積分學
他既給出了連續函式定積分的定義，又證明了它的存在性。他還指出這種定義對於不能把被積函式轉化為原函式的一般情形也適用。他給出了現在通用的廣義積分的定義。
柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶餘項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。
柯西的定義是從僅把積分看作微分逆運算走向現代積分理論的轉折點，他堅持先證明存在性則是從依賴直覺到嚴格分析的轉折點。
級數論
柯西是第一個認識到無窮級數論並非多項式理論的平凡推廣而應當以極限為基礎建立其完整理論的數學家。他以部分和有限定義級數收斂並以此極限定義收斂級數之和。18世紀中許多數學家都隱約地使用過這種定義，柯西則明確地陳述這一定義，並以此為基礎比較嚴格地建立了完整的級數論。他給出所謂“柯西準則”，證明了必要性，並以理所當然的口氣斷定充分性。對於正項級數，他嚴格證明了比率判別法和他創造的根式判別法；指出ΣUn與Σ2nU2n同時收斂或發散，由此推出一些常用級數的斂散性；證明兩個收斂級數Σ的積級數Σ收斂。對於一般項級數，他引進了絕對收斂概念，指出絕對收斂級數必收斂；收斂級數之和收斂，但積不一定收斂，並舉出反例
對於冪級數，柯西得到了收斂半徑公式，他以例子f（x）＝e－1/x2表明，一個函式可為它的泰勒級數代替只當後者收斂且其和等於所給函式。
影響
在柯西手裡，微積分構成了由定義、定理及其證明和有關的各種套用組成的邏輯上緊密聯繫的體系。他的分析教程成為嚴格分析誕生的起點。
複變函數論的奠基人
19世紀，複變函數論逐漸成為數學的一個獨立分支，柯西為此作了奠基性的工作。
複函數與復冪級數
《分析教程》中有一半以上篇幅討論複數與初等複函數，這表明柯西早就把建立複變函數論作為分析的一項重要工程。他以形式方法引進複數（“虛表示式”），定義其基本運算，得到這些運算的性質。他比照實的情形定義復無窮小與複函數的連續性。
復積分
柯西寫於1814年的關於定積分的論文是他創立複變函數論的第一步。文中給出了所謂柯西－黎曼方程；討論了改變二重積分的次序問題，提出了被積函式有無窮型間斷點時主值積分的觀念並計算了許多廣義積分。
柯西寫於1825年的關於積分限為虛數的定積分的論文，是一篇力作。文中提出了作為單複變函數論基礎的“柯西積分定理”。柯西本人用變分方法證明了這條定理，證明中曲線連續變形的思想，可以說是“同倫”觀念的萌芽。文中還討論了被積函式出現一階與m階極點時廣義積分的計算。
殘數演算
術語“殘數”首次出現於柯西在1826年寫的一篇論文中。他認為殘數演算已成為“一種類似於微積分的新型計算方法”，可以套用於大量問題。
複變函數論的建立
C．A．布里奧於1859年出版了《雙周期函式論》，闡明了柯西理論的對象，系統闡述了複變函數論，對於把柯西的觀念傳播到全歐洲起了決定性作用，標誌著單複變函數論正式形成。
