定義
多元函式定義
設D為一個非空的n 元有序數組的集合， f為某一確定的對應規則。
多元函式——二元函式z=f若對於每一個有序數組（x1,x2,…,xn）∈D，通過對應規則f，都有唯一確定的實數y與之對應，則稱對應規則f為定義在D上的n元函式。記為y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。 變數x1,x2,…,xn稱為自變數；y稱為因變數。（xi,其中i是下標。下同）
當n=1時，為一元函式，記為y=f(x),x∈D;
當n=2時，為二元函式，記為z=f(x,y),(x,y)∈D.圖象如圖。
二元及以上的函式統稱為多元函式。
其他定義
設D是n維空間的一個點集，f為某一確定的對應法則。如果對於每個點P(x1,x2,…,xn)∈D，變數z按照對應法則f總有唯一確定的值和它對應，則稱z是變數x1,x2,…,xn的n元函式。記為z=f（x1,x2,…,xn），(x1,x2,…,xn) ∈D，或z=f（P），P∈D。若函式f的定義域D是實數集R的一個子集，即只依賴於一個自變數，就說f是一元函式。若函式f的定義域D是n個R的笛卡爾（R. Descartes）積R×R×…×R=R^n的子集,即依賴於n個獨立自變數，就說f是n元函式。
當n≥2時，n元函式泛稱為多元函式。
二元函式的定義域通常是由平面上的一條或幾條光滑曲線所圍成的平面區域，圍成區域的曲線稱為區域的邊界，包括邊界在內的區域稱為閉區域，否則稱為開區域。
背景
人們常常說的函式y=f(x)，是因變數與一個自變數之間的關係，即因變數的值只依賴於一個自變數，稱為一元函式。
但在許多實際問題中往往需要研究因變數與幾個自變數之間的關係，即因變數的值依賴於幾個自變數。
例如，某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價格有關，而且與消費者的收入以及這種商品的其它代用品的價格等因素有關，即決定該商品需求量的因素不止一個而是多個。要全面研究這類問題，就需要引入多元函式的概念。
幾點說明
1．研究一元函式的思想方法
研究一元函式的思想方法是研究多元函式、尤其是二元函式的基礎。研究二元函式的思想方法又是研究多元函式的基礎。
2．多元函式性質
象一元函式一樣，它也有定義域、值域、自變數、因變數、極限、導數等概念和性質。
3．三種定義的異同
這裡分別給出了多元函式的三種定義。即有序數組定義、n維空間定義和笛卡爾積定義。可以說前兩者是等價的。後者外延更廣泛。
本質
多元函式的本質是一種關係。是兩個集合間一種確定的對應關係。這兩個集合的元素可以是數；也可以是點、線、面、體；還可以是向量、矩陣；等等。一個元素或多個元素對應的結果可以是惟一的元素，即單值的。也可以是多個元素，即多值的。
人們最常見的函式，以及目前我國中學數學教科書所說的“函式”，除有特別註明者外，實際上（全稱）是一元單值實變函式。
設點（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若對每一點（x1，x2，…，xn）∈G，由某規則f有唯一的 u∈U與之對應：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），則稱f為一個n元函式，G為定義域，U為值域。
基本初等函式及其圖像 冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式稱為基本初等函式。
①冪函式：y＝xμ（μ≠0，μ為任意實數）定義域：μ為正整數時為（－∞，＋∞），μ為負整數時是 （－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝α(為整數)，當α是奇數時為（ －∞，＋∞），當α是偶數時為（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作為的複合函式進行討論。略圖如圖2、圖3。
②指數函式：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定義成為（ －∞，＋∞），值域為（0 ，＋∞），a＞0 時是嚴格單調增加的函式（ 即當x2＞x1時，） ，0＜a＜1 時是嚴格單減函式。對任何a，圖像均過點（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的圖形關於y軸對稱。如圖4。
③對數函式：y＝logax（a＞0）， 稱a為底 ， 定義域為（0，＋∞），值域為（－∞，＋∞） 。a＞1 時是嚴格單調增加的，0＜a＜1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函式的圖形均過點（1，0），對數函式與指數函式互為反函式 。如圖5。
以10為底的對數稱為常用對數 ，簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數，即自然對數，記作lnx。
④三角函式：見表2。
正弦函式、餘弦函式如圖6，圖7所示。
⑤反三角函式：見表3。雙曲正、餘弦如圖8。
⑥雙曲函式：雙曲正弦（ex－e-x），雙曲餘弦?（ex＋e-x），雙曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，雙曲餘切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。
[編輯]補充
在數學領域，函式是一種關係，這種關係使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素（這只是一元函式f（x）＝y的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。函式的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
術語函式，映射，對應，變換通常都是同一個意思。
圖書信息
書 名: 多元函式
作者：（美）弗萊明
多元函式出版社： 世界圖書出版公司
出版時間： 2010-9-1
ISBN: 9787510027307
開本： 16開
定價: 45.00 元
內容簡介
The book is suitable for a one-year course at the advanced undergraduate level. By omitting certain chapters, a one semester course can be based on it. For instance, if the students already have a good knowledge of partial differentiation and the elementary topology of E', then substantial parts of Chapters 4, 5, 7, and 8 can be covered in a semester. Some knowledge of linear algebra is presumed. However, results from linear algebra are reviewed as needed (in some cases without proof).
< 本書適用於一年制的課程的高年級本科生的水平。通過省略某些章節，一學期的課程，可以基於它。舉例來說，如果學生已經有部分分化良好的知識和E的基本拓撲結構“，那么大量，第4章，57的部分，和8可以復蓋在一個學期。線性代數的一些知識推測。然而，從線性代數結果需要（在某些情況下沒有證明）進行審查。 >
目錄
chapter 1
euclidean spaces
1.1the real number system
1.2euclidean en
1.3elementary geometry of en
1.4basic topological notions in en
1.5convex sets
chapter 2
elementary topology of en
2.1functions
2.2limits and continuity of transformations
2.3sequences in e"
2.4bolzano-weierstrass theorem
2.5relative neighborhoods, continuous transformations
2.6topological spaces
...............
經濟套用數學
| 經濟套用數學是高等學校財經類專業的必學內容。此任務主要對微積分的基本知識進行概述講解。提供給剛入門此專業的學生。希望對他們有所幫助。 |
