分析學簡介
17世紀以來在微積分學發展的基礎上形成的數學一大分支。它曾和幾何學、代數學並列為數學中的三個主要分支,並從18世紀以來相對獨立地得到很大的發展,曾經被認為是數學的一個最大分支。分析學研究的內容
分析學包括哪些內容是隨著數學的發展過程而不斷變動的。17～18世紀的分析學，可以說是以無窮小分析為主，即以微積分學、無窮級數為主，還包括經典的變分法、微分方程、積分方程和複變函數的一些基本內容。19世紀以來，數學各分支日趨專業化，促使分析學的各分支相對獨立地深入發展。微積分學和無窮級數的理論由於極限理論的發展，在19世紀得到了嚴密化，函式論特別是單複變函數論的內容得到了極大的豐富而趨於完整,這時的分析學,函式論占據了獨特的地位，雖然變分法、微分方程、積分方程也都有相當大的發展。到了20世紀，數學發展的一個特點就是在各分支深入發展的基礎上，探求普遍性和統一性。泛函分析的發展是由於變分法和積分方程的一般理論的需求。近代數學發展的又一特點，是各分支的相互滲透與綜合，不僅體現在泛函分析的發展上還特別體現在近代微分方程的發展上。隨著數學的其他分支如幾何學、拓撲學、代數學、機率論的發展以及分析學中的泛函分析、函式論等的發展，微分方程的理論工具日益豐富；又由於近代電子計算機的飛速發展，為它提供了強大的計算工具。這樣20世紀的微分方程不僅成為分析學的一個最大分支，而事實上已發展到可以並列於機率論與數理統計學這樣重要分支的地位。即從數學分類而論，微分方程應屬於分析學；就其內容的豐富程度而論，它已能並列於機率論與數理統計而成為數學的一個獨立分支。實際上早期的機率論也屬於分析學，由於它和數理統計學的緊密結合，已發展成為數學的一大分支。至於一開始就和無窮小分析結合在一起的數值分析，由於近代計算數學的興起，有了極大的發展，在分析學中雖仍保留著函式逼近論的內容，但數值分析已經屬於計算數學的範圍。另外，近代發展的大範圍變分法、遍歷理論、位勢論和流形上的分析等，雖屬於分析學的範圍，但都是數學其他分支的相互綜合。事實上，分析學的許多分支如多複變函數論、群上調和分析、非線性泛函分析等的近代發展，也都體現了數學各分支的相互滲透與綜合。目前有關分析學的新的學科分支名稱如非線性分析、套用分析等，已相當普遍地被採用，儘管它們確切包含哪些內容並沒有定論。由此可見一個學科分支的內容並不是一成不變的，今後分析學的內容仍將隨著數學的發展而不斷有所改變。分析學發展的特點
分析學的發展從一開始就與力學、物理學和幾何學的發展緊密聯繫著。根據微積分學發展的歷史，可以知道它的許多基本概念是和力學、物理學以及幾何學的具體問題相聯繫的，都有著實際的背景，並受到實際需要的推動。例如，已知物體運動的路程s是時間t的函式s(t),要求它在某一時刻t的瞬時速度v(t)，這是求導數的問題,正是導數概念的由來之一;反之,已知瞬時速度v(t)和路程s的某一初值要求運動路程s(t)，這是求積分的問題。物理上這個簡單問題，就形成了微積分的互逆關係(見微積分學、微分學、積分學)。17世紀I.牛頓、G.W.萊布尼茨完成了微積分學的創建工作，與此同時相應的力學和物理學也得到了發展。幾何學的發展也同樣說明問題，微分幾何在很大程度上可以認為是微積分本身問題的自然產物，而它的近代發展正方興未艾。在17世紀，求曲線的切線及其斜率是一個對於實際套用有重大意義的幾何問題。在透鏡的設計中和考慮運動物體在它的運動軌跡曲線上一點的運動方向時，都需要知道曲線上任一點的切線。為求光線通過透鏡的道路,就需知道光線的入射角,即應知道透鏡鏡面截線在入射點處的法線，它是鏡面曲線切線的垂線。一般來講，物體在其運動軌跡曲線上一點的運動方向本身就是該點的切線方向。值得注意的是這個求曲線切線斜率的純幾何問題的研究，正好是微積分學中導數概念的由來之一。可以引述牛頓的老師I.巴羅求曲線的切線斜率的典型方法,即他利用了所謂特徵三角形(其後就被稱為微分三角形)的方法。如圖1
所示，如果已知曲線上一點P(x0,y0)處的切線交x軸於點N,則該切線的斜率等於M P/NM ，這裡PM 垂直於x 軸。在曲線上另外取一點
如圖所示，過P*作x 軸的垂線P*M *，交切線於Q*,過P 軸的直線,交PM *於R*,則三角形PR*Q*與三角形NM P相似,從而
。從圖形上可以看出，當P*沿曲線接近於P點時,Q*很快與P*重合。例如,在圖中取P點的鄰近點
時,垂線P┡M ┡與切線的交點Q可以看作與P┡重合,曲線弧
可以看作與切線段PQ重合,於是三角形PRQ 就稱為特徵三角形。巴羅認為所求的斜率即為RQ/PR=b┡/α┡。實際上這裡的α┡與b┡並非常量,只有當P┡點無限接近於P點時，比值b┡/α┡的極限存在時,極限值才是所求切線的斜率。事實上,當巴羅運用他的特徵三角形求切線的斜率時，已經隱含了這樣一個無限接近的極限過程，只是當時他還不能正確運用這一極限過程。例如,他在求拋物線y2=Px在一點P(x0,y0)的切線斜率時是這樣推導的:
α┡),後一式兩端展開得
利用前一式兩端減去一個等量，即得
到了這一步後，巴羅當時的論點認為,b┡2比起b┡是可以略去不計的，從而就得到 
即得所求切線的斜率是
不嚴密的推導卻得到了正確的結果。巴羅用特徵三角形求切線斜率的思想,實際上就是17、18世紀導數概念的由來,也是17、18世紀微分幾何學把微分看作極小的幾何常量來運用的由來。他的主要著作《幾何學講義》是對微積分學的一個重要貢獻。牛頓首先把微積分學稱為分析學，獨立於幾何學。他在1669年把他自己在微積分學方面的主要工作寫成一篇題為《運用無窮多項方程的分析學》的小冊子，把無窮級數也納入了分析學的範圍。 微積分的萌芽思想，還可以追溯得更遠。中國古代的數學家劉徽（公元 3世紀）的割圓術和其後祖沖之關於圓周率的工作是值得提出的。劉徽首先肯定圓內接正多邊形的面積小於圓的面積,當正多邊形的邊數如圖2
所示增加一倍時，新的內接正多邊形的面積就增大。這從圖形上看是顯然的。他把原來的正多邊形的每一條邊,例如邊RQ 所對的圓孤
的中點P定下來，然後把P點和該邊的兩個端點R和Q連線起來,得到新的內接正多邊形的兩條邊RP和PQ。根據平面幾何全大於其份的公設，扇形O-的面積大於四邊形ORPQ 的面積，而後者又大於三角形ORQ的面積,可見他的論斷是有充分根據的。顯然正多邊形的邊數越加倍，它的面積越接近於圓的面積。劉徽在他的割圓術中說道：“割之彌細，所失彌少，割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。”在這一特殊問題上，劉徽反映的極限思想比上述巴羅運用特徵三角形求曲線切線的斜率時所隱含的極限思想要更為明確。劉徽所說的“割之彌細，所失彌少”表達了圓面積與內接正多邊形面積之差是一個單調減少的正的序列。他的後兩句話表示當邊數無限增加時，這個序列的極限為零，即他所說的“無所失矣”。祖沖之在劉徽割圓術的基礎上首先計算出了精確到千萬分之一的圓周率的近似值，他還相當精確地計算了球的體積。由此可見,在一些具體的問題上,如求切線、求弧長、求曲邊形的面積或曲面體的體積等，在17世紀初已經積累了不少成果，而且可以追溯得很遠，有些成果即使在微積分創立之後，也是用同樣的思想和方法解決的。但微積分作為一門學科來發展，還是由於牛頓和萊布尼茨的貢獻。在他們之前，微積分的工作差不多局限於一些具體問題的細節之中，還缺乏普遍性的規律。牛頓和萊布尼茨的工作首先使得導數與積分的互逆關係成為相當廣泛的一類函式的普遍規律。他們有效地創立了微積分的基本定理和運算法則，從而使微積分能普遍套用於科學實踐，終於不再是古希臘幾何學的延展而成為一門獨立的學科，並成為數學中最大分支“分析學”的起源。這都是他們作出貢獻以前不可能達到的。 18世紀以來的分析學 18世紀, 分析學的套用大刀闊斧地向前邁進。這時微積分學充分發揮了它的威力，促使經典的變分法、微分方程、積分方程都有很大發展。分析學的範圍擴大了。無窮小分析成為當時數學發展的一個主流。整個18世紀的數學進展，遠較其他世紀更直接受到物理問題的推動。一方面數學為解決物理問題而創造出新的數學方法與理論，另一方面物理學的進展愈來愈需要新的數學方法與理論作為它的工具。這時數學本身的嚴密性問題很少引起注意，諸如級數與積分的收斂問題，累次積分交換次序問題，微分方程解的存在與惟一問題等，幾乎無人問津。一個物理問題用數學形式表達出來之後，數學家們就開始工作，新的數學方法和定理就不斷湧現。既然結論在物理問題上被證實是正確的，就顧不到追究在數學推理上的嚴密性。當時正是物理與幾何的直觀促進了無窮小分析的蓬勃進展，至於奠定數學的邏輯基礎，一時還看不到什麼迫切的需要。18世紀數學家的代表人物L.歐拉同時是當時居領導地位的理論物理學家。他還研究船舶設計、帆的作用、彈道學、地圖學以及其他的實際問題。他的數學著作多得驚人，幾乎每個領域都有他的重要貢獻。在18世紀雖沒有產生象17世紀時的微積分那樣劃時代的新學科，但當時的數學家施展了高超的技巧，發掘並推進了微積分學的影響，擴大了分析學的領域。變分法的早期工作幾乎和微積分本身難以區分。牛頓就研究過物體在水中作軸向常速運動時，要使運動阻力最小，其鏇轉曲面應具什麼形狀的問題。1696年約翰第一·伯努利提出了最速降曲線的問題，要求從一給定點P1到處於P1下方但並不在過P1點的鉛直線上一點 P2的曲線弧
使得一個質點沿這曲線弧從 P1下滑到P2所用的時間為最短，而質點在 P1處的初速是已知的。這一類問題都歸結為要求一個未知函式y(x)，使得如下形式的積分 
，但他當時並不明確這只是必要條件。他在1736年發表這個有名的方程,並由此來求得使J取極值的解。至於該微分方程的解是否是使J取極值的解,他只是從所處理的實際問題來回答。歐拉還解決了帶有特殊邊界條件的更難的極值問題。他的方法還是先從解這個微分方程入手。歐拉的工作引起了J.-L.拉格朗日的注意,他於1755年對於範圍較廣的一類極值問題得到了一個比較系統而一般的方法，他稱之為變分法。用這個方法他求出了使 J取到極值的必要條件是歐拉已經獲得的那個微分方程。這個結果後來被稱為變分法基本引理，它的嚴格證明直到1848年由 P.F.薩魯斯給出。至於尋求使J取到極值的充分條件，在18世紀也沒有得到結果，1879年K.（T.W.）外爾斯特拉斯才給出了充分條件。他把拉格朗日變分稱為弱變分，並且引進了強變分概念，給出了在強變分意義下使J取極值的充分條件。到20世紀,D.希爾伯特提出了他的不變積分理論，從而比較簡單地導出了外爾斯特拉斯關於強變分的充分條件。從變分法的進展也可以看出18世紀數學工作的特點。數學家們巧妙地運用無窮小分析的技巧，解決了許多類型的極值問題，如最速降曲線問題、等周問題、測地線問題、極小鏇轉曲面問題等等,但變分法基本引理的嚴格證明以及使J取極值的充分條件卻並沒有認真研究（見變分法）。 到了19世紀，分析學中直觀的不嚴密的論證導致的局限性和矛盾愈益顯著，分析的嚴密化日益引起數學家的關注。 N.H.阿貝爾於1826年給 C.豪斯頓的一封信中寫道：“人們在分析中確實發現了驚人的含糊不清的地方。這樣一個完全沒有計畫和體系的分析，竟有那么多人能研究過它，真是奇怪。最壞的是從來沒有嚴格地對待過分析。在高等分析中只有很少幾個定理是用邏輯上站得住腳的方式證明的。人們到處發現這種從特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是這種方法只導致了極少幾個所謂的悖論。”這些話確實反映了當時分析學發展的情況。事實上，儘管微積分學已發展成為一門獨立的學科，具備了極為豐富的內容和十分廣泛的套用,但是它自己還未形成邏輯嚴密的理論體系,甚至它的最主要的基本概念如函式、導數、微分、定積分等，都還沒有嚴密地給出定義。嚴密的分析是從B.波爾查諾、A.-L.柯西，阿貝爾和 P.G.L.狄利克雷的工作開始，並由外爾斯特拉斯進一步發展了的。在這方面以柯西和外爾斯特拉斯的工作為最主要。柯西在他的《分析教程》(1821)中從定義變數開始，對於函式概念引進了變數間的對應關係，而單值函式的確切定義，是狄利克雷在一篇關於傅立葉級數的論文《用正弦和餘弦級數來表示完全任意的函式》中給出的，該文發表於1837年。三角級數的研究不僅導致函式概念的嚴密化、外爾斯特拉斯還利用三角級數構造出處處連續處處不可導的函式的例子。上述柯西和狄利克雷二人的工作都擯棄了歐拉認為函式必須有分析表達式的觀點和拉格朗日認為函式都可以用冪級數展開的觀點。事實上，有名的狄利克雷函式即在一切有理數取值1,在一切無理數取值0,就是狄利克雷在1829年給出的，顯然並不需要用複雜的分析表達式來表示後才肯定其為函式。關於函式連續性的確切定義，即ε-δ說法,是由外爾斯特拉斯在1841～1856年間做中學教師時給出的,直到1859年他在柏林大學任教之前,他的大部分工作沒有為人們所知道。波爾查諾於1817年首先給出了導數的定義,並且給出了級數收斂的明確概念,但他的工作有半個世紀未被注意。關於收斂概念，一般歸之於柯西1821年的工作。柯西於1823年在他的《無窮小分析教程概論》的著作中，對定積分作了系統的開創性工作，對於連續函式給出了定積分作為和的極限的確切定義。定積分概念對於一般的有界函式的定義是黎曼完成的。分析的嚴密化促進了實數系的邏輯基礎的建立。外爾斯特拉斯於1840年就開始考慮了無理數理論，到1872年R.戴德金的分劃使實數系建立在有理數的基礎上，從此微積分學才形成了嚴密的理論體系。蘇聯數學課程的設定中，稱這樣理論體系的微積分為數學分析，並結合一般拓撲的基礎,實變函式論和泛函分析的基本內容,作為數學分析的延伸。
單複變函數論在19世紀是一項很獨特的創造，當時在分析學中的地位，可以說幾乎相當於17～18世紀微積分學所處的地位。在18世紀，歐拉、達朗貝爾和拉普拉斯等人聯繫著力學的發展，對於單複變函數已經做了不少工作，但函式論作為一門學科來發展，還是從19世紀開始。C.F.高斯在1811年,S.-D.泊松在1815年都曾經考慮積分的上、下限是複數的情形。但複變函數論的基礎理論是由柯西開始建立起來的。他在這方面的第一篇重要論文是《關於定積分理論的報告》。該文1814年曾宣讀於巴黎科學院，出版的時間是1827年。他在該文的序言中說到,他被吸引到復的積分問題的研究,是由於在處理流體力學的問題中出現的二重積分需要考慮交換積分次序的問題，從而進一步考慮了由實到復的過渡。1825年柯西完成了另一篇重要論文《關於積分限為虛數的定積分的報告》，到1874年才發表。該文中已經有留數定理的內容。單複變函數論中相當重要的一類解析函式叫做整函式，它在整個複平面的有窮部分都解析，外爾斯特拉斯在1876年把實多項式的因式分解定理推廣到整函式。在整個複平面的任何有窮部分只能有極點作為奇點的解析函式叫做亞純函式。外爾斯特拉斯證明亞純函式可以表成兩個整函式的商。M. G.米塔-列夫勒在1884年將有理函式的部分分式定理推廣到一般亞純函式。各種類型的複變函數的取值範圍的問題是一個引起許多數學家注意的研究課題，即所謂值分布問題。(C.-)É.皮卡在1897年證明一個不退化成一常數的整函式最多只能有一個有窮值它取不到，並且如果有兩個值它只取到有窮次的話，那么它只能是一個多項式,否則除去一個例外值以外,它應無窮次取到每一個值，對於亞純函式而言，由於它可以取值∞，如果它不退化為一常數，最多只能有兩個值取不到。他還證明一個函式在它的孤立本性奇點的任一鄰域內除可能有一個例外值外，應取到所有的值。關於亞純函式的值分布理論，到20世紀還有很大發展。在單複變函數的研究中，多值函式是很重要的研究對象。系統地處理多值函式是由黎曼開始的。他建立了黎曼曲面的概念，有效地使一個多值函式在它聯繫的黎曼曲面上成為單值函式，從而得以用處理單值函式的方法來研究多值函式。黎曼還從給定的黎曼曲面出發來求它所聯繫的基本方程 ƒ (ω,z)=0，進而考慮黎曼曲面上有理函式R(ω,z)的積分,即關於阿貝爾積分的研究。黎曼還把共形映射的概念推廣到黎曼曲面。關於黎曼曲面的系統研究有（C.H.）H.外爾的專著。他給出的黎曼曲面的概念導致了流形概念的確立與發展。20世紀黎曼曲面的研究還有很大的發展。例如，最早由黎曼開始研究，並由G.羅赫在1864年完成的著名的黎曼-羅赫定理到 20世紀有很大的推廣與套用。本質上這個定理確定了在至多有有窮個極點曲面上的線性無關的亞純函式的個數。其他如函式的幾何理論、擬共形映射、廣義解析函式等在20世紀都有很大發展,但函式論作為分析學的主流,卻是19世紀獨特的情形。另外應當提到的是關於狄利克雷級數和它的特殊情形所構成的黎曼ζ函式的研究，對解析數論所起的作用。1837年狄利克雷運用了現在稱為狄利克雷級數的工具,證明了數論中歐拉-勒讓德的猜想，即每一形如｛α+nb｝的序列，其中α與b互素，都含有無窮多個素數。1896年J.（-S.）阿達馬證明函式ξ(z)在x=1直線上沒有零點，從而證明了數論中的素數定理。函數論的方法與成果引入到數論中去，促成了19世紀解析數論的大發展。可見19世紀的單複變函數論確實是一項獨特的創造（見複變函數論）。
19世紀以來偏微分方程和常微分方程的理論也有很大發展（見微分方程）。特別應當提出，同偏微分方程的發展緊密聯繫的傅立葉分析的發展情況。由於工業上和科學上的需要，法國巴黎科學院曾把熱傳導問題定為1812年授予高額獎金的項目。傅立葉在1811年完成的得獎論文中，運用了函式用三角函式展開的方法來解熱傳導方程。在有限區間的情形，他考慮了函式的三角級數展開。他指出係數由函式ƒ(x)的如下形式的積分
(1)
(2)
20世紀初，一方面由於19世紀以來對於函式性質的一系列發現，打破了自從微積分學發展以來形成的一些傳統理解。例如函式可以連續而處處都不可導，收斂的以連續函式為項的級數的和可以不連續，黎曼可積函式的序列可以有不可積的極限函式等等，都和當時的傳統認識不符。另一方面，由於函式的傅立葉展開和積分的概念緊密有關，黎曼積分的局限性就愈益顯著。這兩方面的原因都促使對積分理論作進一步探討。1902年勒貝格發表了他的論文《積分、長度與面積》。他的積分概念是建立在他關於點集的測度概念之上的。勒貝格的測度在一維歐氏空間是長度的擴充，在高維空間是面積、體積的擴充。就一維的情形來考慮，一個勒貝格測度為零的集合叫做零測集或簡稱零集，不一定是空集，也不一定是只有個別點的集合。這和長度為零的直觀想像不同,一個零集可以有無限多的點,例如【0,1】 區間的有理點所成的集合是一個零集。稱一個集合的測度為零，如果對於任意給定的正數 ε，總可以找到一串開區間{In}把它覆蓋住，使得區間 In的長度 ｜In｜所構成的級數
收斂，且其和小於預先任意給定的ε。由此可見，測度等於零不能簡單地理解為長度等於零，但是同長度有著密切的聯繫。測度概念的進一步擴充，即所謂抽象測度論，奠定了機率論的理論基礎，同時在群上調和分析、譜理論等方面都起著基礎作用。勒貝格建立了測度概念之後，稱有測度的點集為可測集，並定義了一類極為廣泛的函式，叫做可測函式。稱實函式ƒ(x)為可測，如果對於任何實數с，點x滿足ƒ(x)>с的全體構成的集合總是可測集合。按勒貝格的積分概念，有限區間上一切有界的可測函式，都是可積的，這就大大擴大了可積函式的範圍，例如 【0,1】區間上的狄利克雷函式是可積的，但它的黎曼積分就不存在。勒貝格積分是黎曼積分的擴充，按黎曼意義可積的函式，按勒貝格意義也一定可積，而且兩種意義的積分相等，反之則不然。勒貝格還為建立原函式概念與積分概念的關係作出了貢獻。他證明：在【α,b】上按他的意義可積的函式 ƒ(x)的變上限的積分
，對於【α, b】上幾乎所有的點x，導數F┡(x)存在且等於ƒ(x)。這裡稱【α,b】上除了一個測度為零的集合以外的一切點為 【α,b】上幾乎所有的點。勒貝格積分的創立還大大簡化了極限運算與積分運算次序的交換以及累次積分的積分次序的交換（見勒貝格積分）。 20世紀泛函分析的發展反映了本世紀數學發展的一個特點，即探求普遍性與統一性。在泛函分析中函式已不作為個別對象來研究，而是作為空間中的一個點，與幾何學結合起來，對整個一類函式的性質加以研究。於是分析學從原來普通歐氏空間變數間對應關係的研究上升到函式空間不同類函式間的對應關係的研究，這是一個重要的發展。追溯到19世紀，泛函的抽象理論是1887年由V.沃爾泰拉在他關於變分法的工作中開始的。可以說泛函分析的開端是和變分法的研究有著密切聯繫。但在建立函式空間和泛函的抽象理論的卓越成就中，應當首推 M.-R.弗雷歇1906年的博士論文工作。他在距離空間中成功地給出了泛函的連續性、可微性和微分的概念。為了適應變分法理論普遍化的需要，L.托內利從1911年開始，在泛函理論方面開展了一系列工作。在他的《變分法基礎》的第2卷中,泛函的下半連續概念成為一個基本概念，在這基礎上他研究了相當廣泛的一類極值問題的解的存在性。儘管泛函的抽象理論最早是從變分法的工作中提出來的，但線性泛函分析的理論卻是隨著積分方程解的理論的普遍化而發展起來的。作為泛函分析核心的抽象運算元理論，統一了微分方程和積分方程的特徵值理論。希爾伯特在他的積分方程的工作中,曾把一類函式看成由它的傅立葉係數序列所確定，這係數序列{сn}滿足
。其後E.施密特把複數的無窮序列{zn}滿足
的,作為希爾伯特空間l2的元素z={zn}，對於這空間的任意兩個元素z,w,他用
表示它們的內積，用
表示z 的範數。這是希爾伯特空間的由來。施密特和弗雷歇都曾注意到依勒貝格意義平方可積的函式空間l2完全類似於序列的希爾伯特空間，其後F.里斯給出了l2空間的具體構造，即對於ƒ，g∈l2，用
來表示它們的內積，用
表示ƒ的範數,並指出平方可積函式空間l2和平方可和序列空間l2是等價的，其根據即著名的里斯－費希爾定理。為使積分方程理論的普遍化，S.巴拿赫建立了完備的賦范空間，後通稱巴拿赫空間。對於空間的任意一個元素x，其範數‖x‖應滿足下列3個性質：①‖x‖≥0,‖x‖=0若且唯若x=0;②‖αx‖=|α|·‖x‖對於一切複數α成立;③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖對於空間的一切x，y都成立。這裡預先假定了空間是一個加法群（交換）,對於數乘是封閉的,並且規定了完備性，即任一柯西序列必有極限。這包括了許多具體的函式空間,例如p(1≤p)次可積函式以其模的p次方的積分作為範數的p次方的空間lp都是巴拿赫空間。1929年巴拿赫引進了對偶空間的概念。對於給定的空間B,考慮其上（連續）有界線性泛函所組成的空間B*,稱B*為B的對偶空間，其中元素的範數即規定為泛函的界。巴拿赫的工作對於積分方程的抽象理論有許多貢獻。另一方面運算元理論在量子力學中的套用，促進了希爾伯特空間與運算元理論的發展，最主要的工作是1927年以來J.馮·諾伊曼的公理化方法和他對埃爾米特型運算元建立的普遍的特徵值理論。隨後他又把有界運算元的理論推廣到無界運算元。廣義函式論的發生與發展既和調和分析緊密聯繫，又和物理與工程的許多分支學科相聯繫，最基本的廣義函式首先由物理學家P.A.M.狄喇克提出來的。而L.施瓦爾茨的廣義函式論則建立在嚴格的理論基礎上的,其後И.М.蓋爾范德又作出了重要貢獻(見廣義函式)。近代泛函分析，特別是非線性泛函分析的發展，滲透到了數學、物理的許多領域。非線性分析、套用分析雖沒有確切的範圍，但它們的發展方興未艾。其他如數值分析、函式逼近論、廣義矩量問題、量子場論和統計力學等，也都以泛函分析作為它們的重要工具。非線性偏微分方程的近代發展更是以非線性泛函分析為主要工具之一（見泛函分析）。 函式逼近論的中心思想是用簡單的函式來逼近複雜的函式。例如，汽缸活塞的往返直線運動，通過曲柄連桿轉換成圓周運動，這時運動方程比較複雜，在套用中往往採取較簡單的漸近公式。這是函式逼近論的一個由來。在許多實際問題中，經常採取這樣的以簡馭繁的方法。1859年∏.Л.切比雪夫考慮了最佳逼近問題，1885年外爾斯特拉斯證明了連續函式可用多項式在固定區間上一致逼近。他們的工作至今仍顯示著重要性。用逼近的階來刻畫被逼近函式性質的正定理和逆定理，是1912年D.傑克森和S.伯恩斯坦分別得到的，現已成為函式構造論的基礎。1957年Α.Η.柯爾莫哥洛夫關於用單變數函式表示多變數函式的工作，進一步發揮了函式逼近論的中心思想。這種以簡馭繁的思想，滲透在分析學的許多領域。在函式逼近中當被逼近的函式整體來說可微的次數不大時，用統一的多項式去逼近，未必能得到高階的近似，但用逐段高階可微的函式去逼近時，就能得到較高的近似，這就是樣條函式逼近的由來。當被逼近的對象的性質不同時，逼近的工具應有所選擇。有的函式用有理函式來逼近往往能夠得到比用多項式逼近更高的近似。有的函式用沃爾什函式系的多項式來逼近往往能比用三角函式系的多項式逼近得到更高的近似。由此就產生了對於某一類函式，尋找最優的逼近工具問題，這方面的工作,柯爾莫哥洛夫於1936年進行了系統的研究,他定義的函式空間的集合的一個度量叫做寬度，其由來即在於此。在複數域上有理函式的逼近有J.L.沃爾什等人的工作。用運算元逼近以及飽和類的研究,有M.扎門斯基,P.L.巴策爾，G.G.洛倫茨等人的工作（見函式逼近論）。
20世紀多複變函數論有較大的發展，但仍然遠不能象單複變函數論那樣發展得完整，這是近代分析學中很有發展前途的分支之一。早在19世紀，外爾斯特拉斯曾研究過兩個復變數的解析函式在零點近旁的情形，即所謂外爾斯特拉斯預備定理，它揭示了多元解析函式的零點所成的集合完全失去了像單元解析函式的零點構成孤立點集的性質。1895年P.庫辛考慮了米塔－列夫勒定理在多復變情形的推廣，他得到的結果是限於開區域的情形。即所謂庫辛第一定理。對於一般的區域,米塔-列夫勒定理的推廣是否成立,就是所謂庫辛第一問題。庫辛的第二問題是關於按給定零點構造全純函式的問題，庫辛的第二定理同樣是限於區域是開域的情形證明了他的第二問題可解。和庫辛問題緊密聯繫的是龐加萊問題。早在1883年（J.-）H.龐加萊提出如下的問題:設φ(z1,z2,…,zn)在區域D亞純,是否可以找到兩個在D解析的函式G和h,它們不含公共的解析函式因子,使在D有
成立。如果對區域D庫辛第二問題可解,則龐加萊問題亦必可解,其逆並不成立。龐加萊於1887年還考慮了二元解析函式的留數問題。20世紀,1906年F.M.哈托格斯證明了他的基本定理,即在雙元柱|z|<R1,|w|<R2中定義的單值二元函式ƒ(w,z)如果其中任一個變數任意固定，關於另一變數都是解析的話，則ƒ(w,z)在雙元柱中是一個二元解析函式。同年他又發表了多元解析函式的解析開拓定理。1910年E.E.列維提出了擬凸域和正則域（即全純域）是否等價的問題，這個問題像庫辛問題一樣推動著多複變函數論的進展。1929年W.F.奧斯古德的《函式論》第 2卷可以說是多複變函數論最早的一本專著。1936年S.伯格曼發表的柯西積分公式比A.韋伊1935年發表的積分公式更具有普遍性，但後者的公式比較簡單。在積分表達式方面還有華羅庚和S.博赫納等人的工作。1935年H.嘉當對於兩個變數的情形證明了凡是能使庫辛第一問題可解的區域必定是正則域，岡潔在1937年證明了它的逆定理，而且對於多變數的情形逆定理也成立。1939年岡潔對庫辛第二問題也作了解答。1942年他首先給出了萊維問題的肯定性解答。岡潔的工作對於多複變函數其後的發展起著重要的影響。多複變函數的近代發展更趨向於綜合，它除了聯繫著分析學的許多分支外，還緊密聯繫幾何學、代數學以及代數幾何的發展，體現了近代數學發展的特點。華羅庚的專著《多複變函數論中典型域的調和分析》一書，反映了這方面頗具特色的貢獻，其中揭示了對於典型域而言，拉普拉斯運算元和與之相聯繫的一組二階微分運算元具有共同的泊松核，並引起了其後的許多研究。目前國際上在多復變方面的重大成果主要在復幾何方面。丘成桐在這方面做出了重要貢獻（見多複變函數論）。 參考書目
錢寶琮主編：《中國數學史》，科學出版社，北京，1981。M.克萊因著,北京大學數學係數學史翻譯組譯:《古今數學思想》,第1～4冊,上海科學技術出版社,上海,1979。(M.Kline，MatheMatical Thought from Ancient to Modern Times,Oxford Univ.Press,New York,1972.)
