區間[數學概念]

區間[數學概念]

在數學裡,區間通常是指這樣的一類實數集合:如果x和y是兩個在集合里的數,那么,任何x和y之間的數也屬於該集合。例如,由符合0 ≤ x ≤ 1的實數所構成的集合,便是一個區間,它包含了0、1,還有0和1之間的全體實數。其他例子包括:實數集,負實數組成的集合等。

區間在積分理論中起著重要作用,因為它們作為最"簡單"的實數集合,可以輕易地給它們定義"長度"、或者說"測度"。然後,"測度"的概念可以拓,引申出博雷爾測度,以及勒貝格測度。

區間也是區間算術的核心概念。區間算術是一種數值分析方法,用於計算捨去誤差。

區間的概念還可以推廣到任何全序集T的子集S,使得若x和y均屬於S,且x

記號

通用的區間記號中,圓括弧表示“排除”,方括弧表示“包括”。例如,區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數,但不包括10或20。另一方面,[10, 20]表示所有在10和20之間的實數,以及10和20。而當我們任意指一個區間時,一般以大寫字母 I 記之。

有的國家是用逗號來代表小數點,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替。 例如 [1, 2.3]就要寫成 [1; 2,3]。否則,若只把小數點寫成逗號,之前的例子就會變成 [1,2,3] 了。這時就不能知道究竟是 1.2 與 3 之間,還是 1 與 2.3 之間的區間了。

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在法國及其他一些歐洲國家,是用 與 代替 與 。比如 寫成 , 寫成 。這種寫法原先也包括在國際標準化組織編制的ISO 31-11內。ISO 31-11是一套有關物理科學及科技中所使用的數學符號的規範。在2009年,已由新制訂的ISO 80000-2所取替,不再包括 與 的用法。

定義

用集合的語言,我們定義各種區間為:

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注意 均是代表空集,單元素集合不能用區間表示,如集合{0}不能表示為[0]或[0,0]。而當a>b時,上述的四種記號一般都視為代表空集。區間不為空集時,a, b稱為區間的端點。一般定義 b - a 為區間的長度。區間的中點則為 (a+b)/2。

區間[a,b]有時也稱為線段。(不為空集或單元素集的話)

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除了表示區間,圓括弧和方括弧也有其他用法,視乎語境而定。譬如 也可表示集合論中的有序對丶解析幾何中點的坐標,線性代數中向量的坐標,有時也用來表示一個複數,有時在數論中,用 表示整數 的最大公約數。 也偶爾用作表示有序對,尤其在計算機科學的範疇里。同樣在數論里,用 表示整數 的最低公倍數。

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有部分作者以 來表示區間 在實數集裡的補集,即是包含了小於或等於a的實數,以及大於或等於b的實數。

無限區間

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我們可以用 符號來表示區間在某方向上無界。具體定義如下:

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特別地, 表示正實數集,亦記作 。 則表示了非負實數集。

如果區間是單側無界,也稱為射線或半直線。如果它包含有限端點,則稱其為閉射線或閉半直線。如果不包含有限端點,則稱其為開射線或開半直線。

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一般使用的便是以上五種記號,而 等的寫法則相當少見。有的作者假定區間為實數集的子集,對於他們來說,這些寫法要麽是無意義,要麽就是跟用圓括弧的意思沒兩樣。在後者的情況下,我們可以寫作 。於是實數集可被視為又開又閉的區間。

如果我們考慮擴展的實數軸,那么這四種寫法是有數的區間。

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一般而言,對於整數a,b,具體寫作: 。

除了[a..b],也有{a..b}和a..b的寫法,意思一樣。

[a..b]的記號被用於一些程式語言,例如Pascal和Haskell。

如果一個整數區間是有界的話,那麽它必然包含最小數a和最大數b。因此,如果想定義去掉最小數或最大數的區間,只需用[a..b-1], [a+1..b]或[a+1..b-1]表示。無需像實數區間般引進 [a..b)或(a..b)的記號。

分類

實數區間一共可分成11種,如下所列。其中a,b是實數,且a<b。

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1. 空集

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2. 退化區間 (degenrate interval):

有界區間

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3. 閉區間:

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4. 開區間:

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5. 左閉右開區間:

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6. 左開右閉區間:

單側無界

有下界但無上界:

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7. 左閉:

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8. 左開:

有上界但無下界:

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9. 右閉:

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10. 右開:

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11. 雙側無界

#1、#4、#8、#10、和#11可稱為“開區間”(標準拓撲下是開集),#1、#2、#3、#7、#9和#11可稱為“閉區間”(標準拓撲下是閉集)。#3和#4有時稱為“半開區間”或“半閉區間”。#1和#11同時為“開”和“閉”,並非“半開”、“半閉”。

區間表示法

區間表示法是指在實數線上,以視覺化的方式表示出一個區間的範圍。亦指以區間形式給出(含有一個未知數x的)不等式的解集。

性質

上述的各種區間正是實數軸上的全體連通子集。由此可推得,一個區間在連續函式下的像也是一個區間,這是介值定理的另外一個表述。

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區間也恰好涵蓋了實數集的所有凸的子集。另,設X是 的一個子集,如果Y是包含X的最小閉區間(即如果 Z是另一個包含X的閉區間, Y也包含於Z), 便是Y的凸包。實際上, 。

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任意一組區間的交集仍然是區間。兩個區間的並集是區間,若且唯若它們的交集非空,又或者一個區間所不包含的端點,恰好是另一個區間包含的端點。例如: 。

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如果把 當作度量空間,它的開球便是區間 (r為正數),閉球便是區間 。

定義推廣

多維區間

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一個n維區間可定義為 的子集,其為n個區間的笛卡爾積,即 。

n=2時,一般來說是定義了一個長方形,它的長和闊分別平行於兩條坐標軸。n=3時,一般的是定義了一個長方體,它的各邊同樣是平行於坐標軸。

複數區間

複數的區間可定義成複平面上的一個區域,兩種合理的選擇是長方形或圓盤。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

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區間算術的基本運算是,對於實數線上的子集 及 :

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[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]

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被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。

區間算術的加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律:集 X ( Y + Z )是 XY + XZ的子集。

盤點高中數學名詞

高中是大學的過渡階段,學好高中數學,才能為學好大學數學打好基礎,那我們盤點下高中數學中有哪些名詞吧。

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