距離[數學概念]

在數學中，距離是泛函分析中最基本的概念之一。它所定義的距離空間連線了拓撲空間與賦范線性空間等其他空間，是學習泛函分析首先接觸的概念。

定義

距離[數學概念]

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設

是任一非空集，對中任意兩點有一實數與之對應且滿足：
1)非負性、同一性：，且若且唯若；
2)對稱性：；
3)直遞性：。
稱為中的一個距離，定義了距離的集稱為一個距離空間，記為，在不引起混亂的情形下簡記為。

示例

本節共提供三個例子。

距離[數學概念]

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例1 設

是元實數組全體，令
，
其中，，。

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我們證明

是一個距離空間，為此我們需要驗證滿足距離的三條公理。1)，2)顯然成立，關鍵是證明3)成立。我們先證明一下Cauchy不等式：對任意實數，，我們有
。

距離[數學概念]

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事實上，任取實數

，則
，
上面等式左端是的一個二次三項式，於是它的判別式不大於0，即Cauchy不等式成立。

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下面證明3)成立，由Cauchy不等式，得

。
設是任意三點，在上面不等式中令，則
，
即
。

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距離[數學概念]

所以是一個距離空間，我們把這個空間簡記為。

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例2考慮區間

上所有連續函式集，設是上任意兩個連續函式，定義
，
由於也是上的連續函式，因此有最大值。距離公理1)2)顯然成立。設是上任意三個連續函式，則
。
所以
。

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由此可知上的連續函式全體賦以上述距離是一個距離空間，記為。

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例3 考慮實數列

的全體。設是兩個實數列，定義
上式右邊的是一個收斂因子，保證級數收斂，距離公理的1)2)顯然成立，為證明3)成立，考慮上的函式
，
易見，所以是單增的。由此，設。由於
，
則有
。
在上不等式兩邊乘並求和，得到
。

距離[數學概念]

我們稱這個距離空間為。