簡介
歐幾里得在公元前300年左右，曾經到亞歷山大城教學，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數學，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的蒐集了當時所能知道的一切幾何事實，按照柏拉圖和亞里士多德提出關於邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴密系統的理論，寫成了數學史上早期的巨著——《幾何原本》。
《幾何原本》的偉大歷史意義在於，它是用公理法建立起演繹的數學體系的最早典範。在這部著作里，全部幾何知識都是從最初的幾個假設除法、運用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發表開始，幾何才真正成為了一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。
歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關係，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術得里論；最後講述立體幾何的內容。
從這些內容可以看出，目前屬於中學課程里的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標準教科書。屬於《幾何原本》內容的幾何學，人們把它叫做歐幾里得幾何學，或簡稱為歐式幾何。
《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理）。《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設。（其中最後一條公設就是著名的平行公設，或者叫做第五公設。它引發了幾何史上最著名的長達兩千多年的關於“平行線理論”的討論，並最終誕生了非歐幾何。）
這些定義、公理、公設就是《幾何原本》全書的基礎。全書以這些定義、公理、公設為依據邏輯地展開他的各個部分的。比如後面出現的每一個定理都寫明什麼是已知、什麼是求證。都要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔細證明。
關於幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。
歐幾里得《幾何原本》的誕生在幾何學發展的歷史中具有重要意義。它標誌著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。
《幾何原本》
本書簡介
本書是古代西方第一部完整的數學專著，使用了2000多年、最成功的數學教科書，使幾何成為獨立、演繹的學科。
名書簡介作者：（古希臘） 歐幾里得（生卒年不詳）
類型： 數學著作
成書時間： 公元前4世紀
背景搜尋
歐幾里得作為一個教育家，他秉承了這個職業所特有的溫良敦厚的品行，對好學之士，總是循循善誘。他反對不刻苦鑽研、投機取巧的作風。據普羅克洛斯（約410-485年）記載，托勒密王曾經問歐幾里得，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾里得回答說：“在幾何里，沒有專為國王鋪設的大道。”這句話後來成為傳誦千古的學習箴言。還有另一則故事說，一個學生才開始學第一個命題，就問歐幾里得學了幾何學之後將得到些什麼。歐幾里得說：給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。
推薦閱讀版本：蘭紀正、朱恩寬譯，陝西科學技術出版社出版。
內容精要
古希臘的建築之美接下來，歐幾里得提出了5個公理和5個公設：
公理1 與同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。
公理2 等量加等量，總量仍相等。
公理3 等量減等量，總量仍相等。
公理4 彼此重合的東西彼此是相等的。
古希臘雕塑·醉婆公設1 從任意的一個點到另外一個點作一條直線是可能的。
公設2 把有限的直線不斷循直線延長是可能的。
公設3 以任一點為圓心和任一距離為半徑作一圓是可能的。
公設4 所有的直角都相等。
公設5 如果一直線與兩直線相交，且同側所交兩內角之和小於兩直角，則兩直線無限延長後必相交於該側的一點。
他以此為基礎，證明了467個數學定理。
專家點評
公元前3世紀時，最著名的數學中心是亞歷山大城；在亞歷山大城，最著名的數學家是歐幾里得。像偉大的希臘幾何學家歐幾里得這樣千古流傳的人物在歷史中寥寥無幾，雖然他沒有像愷撒那樣建功立業、沒有像柏拉圖那樣創立自己的學說，但他憑藉一本教科書名聲顯赫。而在人類眾多的書籍中，像《幾何原本》這樣影響巨大的教科書也是少見的。歐幾里得將公元前7世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果整理在嚴密的邏輯系統之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。《幾何原本》的重要性並不在於它所論證的哪條具體定理，書中幾乎所有的定理和證法在歐幾里得以前就為人所知曉。歐幾里得的偉大貢獻在於他對教材的編排和大綱的制訂。他首先挑選出了經過長期實踐的反覆檢驗、證明其正確性的5條公理和定理作為基礎，接著認真地編排這些定理和公理，一個定理被證明以後，又可以用它作為理論依據，去推導出新的數學定理來。這樣，就可以用一根邏輯的鏈條，把所有的定理都串聯起來，讓每一個環節都銜接得絲絲入扣，循序漸進，無懈可擊。他在必要的地方補充了缺少的步驟，提出了缺少的證據。從此，古希臘豐富的幾何學知識，形成了一個邏輯嚴謹的科學體系。由區區5個公理5個公設，竟能推導出那么多的數學定理來，這是一個奇蹟！2000多年後，大科學家愛因斯坦仍然懷著深深的敬意稱讚道：這是“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇蹟”。而且，這些公理公設，多一個顯得累贅，少一個則基礎不鞏固，其中自有很深的奧秘。後來，歐幾里得獨創的陳述方式，也就一直為歷代數學家所沿用。
《幾何原本》的偉大歷史意義在於它是用公理方法建立起演繹的數學體系的最早典範。這部著作給後人以極大的啟發，不僅由此引出了公理化演繹的結構方法，給數學以及其他自然科學以典範的作用，而且由於其中第五公設的不可證明性質，引發了非歐幾何的出現。值得注意的是，《幾何原本》雖然主要是對平面幾何和立體幾何的發展，但是也包含著大量的代數和數論內容。
亞歷山大城的地形圖《幾何原本》起到了鍛鍊人們邏輯思維的作用，其影響遠遠超過了亞里士多德的任何一篇邏輯論文。它是嚴謹的邏輯推理體系的傑作，因此自從問世以來對任何偉大的思想家都具有巨大的魔力。
歐幾里得這部巨著是現代科學崛起的一個重要因素，這種說法不無道理。科學不只是準確的觀察和精闢概括的集合。現代科學的偉大成就一部分是經驗論和實驗法相結合的產物，另一部分是認真分析和邏輯演繹相結合的產物。在歐洲，歐幾里得就是一個數學的權威，一般說來歐洲人並未把歐幾里得幾何僅僅看作是一個抽象的體系，而是認為歐幾里得公理和定律真實地反映了客觀世界。歐幾里得對艾薩克·牛頓的影響尤為突出，因為牛頓的偉大著作《原理》是用“幾何”形式，即用《幾何原本》相類似的形式寫成的。許多不同的科學家都竭力效仿歐幾里得，他們試圖把自己所有的結論都合乎邏輯地從少數幾個原始前提下推導出來。像羅素和懷特默德這樣著名的數學家和斯賓諾莎這樣的哲學家都做過這種嘗試。今天的數學家終於明白了歐幾里得幾何並不是可以設計出來的惟一統一的幾何學體系。
在過去的150年中，建立了許多門非歐幾里得幾何學。實際上自從愛因斯坦廣義相對論被公認以來，科學家就認識到在客觀的宇宙中歐幾里得幾何並不總是成立的。例如在黑洞和中子星相鄰的區域內，重力場非常強，歐幾里得幾何學不能準確地描述出那個世界的模樣，如此看來它也不能把宇宙作為整體來加以正確的描述。但是這些例子很特殊，歐幾里得幾何學在大多數情況下都能非常逼真地反映客觀現實。人類知識的這些新的進展無論如何不能減少凝聚著歐幾里得智慧的成就，也不能削弱他的歷史意義。
幾千年來，《幾何原本》引導一代又一代的求知者跨入輝煌的數學殿堂，極其深刻地影響了世界數學的發展。哥白尼、
伽利略、牛頓以及許許多多的大科學家，年輕時都曾認真學習過這本書。歐幾里得是希臘幾何的集大成者，在整個數學史上樹立了豐碑。
《幾何原本》的意義和影響
在幾何學上的影響和意義
在幾何學發展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的“根據”和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學，這項工作，前人未曾作到。《幾何原本》的誕生，標誌著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。
數論方面的影響
此外，《幾何原本》還對完全數做了探究，歐幾里得通過2^(n−1)·(2^n−1)的表達式發現頭四個完全數的。
當n=2:2^1(2^2−1)=6，當n=3:2^2(2^3−1)=28，當n=5:2^4(2^5−1)=496，當n=7:2^6(2^7−1)=8128一個偶數是完全數，若且唯若它具有如下形式：2^(n−1).(2^n−1)，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。
其中2^n−1是素數，上面的6和28對應著n=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2^n−1的素數（即梅森素數），也就知道了一個偶完全數。
儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是12p+1或36p+9的形式，其中p是素數。在10^18以下的自然數中奇完全數是不存在的。首五個完全數是：6，28，496，8128，33550336(8位)
論證方法上的影響
關於幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。
作為教材的影響
從歐幾里得發表《幾何原本》到現在，已經過去了兩千多年，儘管科學技術日新月異，由於歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。（牛頓的例子）
少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裡買了一本《幾何原本》，開始他認為這本書的內容沒有超出常識範圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標幾何”很感興趣而專心攻讀。後來，
《幾何原本》《原本》的缺憾
但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的“根據”問題並沒有得到徹底的解決，他的理論體系並不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念.
《幾何原本》的傳播
《幾何原本》最初是手抄本，以後譯成了世界各種文字，它的發行量僅次於
《幾何原本》中國最早的譯本是1607年義大利傳教士利瑪竇（MatteoRicci，1552－1610）和徐光啟根據德國人克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾里得原本》（15卷）合譯的，定名為《幾何原本》，幾何的中文名稱就是由此而得來的。該譯本第一次把歐幾里德幾何學及其嚴密的邏輯體系和推理方法引入中國，同時確定了許多我們現在耳熟能詳的幾何學名詞，如點、直線、平面、相似、外似等。他們只翻譯了前6卷，後9卷由英國人偉烈亞力和中國科學家李善蘭在1857年譯出。
《幾何原本》在中國
前六卷的翻譯工作
《幾何原本》傳人中國，首先應歸功於明末科學家徐光啟。
《幾何原本》徐光啟(1562～1633)，字子先，上海吳淞人。他在加強國防、發展農業、興修水利、修改曆法等方面都有相當的貢獻，對引進西方數學和曆法更是不遺餘力。他認識義大利傳教士利瑪竇之後，決定一起翻譯西方科學著作。利瑪竇主張先譯天文曆法書籍，以求得天子的賞識。但徐光啟堅持按邏輯順序，先譯《幾何原本》。
對徐光啟而言，《幾何原本》有嚴整的邏輯體系，其敘述方式和中國傳統的《九章算術》完全不同。這種區別於中國傳統數學的特點，徐光啟有著比較清楚的認識。他還充分認識到幾何學的重要意義，他說“竊百年之後，必人人習之”。
他們於1606年完成前6卷的翻譯，1607年在北京印刷發行。
徐光啟翻譯中的重要貢獻
徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻在於確定了研究圖形的這一學科中文名稱為“幾何”，並確定了幾何學中一些基本術語的譯名。“幾何”的原文是“geometria”，徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取“geo”的音為“幾何”，而“幾何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“幾何”譯“geometria”，音義兼顧，確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡日本等國，影響深遠。
後9卷的翻譯工作
就在他們想繼續把《幾何原本》的後9卷翻譯完的時候，發生了一件意想不到的事情，就是徐光啟的父親不幸去世了。徐父去世的準確日子是5月23日。當時徐光啟儘管已經入教，但作為一名一直在傳統文化薰陶下成長起來的封建時代的知識分子，他還做不到那么超脫，所以，他不得不開始忙於一系列繁雜的喪事。喪事差不多了，到了8月初，徐光啟請了假，便扶柩回了上海。這一去就是三年。
此時利瑪竇一直在北京，中間的確為《幾何原本》的事情他們曾經聯繫過一次，但那次主要是讓徐光啟想辦法在南方刊印。此後，他們再沒聯繫。三年後，即1610年5月11日，利瑪竇去世了。而徐光啟到了12月15日才回到北京。此時利瑪竇已於11月1日下葬。所以他們從1607年8月之後，再也未曾謀過面。
就因為這個意外，使《幾何原本》的後9卷的翻譯推遲了200多年，才由清代數學家李善蘭和英國人偉烈亞力合作完成。
《幾何原本》1852年到上海後，李善蘭與偉烈亞力相約，繼續完成徐光啟、利瑪竇未完成的事業，合作翻譯《幾何原本》後9卷，並與1856年完成此項工作。
至此，歐幾里得的這一偉大著作第一次完整地引入中國，對中國近代數學的發展起到了重要的作用。
清康熙帝時，編輯數學百科全書《數理精蘊》（公元1723年），其中收有《幾何原本》一書，但這是根據公元十八世紀法國幾何學教科書翻譯的，和歐幾里得的《幾何原本》差別很大。
對《幾何原本》的評價
徐光啟在評論《幾何原本》時說過：“此書為益能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學。”其大意是：讀《幾何原本》的好處在於能去掉浮誇之氣，練就精思的習慣，會按一定的法則，培養巧妙的思考。所以全世界人人都要學習幾何。
徐光啟同時也說過：“能精此書者，無一事不可精；好學此書者，無一事不可學。”
愛因斯坦
《幾何原本》由此可見《原本》一書對人類科學思維的影響是何等巨大。
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