定義
反證法反證法常稱作Reductioadabsurdum，是拉丁語中的“轉化為不可能”，源自希臘語中的“ἡειςτοαδυνατονπαγωγη”，阿基米德經常使用它。
原理
很多教科書中提到反證法時，只簡單地講了反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。但是實際的操作過程還用到了另一個原理，即：原命題和原命題的否定是對立的存在：原命題為真，則原命題的否定為假；原命題為假，則原命題的否定為真。這一點可以從集合論的角度理解。
操作過程
原理若原命題：p≧q為真
先對原命題的結論進行否定，即寫出原命題的否定：p≧非q
從這個否定的結論出發，推出矛盾，即命題：非q≧p為假（即存在矛盾）
從而該命題的否定為真：非q≧非p為真
再利用原命題和逆否命題的真假性一致，即原命題：p≧q為真
誤區否命題與命題的否定是兩個不同的概念
命題的否定只針對原命題的結論進行否定。而否命題同時否定條件和結論：
原命題：p≧q
否命題：非p≧非q
命題的否定：p≧非q
原命題與否命題的真假性沒有必然聯繫，但原命題和原命題的否定卻是對立的存在，一個為真另一個必然為假。
解釋
反證法是“間接證明法”一類，是從反方向證明的證明方法，即：肯定題設而否定結論，經過推理導出矛盾，從而證明原命題。法國數學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結論的否定當作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。
在套用反證法證題時，一定要用到“反設”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。
證明
反證法反證法的證明主要用到“一個命題與其逆否命題同真假”的結論，為什麼？這個結論可以用窮舉法證明：
某命題：若A則B，則此命題有4種情況：
1.當A為真，B為真，則A→B為真，得﹁B﹁A為真；
2.當A為真，B為假，則A→B為假，得﹁B→﹁A為假；
3.當A為假，B為真，則A→B為真，得﹁B→﹁A為真；
4.當A為假，B為假，則A→B為真，得﹁B→﹁A為真；
∴一個命題與其逆否命題同真假
即關於〉=〈的問題：
大於-〉反義：小於或等於
都大於-〉反義：至少有一個不大於
小於-〉反義：大於或等於
都小於-〉反義：至少有一個不小於
即反證法是正確的。
與若A則B先等價的是它的逆否命題若﹁B則﹁A
假設﹁B,推出﹁A,就說明逆否命題是真的,那么原命題也是真的.
但實際推證的過程中,推出﹁A是相當困難的,所以就轉化為了推出與﹁A相同效果的內容即可,這個相同效果就是與A(已知條件)矛盾,或是與已知定義,定理,大家都知道的事實等矛盾。
使用
反證法牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難,情況多或複雜,而逆否命題則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分乾脆。
反證法的證題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結論開始，得出矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。套用反證法的是：
欲證“若P則Q”為真命題，從相反結論出發，得出矛盾，從而原命題為真命題。
證明步驟
（1）反設：假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立。
（2）歸謬：從這個命題出發，經過推理證明得出矛盾。
（3）結論：由矛盾判斷假設不成立，從而肯定命題的結論正確。
適用題型
（1）唯一性命題
（2）否定性題
（3）“至多”，“至少”型命題
（4）必然性命題
（5）起始性命題
（6）無限性命題
（7）不等式證明。
範例
兩個反證法的範例
證明：素數有無數個。
這個古老的命題最初是由古希臘數學家歐幾里德(EuclidofAlexandria，生活在亞歷山大城,約前330～約前275,是古希臘最享有盛名的數學家)在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個反證法。
