歐式幾何簡介
德國數學家希爾伯特1899年發表的《幾何基礎》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。幾何學是數學中最古老的分支之一，也是在數學這個領域裡最基礎的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學的重要發源地。大量出土文物證明，在中國的史前時期，人們已經掌握了許多幾何的基本知識，看一看遠古時期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪製，一些簡單設計但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當時人們掌握的幾何知識是多么豐富了。幾何之所以能成為一門系統的學科，希臘學者的工作曾起了十分關鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業繁榮，生產比較發達，一批學者熱心追求科學知識，研究幾何就是最感興趣的內容，在這裡應當提及的是哲學家、幾何學家柏拉圖和哲學家亞里士多德對發展幾何學的貢獻。
柏拉圖把邏輯學的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識受邏輯學的指導逐步趨向於系統和嚴密的方向發展。柏拉圖在雅典給他的學生講授幾何學，已經運用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。亞里士多德被公認是邏輯學的創始人，他所提出的“三段論”的演繹推理的方法，對於幾何學的發展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學中，仍是運用三段論的形式來進行推理。但是，儘管那時候已經有了十分豐富的幾何知識，這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統的。真正把幾何總結成一門具有比較嚴密理論的學科的，是希臘傑出的數學家歐幾里得。
公理
希臘傑出的數學家歐幾里得歐式幾何的五條公理是：
任意兩個點可以通過一條直線連線。
任意線段能無限延伸成一條直線。
給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
所有直角都全等。
若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
第五條公理稱為平行公理，可以導出下述命題：
通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。 平行公理並不像其他公理那么顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀，通過構造非歐幾里德幾何，說明平行公理是不能被證明的。（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對幾何。）
從另一方面講，歐式幾何的五條公理並不完備。例如，該幾何中的有定理：任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。 因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統。
歐幾里德還提出了五個“一般概念”，也可以作為公理。當然，之後他還使用量的其他性質。
與同一事物相等的事物相等。
相等的事物加上相等的事物仍然相等。
相等的事物減去相等的事物仍然相等。
一個事物與另一事物重合，則它們相等。
整體大於局部。
發展
數學史上早期的巨著《幾何原本》歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關係，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術得里論；最後講述立體幾何的內容。
從這些內容可以看出，屬於中學課程里的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標準教科書。屬於《幾何原本》內容的幾何學，人們把它叫做歐幾里得幾何學，或簡稱為歐式幾何。
《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理）。《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設。（其中最後一條公設就是著名的平行公設，或者叫做第五公設。它引發了幾何史上最著名的長達兩千多年的關於“平行線理論”的討論，並最終誕生了非歐幾何。）
這些定義、公理、公設就是《幾何原本》全書的基礎。全書以這些定義、公理、公設為依據邏輯地展開他的各個部分的。比如後面出現的每一個定理都寫明什麼是已知、什麼是求證。都要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔細證明。
關於幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。
意義
牛頓把《幾何原本》從頭到尾地反覆進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。 少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裡買了一本《幾何原本》，開始他認為這本書的內容沒有超出常識範圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標幾何”很感興趣而專心攻讀。後來，牛頓於1664年4月在參加特列台獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：“因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。”這席談話對牛頓的震動很大。於是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反覆進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。
近代物理學的科學巨星愛因斯坦也是精通幾何學，並且套用幾何學的思想方法，開創自己研究工作的一位科學家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特別提到在十二歲的時候“幾何學的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象”。後來，幾何學的思想方法對他的研究工作確實有很大的啟示。他多次提出在物理學研究工作中也應當在邏輯上從少數幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理。
在幾何學發展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的“根據”和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學，這項工作，前人未曾作到。
但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的“根據”問題並沒有得到徹底的解決，他的理論體系並不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。
公理體系
人們對《幾何原本》中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破綻的發現，正是推動幾何學不斷向前發展的契機。最後德國數學家希爾伯特在總結前人工作的基礎上，在他1899年發表的《幾何基礎》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。
希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體系，並且還提出了建立一個公理系統的原則。就是在一個幾何公理系統中，採取哪些公理，應該包含多少條公理，應當考慮如下三個方面的問題：
第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理系統中，各條公理應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統中。
第二，獨立性，公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。
第三，完備性，公理體系中所包含的公理應該是足夠能證明本學科的任何新命題。
這種用公理系統來定義幾何學中的基本對象和它的關係的研究方法，成了數學中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。
公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由於基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什麼，只專門研究抽象的對象之間的關係、性質。從公理法的角度看，人們可以任意地用點、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結合關係、順序關係、契約關係等，使這些關係滿足公理系統中所規定的要求，這就構成了幾何學。
因此，凡是符合公理系統的元素都能構成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象人們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常人們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學的時候，並不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。就此，幾何學研究的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學的發展帶來了深遠的影響。
