非歐幾里得幾何學:不同於歐幾里得幾何學的幾何體系，簡稱非歐幾何。一般是指 -百科知識中文網

非歐幾里得幾何學

不同於歐幾里得幾何學的幾何體系，簡稱非歐幾何。一般是指：羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）和黎曼的橢圓幾何。它們與歐氏幾何最主要的區別在於公理體系中採用了不同的平行公理。

誕生

歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設，頭四條公設分別為：

1.由任意一點到任意一點可作直線。

2.一條有限直線可以繼續延長。

3.以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

4.凡直角都相等。

第五條公設說：同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於兩直角，則這兩直線經無限延長後在這一側相交。

長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見。有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以後再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關於“平行線理論”的討論。

由於證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設到底能不能證明？

到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然後與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統，展開一系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾，就等於證明了第五公設。我們知道，這其實就是數學中的反證法。

但是，在他極為細緻深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：

第一，第五公設不能被證明。

第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，並形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。

這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。

從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。

歷史淵源及發展

非歐幾何的起源可追溯到人們對歐幾里得平行公理的懷疑。從古希臘時代到公元1800年間，許多數學家都嘗試根據歐幾里得的其他公理去證明歐幾里得平行公理，結果都歸失敗。19世紀，德國數學家C.F.高斯、俄國數學家Η.И.羅巴切夫斯基和匈牙利數學家J.波爾約等人各自獨立地認識到這種證明是不可能的，也就是說平行公理是獨立於其他公理的，並且可以用不同的“平行公理”替代歐幾里得平行公理而建立非歐幾何學。高斯關於非歐幾何的信件和筆記在他生前一直沒有公開發表，只是在1855年他去世後出版時才引起人們的注意。羅巴切夫斯基和波爾約分別在1830年前後發表了他們的關於非歐幾何的理論。在這種新的非歐幾何中，替代歐幾里得平行公理的是羅巴切夫斯基平行公理：在一平面上，過已知直線外一點至少有兩條直線與該直線共面而不相交。由此可以演繹出一系列全新的無矛盾的結論。在這種幾何里，三角形內角和小於兩直角。當時羅巴切夫斯基稱這種幾何學為虛幾何學，後人又稱為羅巴切夫斯基幾何學，簡稱羅氏幾何，也稱雙曲幾何。
德國數學家D.希爾伯特於1899年發表了著名的《幾何基礎》一書，嚴密地建立了歐幾里得幾何的公理體系，它由五組公理組成，即結合公理、順序公理、契約公理、平行公理及連續公理(見歐幾里得幾何學)。由結合公理、順序公理、契約公理、連續公理四組公理所建立的體系稱為絕對幾何公理體系。絕對幾何公理體系加上羅氏平行公理，就構成了羅巴切夫斯基幾何的公理系統。絕對幾何是歐氏幾何與羅氏幾何的公共部分,也就是說,絕對幾何的全部公理和定理在兩種幾何里都成立。例如：命題“任意一個三角形內角和不能大於兩個直角”；“在四邊形PQBA中（圖1）,如果邊PQ上的兩個內角都是直角（此時稱PQBA為雙直角四邊形）且邊AP≥BQ，則∠A≤∠B，反之亦然。”等等，都是絕對幾何里的定理。上述後一命題中的雙直角四邊形，若兩邊AP與BQ相等，則稱之為薩開里四邊形或等腰雙直角四邊形（圖2）,∠A、∠B稱為薩開里四邊形的上底角。於是命題：“薩開里四邊形上底角不能大於直角”，也是絕對幾何學的定理。這是非歐幾何與歐氏幾何的共同點，它們的不同點，就在於平行公理不同。

羅氏平行公理

它是歐氏平行公理（通過直線外一點只有一直線與已知直線共面不交）的否定命題，即：“通過直線外的每一點至少有兩條直線與已知直線共面不交。”

羅氏幾何的主要內容

羅氏幾何里有許多不同於歐氏幾何的定理，例如：
① 共面不交的兩直線,被第三直線所截同位角（或內錯角）不一定相等(圖3)。

② 同一直線的垂線和斜線不一定相交（圖3右圖）。
③ 三角形內角和小於二直角。
④ 兩三角形若有三內角對應相等,則兩三角形必全等（即不存在相似而不全等的三角形）。
⑤ 薩開里四邊形上底角小於直角。這說明在羅氏平面上不存在矩形。
⑥ 通過不共線三點不一定能作一圓。
⑦ 三角形三條高線不一定相交於一點。
⑧ 通過直線 α外一點B 有無窮多直線與α共面不交,過 B也有無窮多直線與α相交（圖4）。

過點B作BC⊥α於C點,則在BC的一側,在過B與α交與不交的兩類直線中存在一條界線BA，它與α不相交,稱之為直線α沿非歐幾里得幾何學

方向的平行線,記作:在非歐幾里得幾何學

方向上，

在BC的另一側也有：在非歐幾里得幾何學

方向上，

且過B點與α平行的直線恰此兩條。稱∠CBA為線段BC的平行角,線段BC為∠CBA的平行距或指針。設線段BC的長度d=x,∠CBA的角度μ＝α（圖5 非歐幾里得幾何學

），則函式α＝π(x)稱為羅巴切夫斯基函式,簡稱為羅氏函式。α=π(x)是單值單調遞減函式，它可取盡0到非歐幾里得幾何學

間的一切值,所以它是連續函式。這個函式用初等函式表示出來即是羅氏函式的解析表達式:π(x)=2arccote 非歐幾里得幾何學

，其中k是一個正常數。
⑨ 在羅氏平面上兩直線或相交或沿某方向平行,或既不相交又不沿任何方向平行，後者情況下，稱為分散線或超平行線。任何兩對平行線可以互相疊合。平行線α和b在平行角的一側(平行方向)無限地接近（圖 6），而在另一側無限地遠離。
任何一對分散直線,有惟一的公垂線（圖7），且沿此公垂線兩側它們無限地遠離。

⑩ 羅氏平面上下列三種直線的集合均稱為線束。
通過同一點O的一切直線的集合稱為有心線束，點O稱為其中心（圖8）。
垂直於同一直線 u的一切直線的集合稱為分散線束，u稱其為底線（圖9）
直線 AA┡以及平行此直線於方向

的一切直線的集合稱為平行線束，

稱為方向射線（圖10）。

共面二直線α、b上各取一點A、B若AB截割此二直線所成的同側二內角契約，則線段AB稱為α、b二直線的等傾割線，而點A、B稱為α、b的對應點(圖11)。線束中一直線上已知點A及A線上束的直線上的一切對應點的集合是一條連續曲線，稱為圓曲線（當線束有中心O時,點A關於O的對稱點A┡也屬此集合）。三種線束對應三種圓曲線:有心線束中一直線上點A及其對應點組成的圓曲線是以線束中心O為圓心,OA為半徑的圓,記為⊙(O，OA) (圖12)；分散線束上的點A及其對應點所組成的圓曲線上各點到底線u的距離相等，稱之為等距線或超圓，記作⊙Г(u,A)（圖13）；平行線束（方向射線

）上的點A 及其對應點組成的圓曲線是⊙(O,OA)。當O 沿

無限遠離A 時的極限位置，稱之為極限線或擬圓，記作⊙Ω(

，A)（圖14）。

 空間二直線的關係或是共面,或是異面。共面又有相交、平行、分散三種情況；異面即不在同一平面上。
一直線集合若包含兩兩共面但不全共面的一切直線稱之為一個線把或線叢。空間線把有三種類型：
通過同一點O的一切直線稱有心線把，O為其中心。
垂直於同一平面σ的一切直線稱分散線把，σ為其底面（圖15）。
平行於同一直線於方向

的一切直線稱平行線把，

為其方向射線（圖16）。

在一線把中，一直線上已知點A及A線上把中直線上一切對應點的集合稱為球曲面（當線把有中心O時，A關於O的對稱點A┡也屬此集合）。線把為有心線把時,此球曲面即為以O為球心,OA為半徑的球面；線把為分散線把時，此球曲面稱為等距曲面或超球面；線把為平行線把時，此球曲面稱為極限曲面或擬球面。
此外,在羅氏幾何中還可以研究球曲面上的內在(內蘊)幾何。極限曲面上的幾何是歐氏幾何;等距面上的幾何是羅氏幾何。
羅氏幾何里有著與歐氏幾何完全不同的刻畫三角形邊角關係的正弦定理和餘弦定理。例如對於直角三角形來說，如果用A、B、C表示三內角，其C是直角，它們所對的邊長分別為α、b、c，那么成立如下關係：

非歐幾里得幾何學

而對於斜三角形有正弦定理：

非歐幾里得幾何學

以及餘弦定理:

非歐幾里得幾何學

式中k是一個正常數,表示曲率半徑；sinh、cosh、tanh、coth，分別是雙曲正弦、雙曲餘弦、雙曲正切、雙曲餘切。
利用上面這一套三角公式，同樣地可以將非歐平面坐標化,然後用解析方法來研究各種非歐幾何的問題,這就是非歐解析幾何學。

橢圓幾何

繼羅氏幾何後，德國數學家 B.黎曼在1854年又提出了既不是歐氏幾何又不是羅氏幾何的新的非歐幾何學。這種幾何採用公理“同一平面上的任何兩直線一定相交”代替歐幾里得平行公理，並對歐氏幾何中其餘公理的一部分作了改動，在這種幾何里，三角形內角和大於二直角。這種非歐幾何學又稱橢圓幾何，它和球面幾何學沒有太大的差別，如果把球面的對頂點看成同一點，就得到這種幾何學。

非歐幾何的套用及發展

對於非歐幾何的承認是在其創造者死後才獲得的。義大利數學家E.貝爾特拉米在1866年的論著《非歐幾何解釋的嘗試》一文中，證明了非歐平面幾何(局部)實現在普通歐氏空間裡，作為偽球面，即負常數高斯曲率的曲面上的內在幾何,這樣,非歐幾何的相容性問題與歐氏幾何相容性的事實就一樣清晰明了。德國數學家F.克萊因在1871年首次認識到從射影幾何中可推導出度量幾何，並建立了非歐平面幾何（整體）的模型。這樣，非歐幾何相容性問題就歸結為歐氏幾何的相容性問題，這些結果最終使非歐幾何獲得了普遍的承認。

非歐幾何的創建打破了歐氏幾何的一統天下，從根本上革新和拓廣了人們對幾何學觀念的認識。1872年，克萊因從變換群的觀點對各種幾何學進行了分類，提出著名的埃爾朗根綱領，這個綱領對於幾何學的進一步發展曾經發生重大影響。

非歐幾何的創建導致人們對幾何學基礎的深入研究。希爾伯特於1899年建立了歐氏幾何的公理體系。繼幾何學之後，數學家們又建立並研究了如算術、數理邏輯、機率論等一些數學學科的公理系統。這樣形成的公理化方法已成為現代數學的重要方法之一。

非歐幾何學的創建不僅推廣了幾何學觀念，而且對於物理學在20世紀初期所發生的關於空間和時間的物理觀念的改革也起了重大作用。非歐幾何學首先提出了彎曲的空間,它為更廣泛的黎曼幾何的產生創造了前提,而黎曼幾何後來成了愛因斯坦廣義相對論的數學工具。A.愛因斯坦和他後繼者在廣義相對論的基礎上研究了宇宙的結構。按照相對論的觀點,宇宙結構的幾何學不是歐幾里得幾何學而是接近於非歐幾何學。許多人採用了非歐幾何學作為宇宙的幾何模型。

非歐幾何學在數學的一些分支中有著重要的套用，它們互相滲透促進著各自的發展。H.龐加萊利用複平面上作出的羅巴切夫斯基幾何模型證明了自導函式的基本區域是一些互相契約的多邊形。這個結果對於建立自導函式理論有重要的作用。從一個已知的負常數高斯曲率曲面出發，可以通過經典的巴克倫德變換構造出新的負常數高斯曲率曲面，這個方法對於求解正弦戈登方程提供了從一個特解構造新的特解的有效方法。20世紀70年代以來，人們又注意到巴克倫德變換以及它的各種推廣是研究一大類在物理上有重要作用的非線性偏微分方程的重要工具。

黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及契約公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“ 過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個問題。

黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。

黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。

近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的套用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。

此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也套用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。

鮑耶和高斯的貢獻

幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何學而辛勤工作。終於在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發表了研究結果。高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

三種幾何的關係

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間裡，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。

非歐幾里得幾何學