正文
歐幾里得幾何學它的創始人是古代希臘的偉大數學家歐幾里得。公元前7世紀左右,埃及的幾何知識由希臘的自然哲學者泰勒斯傳入希臘。希臘學者不僅發現
歐幾里得希臘人積累的幾何知識同邏輯思想結合起來，為幾何的系統化、公理化以及歐幾里得的《幾何原本》的出現奠定了基礎。歐幾里得是希臘亞歷山大學派的創始人，他按照邏輯系統把幾何命題整理起來，完成了數學史上的光輝著作《幾何原本》。這本書問世以後的兩千年中，一直被用作教科書。它被認為是學習幾何知識和培養邏輯思維能力的典範教材,而且世界上大多數國家都有《幾何原本》 的譯本。中國最古的譯本是明代徐光啟譯出的，“幾何”一詞就是他第一個使用的。《幾何原本》除了有它的數學教育意義外，還有它的數學方法論的意義。歐幾里得從一些定義、公理和公設出發，運用演繹推理的方法，從已得的命題邏輯地推出後面的命題，從而展開《幾何原本》的全部幾何內容。從當時的人類文化水平來看，這是一種很嚴謹的幾何邏輯結構，歐幾里得的這種邏輯地建立幾何的嘗試，成為現代公理法的源流。
《幾何原本》全書共13卷，除其中第5、 第7、第8、第9和第10卷是講述比例和算術理論外,其餘各卷都是講述幾何內容的。第 1卷內容有平行線、三角形、平行四邊形的定理；第2卷主要是畢達哥拉斯定理及其套用;第3卷講述關於圓的定理；第4卷討論圓的內接與外切多邊形定理;第6卷內容是相似理論;最後3卷是立體幾何。這些幾乎包含了現在中學所學的平面幾何、立體幾何的全部內容。
正如歐幾里得所闡述的，《幾何原本》是一個數學知識的邏輯體系，結構是由定義、公設、公理、定理組成的演繹推理系統。在第1卷開始他首先提出 23個定義，前6個定義是：①點沒有大小；②線有長度沒有寬度;③線的界是點；④直線上的點是同樣放置的；⑤面只有長度和寬度；⑥面的界是線。在定義之後有5個公設:①從任意點到另一點可以引直線；②有限直線可以無限延長；③以任意點為圓心，可用任意半徑作圓；④所有直角都相等；⑤如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側內角的和小於兩直角，那么這兩條直線在這一側必相交。其次,有5個公理：①等於同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量減等量其差相等；④可重合的圖形全等；⑤全體大於部分。在公理後面，歐幾里得便證明各個命題，每個命題都要以公設、公理或它前面的命題作為證明的根據，按邏輯的相關性把它排列成命題1、2、3、…。這些命題實際上就是人們所說的“定理”。
歐幾里得的《幾何原本》，雖然在教育和科學意義上，在歷史上受到很高的評價，但用現在的科學水平衡量，它的幾何邏輯結構在嚴謹性上還存在很多缺點。首先，歐幾里得的定義並不能成為一種數學定義，有的不過是幾何對象點、線、面的一種直觀描述，有的含混不清，這些定義在後面的論證中，實際上是無用的。其次，歐幾里得的公設和公理，是遠不夠用的，因而在《幾何原本》的許多命題的論證中，不得不藉助直觀，或者或明或暗地引用了用他的公設和公理無法證明的事實。特別要指出的是研究《幾何原本》的許多學者都注意到歐幾里得的第五公設比較複雜，看來很象定理。歐幾里得之後的兩千年很多學者都試圖用其他公設和公理加以證明,但都失敗。直到19世紀,C.F.高斯、H.И.羅巴切夫斯基、J.波爾約、（G.F.）B.黎曼等發現了非歐幾何，才了解到歐幾里得第五公設不是其餘公設和公理的推論，不能用那些公設和公理來證明，而是一個獨立的命題。
在歐幾里得幾何體系中，第五公設和“在平面內過已知直線外一點，只有一條直線與已知直線平行”相等價，現在把後一命題稱作歐幾里得平行公理。它體現了“歐幾里得幾何”與“非歐幾里得幾何”的區別。
19世紀末期，德國數學家D.希爾伯特於1899年發表了著名的著作《幾何基礎》，書中成功地建立了歐幾里得幾何的完整的公理體系，這就是所謂希爾伯特公理體系，希爾伯特首先抽象地把幾何基本對象叫做點、直線、平面。作為不定義元素,分別用A、B、C、…,α、b、с、…，α、β、у、…表示，然後用5組公理：結合公理、順序公理、契約公理、平行公理、連續公理來確定基本幾何對象的性質，用這5組公理作為推理的基礎,可以邏輯地推出歐幾里得幾何的所有定理，因而使歐幾里得幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體系。希爾伯特公理體系的完成，不僅使歐幾里得《幾何原本》的完善工作告一段落，且使數學公理法基本形成，促使20世紀整個數學有了較大的發展，甚至這種影響也擴大到其他科學領域，如物理、力學等。
希爾伯特公理體系中的公理如下：
結合公理 ①對於兩點A、B，存在通過這兩點的直線α；②對於不同兩點A、B,至多存在一條直線通過這兩點；③每條直線上至少有兩點，至少存在三點不在同一直線上；④對於不在同一直線上的三點A、B、C,存在通過這三點的平面α ，在每個平面上至少有一個點；⑤對於不在同一直線上的三點A、B、C,至多有一個平面α 通過這三點；⑥如果直線α 的兩點A、B 在平面α 上,那么直線α 的每個點都在平面α 上；⑦如果兩個平面α、β通過一點A，那么它們通過另一個點B；⑧至少存在四個不在同一平面上的點。結合公理①～⑧確定了點、直線、平面的結合關係，結合關係敘述為“在……上”和“……通過……”。利用結合公理①～⑧就可以推出一系列定理。例如，①兩條直線至多有一個交點；兩個平面或者沒有交點，或者有一條相交直線；平面和不在其上的直線至多有一個交點。②通過一條直線和不在其上的一點，或通過相交的兩條直線，有且只有一個平面；每個平面上至少有三點。
順序公理 ①如果點B在點A、C之間，那么點A、B、C是一條直線上的不同三點，而且點B也在點C、A 之間。②對於兩點A、C，直線AC上至少存在一點B，使點C 在點A、B 之間。③在一條直線上的三點中,至多有一點在另兩點之間。④設A、B、C是不在同一直線上的三點，α是平面ABC上的一條直線,但不通過三點A、B、C 的任何一個。如果直線α通過線段AB上的點,那么它或者通過線段AC上的點,或者通過線段BC上的點。順序公理④又叫做帕施公理,順序公理①～④確定了幾何元素順序關係,這種關係敘述為“……在……之間”。利用順序公理①～④和結合公理①～⑧，就可以推出一系列有關順序的定理，例如,①直線α上的點O 把這條直線上的其他點分為兩類，使點O 不在同一類的兩點之間，而在不同類的兩點之間。②在平面α 上的每條直線α,把α 上不在直線α上的點分為兩類,使同一類的兩點確定的線段與直線α沒有交點,而不同類的兩點確定的線段與直線α有交點。③每個平面α 把不在其上的點分為兩類，使同一類的兩點確定的線段與平面α 沒有交點，而不同類的兩點確定的線段與直線α有交點。
契約公理 ①如果A、B是直線α上的兩點,A┡是同一條或另一條直線α┡上的一點,那么在直線α┡上點A┡的一側,總有一點B┡使線段AB 契約於線段A┡B┡。對於每個線段AB,都有契約關係AB呏BA；②如果線段A┡B┡、A″B″都契約於同一線段 AB，那么線段A┡B┡契約於線段A″B″，就是說，如果A┡B┡呏AB,A″B″呏AB，那么A┡B┡呏A″B″；③設線段AB 和BC 是直線α上的兩個線段，沒有公共內點，A┡B┡ 和 B┡C┡是同一條或另一條直線 α┡上的兩個線段，也沒有公共內點。如果 AB 呏A┡B┡，BC 呏B┡C┡，那么AC呏A┡C ┡；④在平面α 上有一個角∠(hk)，在同一個或另一個平面 α┡上有一條直線α┡，而且在平面α┡上給出直線 α┡的一側，設h┡是直線α┡上從點O 出發的射線,那么在平面α┡上有且只有一條射線k┡, 使∠(hk)契約於∠(h┡k┡),而且∠(h┡k┡)的內點都在α┡的已知一側。每個角契約於自身,即:∠(hk)呏∠(hk),∠(hk)呏∠(kh)；⑤設 A、B、C 是不在同一直線上的三點，A┡、B┡、C┡ 也是不在同一直線上的三點，如果 AB 呏A┡B┡，AC呏A┡C┡, 且∠BAC=∠B┡A┡C┡,那么∠ABC呏∠A┡B┡C┡，∠ACB呏∠A┡C┡B┡。契約公理①～⑤確定了線段或角的契約關係。這種關係敘述為"……契約於……"或“……等於……”。利用契約公理①～⑤、結合公理①～⑧和順序公理①～④，就可以推出一系列的有關定理，例如：①關於三角形契約的幾個定理；②所有直角都相等；③每個線段都有惟一中點；④每個角都有惟一平分線；⑤三角形的外角大於不相鄰的內角。
平行公理 如果α是任意直線，A是不在 α上的一點，那么在α和A確定的平面上，只有一條直線通過A,且不與α相交。平行公理確定了直線的平行關係,這種關係敘述為“……平行於……”，利用平行公理和結合公理①～⑧，順序公理①～④和契約公理①～⑤，就可以推出一系列的有關定理。例如：①平行於同一條直線的兩條直線平行；②兩條平行直線與第三條直線相交，同位角、錯角相等；③三角形的內角和等於二直角；④矩形存在；⑤相似形存在；⑥勾股定理。
連續公理 ①對於任意兩個線段AB和CD,在直線AB上存在有限個點A1、A2、…、An，使線段AA1、A1A2、…、An-1An都契約於線段CD，而且點B在A、An之間。②一直線上的點的集合，在保持結合公理①和②、順序公理②、契約公理①～⑤、連續公理①的條件下，不可能再擴充。連續公理①叫做阿基米德公理，連續公理②叫做直線的完備性公理，現在直線的完備性公理，多用康托爾公理或戴德金公理來代替，連續公理①和②確定了直線上點的連續性，也就是直線上的點和所有實數成一一對應關係，利用連續公理①和②、結合公理、順序公理、契約公理就可以推出一系列有關連續性的定理，例如：①對於任意實數α>0，總有一個線段長度等於α；②如果直角的角度是ω，那么對於任意實數α，0<α <ω,總有一個角，角度等於α；③如果直線通過圓內的點,那么它與圓相交於兩點；④如果一個圓通過另一個圓的內點和一個外點，那么這兩個圓交於兩點。
用以上結合公理、順序公理、契約公理、平行公理、連續公理可以推出歐幾里得幾何的全部內容，但平行公理並不能用結合公理、順序公理、契約公理、連續公理推出。如果在這四組公理外，加上一個羅巴切夫斯基公理（見非歐幾里得幾何學），就可以推出非歐幾何的全部內容，結合公理、順序公理、契約公理、連續公理是這兩種幾何的共同部分，只涉及這四組公理的內容叫做絕對幾何。只有涉及歐幾里得平行公理，或羅巴切夫斯基平行公理的一些命題，才是歐氏幾何和非歐幾何的不同內容。
