簡介
數學上，一個公理系統（或稱公理化系統，公理體系，公理化體系）是一個公理的集合，從中一些或全部公理可以用來一起邏輯的導出定理。一個數學理論由一個公理系統和所有它導出的定理組成。一個完整描述出來的公理系統是形式系統的一個特例；但是通常完全形式化的努力帶來在確定性上遞減的收益，並讓人更加無法閱讀。所以，公理系統的討論通常只是半角式化的。一個形式化理論通常表示一個公理系統，例如在模型論中表述的那樣。一個形式化證明是一個證明在形式化系統中的表述。性質
一個公理系統稱為自洽（或稱相容、一致性），如果它沒有矛盾，也就是說沒有從公理同時導出一個命題及其否定的能力。在一個公理系統中，一個公理被稱為獨立的，若它不是一個從系統的其它公理可以導出的定理。一個系統稱為獨立的，若它的每個公理都是獨立的。
雖然獨立性不是一個系統的必要需求，自洽性卻是必要的。一個公理系統稱為完備的，若每個命題都可以導出或其否定可以導出。
模型
公理系統的數學模型是一個定義嚴謹的集合，它給系統中出現的未定義術語賦予意義，並且是用一種和系統中所定義的關係一致的方式。具體模型的存在性能證明系統的自洽。模型也可以用來顯示一個公理在系統中的獨立性。通過構造除去一個特定公理的子系統的正確模型，我們表明該省去的公理是獨立的，若它的正確性不可以從子系統得出。
兩個模型被稱為同構，如果它們的元素可以建立一一對應，並且以一種保持它們之間的關係的方式。一個其每個模型都同構於另一個的公理系統稱為範疇式的，而可範疇化的性質保證了系統的完備性。
第一個公理系統是歐氏幾何。
公理化方法
公理化方法經常被作為一個單一的方法或著一致的過程來討論。以歐幾里得為榜樣，它確實在很多世紀中被這樣對待：直到19世紀初葉，在歐洲數學和哲學中古希臘數學的遺產代表了智力成就（在幾何學家的風格中，更幾何的發展）的最高標準這件事被視為理所當然（例如在斯賓諾莎的著作中所述）。這個傳統的方法中，公理被設定為不言自明的，所以無可爭辯，這在19世紀逐漸被掃除，這是隨著非歐幾何的發展，實分析的基礎，康托的集合論和弗雷格在數學基礎方面的工作，以及希爾伯特的公理方法作為研究工具的“新”用途而發生的。例如，群論在該世紀末第一個放到了公理化的基礎上。一旦公理理清了（例如，逆元必須存在），該課題可以自主的進展，無須參考這類研究的起源—變換群。
所以，現在在數學以及它所影響的領域中至少有3種“模式”的公理化方法。用諷刺描述法，可能的態度有：
1. 接受我的公理，你就必須承擔它們的後果。
2.我拒絕你的公理之一併且採納另外的模型（I reject one of your axioms and accept extra models）。
3. 我的公理集定義了一個研究領域。
第一種情況定義了經典的演繹方法。第二種採用了博學點，一般化這個口號;它和概念可以和應該用某種內在的自然的廣泛性來表達的假設是一致的。第三種在20世紀數學中有顯著的位置，特別是在基於同調代數的課題中。很顯然公理化方法在數學之外是有局限性的。例如，在政治哲學中，導致不可接受的結論的公理很可能被大量拒絕；所以沒有人真的統一上面的第一個版本。
#數值邏輯的公理系統
（責任者：奇東，單位：齊東）
一、緒言（《古今數學思想》書中的道白與評論）：《古今數學思想》書中[第四冊45頁]指出：“實數系的邏輯結構問題為十九世紀後葉所重視，無理數被認為是主要難點，然而無理數的意義與性質的發展預先假定了有理數系的建立，對無理數理論不同的貢獻者來說，或則認為有理數已為眾所確認，無須什麼基礎，或則認為只給出一些匆促而臨時應付的方案，…。[第四冊316頁]數學的第三種主要的哲學，稱為形式派（形式主義），它的領導人是希爾伯特，他從1904年開始從事於這種哲學工作，他在那時的動機是給數系提供一個不用集合論的基礎，並且確立算術相容性，因為他自己對於幾何的相容性的證明已約化成算術的相容性，算術的相容性就成了一個沒有解決的關鍵性問題，…。”，據此可知，我們的前人康托爾、戴金、魏爾斯特拉斯、希爾伯特等等許多專家，在有理數系還沒有完全完整地建立起來的時候，率先建立起了實數系、實無限的數學理論和數理邏輯等等，這就是為什麼純粹數學、初等數學會如此現狀的原因之所在，了解數學基礎的發展史、數學真理演變的過程非常重要，否則有理難辯，…，關於對有理數系、實數系的認識與建立，很顯然這一認識真理的順序、過程有些是被人為顛倒了的過程，如此認識真理已造成了難以覺察到理性認識上的不應擁有的困難與麻煩，且實無限排斥潛無限數學真理，潛無限也排斥實無限，似乎有理難辯，正常的過程應是先認識有理數（域）系形成完整的理性認識、並建立起有理數辯證數值邏輯公理系統，然後建立實數（系），時至21世紀的高科技與資訊時代，提升對有理數、有理數系運算規律的認識，依然不失其必要性、重要性，數學也有若干重大問題需要澄清，…；《古今數學思想》書中 [第四冊324頁] 指出：“對於數學基礎的根本問題所提出的解答——經典集合論公理化、邏輯主義，形式主義，直覺主義——都沒有達到目的，沒有對數學提供一個可以普遍接受的途徑。在哥德爾1931年的工作以後的發展，也沒有在實質上改變這種狀況，…；該書中又指出：韋爾對數學的現狀作了恰當的描述：關於數學最終基礎和最終意義的問題還是沒有解決，我們不知道向哪裡去找它的最後解答，…”,這就是純粹數學的基本現狀，…。《古今數學思想》[第四冊313頁]書中還指出：“…，數學中最重要的進展都不是由於要把邏輯形式完美化而得到的，而是由於基本理論本身的變革，是邏輯依靠數學，而不是數學依靠邏輯。”事實上邏輯與數學相互依賴,數學基本理論自身變革怎樣變革、如何變革、從哪裡作為起點開始變革至關重要，追根溯源，還是要上溯到2500多年前畢達哥拉斯時期，從最簡單的算術談起，無容置疑，潛無限數學理論依然是純粹數學、套用數學的根基，因為無理數都取近似值，堅決突破玄學數學自然觀的束縛、徹底打破純粹數學（數學基礎）的“三大數學流派”與“門戶”之見，承認接受實無限數學理論千萬不能排斥丟掉了潛無限數學真理，…。
向為數學以及為純粹數學做出過貢獻的歷代數學家致以崇高敬意！…。
二、建立起數學數值辯證邏輯公理系統（的雛形）：
究竟是到數值邏輯系統外部探尋系統運算規律與深刻內涵？還是在數值邏輯系統內部探尋系統運算規律與深刻內涵？很顯然，要在數值邏輯系統內部探尋系統運算規律以及深刻內涵、建立起數學辯證數值邏輯公理系統（的雛形），使數學理論形成完整的理性認識，事實證明，數理邏輯亦不是萬能邏輯，數理邏輯與實無限並未完全揭示出辯證數值邏輯公理系統運算規律與其深刻內涵，初等數學與純粹數學的基本理論尚有諸多不足之處，這就是數學實無限理論和數理邏輯無法解決的數學矛盾與問題，關於數學的無限矛盾，實無限、數理邏輯不能解決的數學矛盾與問題，運用潛無限數學理論與潛無限的科學方法深化提升對有理數系統的認識，未嘗不可，…，用那10個阿拉伯數字演繹數學真諦，1生2、2生3、“10”個阿拉伯數字派生無限，確切地說正整數數列： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……如果從數學的數論、集合論、算術與哲學角度出發，運用算術的方法分別選取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分別地建立起最基本最原始的幼稚可笑的有理數數列群與子集合（為了節省版面本文分數線用斜線表示，敬請諒解）：
第1子系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……，
第2子系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……，
第3子系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……，
第4子系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……，
第5子系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……，
第6子系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……，
第7子系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……，
第8子系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……，
第9子系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……，
第10子系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……，
……，……
分別探索在何範疇內各基數間存在著2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的算術（數學）公理——辯證數值邏輯公理系統運算規律：
第1子系列：0/1=0，1/1=1，2/1 =2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6， ……，
第2子系列、第2環節：
2（0/2+1/2+2/2）=（1/2+2/2+3/2）=（0.5+2/2+1.5）
第3環節：3（0/2+1/2+2/2）=（2/2+3/2+4/2）=（1/1+3/2+2/1）=（1+3/2+2）
第4環節：4（0/2+1/2+2/2）=（3/2+4/2+5/2）=（1.5+4/2+2.5）
第5環節：5（0/2+1/2+2/2）=（4/2+5/2+6/2）=（2/1+5/2+3/1）=（2+5/2+3）
第6環節：6（0/2+1/2+2/2）=（5/2++6/2+7/2）=（2.5+6/2+3.5），……，
第3子系列、第2環節：
2（0/3+1/3+2/3+3/3）=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3）
=(1/2+2.5/3+3.5/3+3/2）=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）=（3/3+4/3+5/3）
第3環節：3（0/3+1/3+2/3+3/3）=（3/3+4/3+5/3+6/3）
=（1/1+4/3+5/3+2/1）=（1+4/3+5/3+2）
第4環節：
4（0/3+1/3+2/3+3/3）=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3）
=（3/2+5.5/3+6.5/3+5/2）=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）=（7/3+8/3+9/3）
第5環節：5（0/3+1/3+2/3+3/3）=（6/3+7/3+8/3+9/3）
=（2/1+7/3+8/3+3/1）=（2+7/3+8/3+3）
第6環節：
6（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）=（5/2+8.5/3+9.5/3+7/2）
=（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5）=（11/3 +12/3+13/3），……，
第4子系列、第2環節：
2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4）
=（1/2+3/4+4/4+5/4+3/2）=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）
第3環節：
3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4）
=（1/1+5/4+6/4+7/4+2/1）=（1+5/4+6/4+7/4+2）
第4環節：
4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）=（3/2+7/4+8/4+9/4+5/2）
=（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）
第5環節：5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4）
=（2/1+9/4+10/4+11/4+3/1）=（2+9/4+10/4+11/4+3）
第6環節：6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）=（5/2+11/4+12/4+13/4+7/2）
=（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5）， ……，
第5子系列、第2環節：
2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）
=（1/2+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+3/2）
=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）
=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）
第3環節：3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5）
=（1/1+6/5+7/5+8/5+9/5+2/1）
=（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）
第4 環節：4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5）
=（3/2+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+5/2）
=（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5）
=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5）
第5環節：5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5）
=（2/1+11/5+12/5+13/5+14/5+3/1）
=（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）
第6環節：6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5）
=（5/2+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+7/2）
=（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），
=（16/5+17/5+18/5+19/5+20/5），……，
第6子系列、第2環節：
2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6)
=(1/2+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+3/2)
=(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)
第3環節：3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6）
=（1/1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2/1）
=（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）
第4環節：4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6）
=（3/2+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+5/2）
=（1.5+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）
第5環節：5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6）
=（2/1+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3/1）
=（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）
第6環節：6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6）
=（5/2+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+7/2）
=（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……，
第7子系列、第2環節：
2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7）
=（1/2+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+3/2）
=（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）
=（5/7+6/7+7/7+8/7+9/7+10/7+11/7）
第3環節：3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7）
=（1/1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2/1）
=（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）
第4環節：4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7)
=(3/2+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+5/2)
=(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)
=（13/7+14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7）
第5環節：5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7）
=（2/1+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3/1）
=（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）
第6環節：6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7)
=(5/2+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+7/2)
=(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)
=(21/7+22/7+23/7+24/7+25/7+26/7+27/7)，……，
……，……
（一）、數學數值辯證邏輯公理系統（以下簡稱為數值邏輯公理系統或系統）：
關於上述初等數學與純粹數學的起點，即最簡單、最原始幼稚可笑的未被引起人們足夠重視的數值運算我們無法將其一一列出，上述運算是否蘊涵著數學數值邏輯系統運算規律和深刻的內涵？單憑直覺無法正確回答，…，目前，只能實事求是，實話實說，常言道，最簡單的、最質樸的恰恰是最深奧的、最難以理解接受的，數學是被應驗了，我們將上述運用亞里士多德潛無限數學理性認識和在自然辯證法（哲學）指導下、在數論、集合論內涵條件下形成的特殊運算規律與普遍運算規律以及深刻內涵辯證地概括地歸納為：總之，數學辯證數值邏輯系統的各個子系列除了第1系列0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1，7/1，8/1，9/1，10/1，…例外，上述辯證數值邏輯公理系統運算規律，系統的各個子系列無論是在奇數子系列、還是在偶數子系列範疇內均派生子集合，派生子集合是指（既約分數）1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，15/2，17/2，……從系統發展變化的過程中產生分化出來占據整數的位置充分地十足地體現其分數相對整性質，因為1/2是最大的分數單位，所以擁有分數相對整性質；或者說小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…在系統在各個子系列發展變化的過程中紛紛產生分化出來、均占據整數的位置，揭示著它們的絕對值比其他小數的絕對值相對整裝，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…充分地十足地體現其小數相對整·性質，蘊涵著完整的算術（數學）公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關係,2是數學（算術）的首要公理，當系統子系列在10，100， 1000，10000，…的範疇內：均派生子集合，不僅揭示著小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，…擁有相對整·性質，而且在向縱深發展地潛無限的過程中有太多太多的基數是超越無理數數值的有限形式、甚至與其相吻合，形成有限·不循環小數或潛無限·不循環小數（例如31415926/10000000=3.1415926等等a_1/10+a_2/〖10〗^2 +a_3/〖10〗^3 +a_4/〖10〗^4 +a_5/〖10〗^5 +……+a_n/〖10〗^n 是超超越數的有限形式，是十進制小數的典型代表，在此基礎上引進有限·不循環小數（潛無限·不循環小數）的概念與定義，有限·不循環小數（潛無限·不循環小數）是數學真理最新發現之一，譬如：圓周率π=3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，…等等就是有限·不循環小數（潛無限·不循環小數），具有替代無理數數值巨大的數學實際意義與套用價值（無理數的近似值），…；現將數學數值辯證邏輯公理系統各個子系列籠統的、通項的表達為（僅以正的為代表，符號↓：意指系統的各個子系列均相互派生子集合）：
{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓ {[2～3]}5↓…（此結構式上下交錯對應莫散開）
{[1/2～3/2]}2 ↓ {[3/2～5/2]}4 ↓ {[5/2～7/2]}6 …
或者表達為：
{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓ {[2～3]}5↓…（此結構式上下交錯對應莫散開）
{[0.5～1.5]}2 ↓ {[1.5～2.5]}4 ↓ {[2.5～3.5]}6 …
或者表達為：
{[0≤X1≥1]}1↓{[2≤X5≥3]}5↓{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a,a=1,2,3,4,5,6,…,
{[0.5≤X2≥1.5]}2↓{[1.5≤X4≥2.5]}4↓{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a
1∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[0≤X1≥1]}1， 2∑{[0≤X1≥1]1= ∑{[0.5≤X2≥1.5]}2，3∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[1≤X3≥2]}3，4∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[1.5≤X4≥2.5]}4，5∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[2≤X5≥3]}5，6∑{[0≤X1≥1]1=∑[2.5≤X6≥3.5]}6，a∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a,a=1,2,3,4,5,6,7,8,……,
系統中的∑{[0～1]}1、∑{[1～2]}3、…意指系統各個子系列1，3，5，7，9，11，13，…奇數環節上的基數的和，∑{[0.5～1.5]}2、∑{[1.5～2.5]}4、…意指系統各個子系列2，4，6，8，10，12，…偶數環節上的基數之和，{[0.5～1.5]}、{[1.5～2.5]}、…亦是系統的子集合，∑{[0～1]}1與∑{[0.5～1.5]}2它們是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數組，其他依次類推，很顯然，假如說{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基數是實無限，那么它的基數有理數與無理數一下子就會全部冒出來，究竟具體有多少、是多少？實無限無人無法具體知曉、如果採納實無限手段依然會遇到我們的前人所遭遇的結果，因此務必突破傳統數學思維觀念實無限與傳統經典數論、集合論的束縛，本文並不否定實無限的科學性、亦不否定無理數的客觀存在，亦不否認數理邏輯比數值邏輯的無比優越性，只是希望承認接受實無限的人們與專家，千萬莫否定、排斥掉了潛無限數學理論，X1，X2，X3，X4，X5，Xa，均為有科學秩序的有理數，並非一堆毫無秩序有理數，式中的a=1,2,3,4,5,6,…,因此務必運用科學的潛無限數學理論來認識、解決數學矛盾與問題，再次強調說明，符號↓：意指（相互）派生子集合，在數值邏輯公理系統各個子系列從第2系列起各個子系列均（相互）派生子集合，具有普遍意義，（相互）派生子集合是指在數學辯證數值邏輯公理系統運算過程中，分數（既約分數）±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，…從系統發展變化的過程中產生分化出來占據整數的位置充分地十足地體現其分數·相對整·性質，因為1/2是最大的分數單位，所以擁有分數·相對整·性質（實際上無論是在奇數系列還是在偶數系列範疇內系統均派生分數形式的子集合，為了節省版面本文沒有反覆提出，敬請諒解），換言之，小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…從系統發展變化過程中產生分化出來，占據整數位置，充分地十足地體現其小數·相對整·性質，為奇數±1，±3，±5，±7，±9，±11，±13，±15，±17，…能被2相對·整除提供科學的理論依據，系統相互派生子集合，也包涵著整數0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，±9，±10，…由系統發展變化的過程中從系統的有理數中分化出來體現整數性質，為偶數0,±2，±4，±6，±8，±10，±12，…能被2整除提供科學依據，因此說在數值邏輯公理系統中相互派生子集合才是切合實際的，公理系統蘊涵著完整的辯證數值邏輯運算規律（系統蘊涵著完整的數學或者說算術公理）2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關係、或者說2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…均是數值邏輯公理系統的算術（數學）公理，2是數學公理系統的首要公理，系統具有無窮個子系列、用符號n表示，n=2，3，4，5，6，7，8，9，10，…採納潛無限的方法去把握，系統的各個子系列具有無窮個自然連鎖環節、用符號a表示，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…採納潛無限的方法去把握，構成永不枯竭的無限的連鎖群體和統一體，是數值邏輯對立統一規律的真實體現，是我們人類從數學的必然王國邁向自由王國的有效途徑，是我們人類集體智慧的一大體現與結晶，數學辯證數值邏輯公理系統是無限開放著的公理體系，縱、橫向上只有起點而無終點！它永遠傾聽人類實踐的呼聲、滿足人類實踐的需求，我們人類實踐永遠不可能達到實無限的程度；很顯然，在數學辯證數值邏輯公理系統中的各個子系列無論是在偶數還是在奇數環節上均相互派生子集合，尤其分數±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或者說小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…自告奮勇勢不可擋、在發展變化的過程中紛紛產生分化出來擔負起相對整·性質的重任，儘管這樣的分數與其對應著的小數極其簡單、然而其基本原理與哲理卻深刻、深奧的難以理解與接受、甚至不可理喻，只有運用辯證邏輯進行辯證認識、辯證分析、辯證推理，…；概括而言，偶數能被2整除，奇數不能被2整除、奇數（包括素數）卻能被2相對·整除，奇數與偶數相反相成對立統一，蘊涵著哲學的對立統一規律，數值邏輯公理系統為其提供完整地科學依據，這是數學自然觀、科學觀的重大認識問題，要做出正確選擇，要突破傳統數學實無限、傳統經典數論與集合論的束縛，顯然，廣義·數論、廣義·集合論、算術、哲學（自然辯證法）四位一體、辯證統一，自然辯證法（現代哲學）以對立統一規律為切入點注入初等數學、純粹數學，為數學真理指明了正確的前進方向，至此，數學（算術）已有科學根據，需要引入數學新概念與定義：譬如分數·相對整·性質、小數·相對整·性質、小數·單位、最大的小數·單位是0.5等等諸多概念與定義，有理數屬於離散量的範疇，儘管如此，在數軸上、坐標系、在數值邏輯公理系統中得以體現，廣義·整數與無理數一樣均客觀存在、擁有客觀存在性，問題的關鍵所在就是如果理解接受了派生子集合、分數與小數的相對整·性質，其他數學矛盾與問題便會迎刃而解，或者說難度會大大縮減，…；公理系統蘊涵著算術的基本法則，關於無理數需要具體問題具體分析、具體對待、具體構造無理數數值，引進實數、實數系千萬莫排斥掉了潛無限數學理論，…。
（二）、數學數值辯證邏輯公理系統揭示出豐富深刻內涵、數學概念與問題：
1、傳統經典的數論與集合論的公理系統凸顯巨大的局限性：
很顯然，依照傳統經典的數論與集合論的理性意識，系統的各個子系列運算規律只有3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}，…即只有奇數3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，…是算術（數學）公理，沒有偶數倍數的統一體，經典的數論與集合論無法回答偶數2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，…是否也是系統的算術（數學）公理，傳統經典的數論與集論公理的公理系統凸顯巨大的局限性，即系統沒有偶數倍數的算術（數學）公理，皮亞諾公理並非算術的全部，如何探索尋求數值邏輯公理系統成為算術（數學）的首要問題，提升到哲學與數學的高度，它涉及到人們數學觀的認識問題，需要艱難地突破傳統經典的數論與集合論的重大束縛，…；
2、雙·素數：除了能被1和自身整除外，還僅能被2和一個素數互為整除的（僅以正的為代表）偶數，把具有這樣性質的偶數稱之為雙·素數，雙·素數無窮無盡，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特徵，能表示為兩個等值的素數之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，雙素數星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，雙素數與素數相互對應：
6，10，14，22，26，34，38，46，58，……
3， 5， 7，11，13，17，19，23，29，……（上下相互對應）
3、偶素數與素數：2既是一個素數又是一個偶數，將2稱之為偶素數，偶素數2具有唯一性，那么就可以將奇素數3，5，7，11，13，17，19，...簡稱為素數，簡化奇素數的名稱。
4、關於哥德巴赫猜想理論上如何認識？在數值邏輯公理系統中也是不可能迴避的數學矛盾與問題：
{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓ {[2～3]}5↓…（此結構式上下交錯對應莫散開）
{[0.5～1.5]}2 ↓ {[1.5～2.5]}4 ↓ {[2.5～3.5]}6 …
第1環節：1∑{[0～1]}1=∑{[0～1]}1，第2環節：2∑{[0～1]}1=∑{[0.5～1.5]}2，
第3環節：3∑{[0～1]}1=∑{[1～2]}3，第4環節：4∑{[0～1]}1=∑{[1.5～2.5]}4，
第5環節：5∑{[0～1]}1=∑{[2～3]}5，第6環節：6∑{[0～1]}1=∑{[2.5～3.5]}6，…，
……，…；
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……均為數學（算術）公理，2是公理系統首要公理，…，如果將它們展開為數值邏輯公理的另一種表達形式：
第2環節：1+1=2，
第3環節：1+2=3、2+1=3，
第4環節：1+3=4、2+2=4、3+1=4，
第5環節：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5，
第6環節：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6，
第7環節：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，
第8環節：1+7=8、2+6=8、[3+5]=8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8，
第9環節：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9，
第10環節：1+9=10、2+8=10、[3+7]=10、4+6=10、（5+5）！=10、…、8+2=10、9+1=10，
第11環節：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…，
第12環節：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、[5+7]=12、6+6=12、…、8+4=12、…，
…在1+k=n（k=1，2，3，4，5，6，…，當k=5，6，7，8，9，…，n= 2, 3, 4, 5,6,…）向k+1=n的轉換過程中總是蘊涵著哥德巴赫猜想，運算規律不僅具有算術公理1+1=2的數學意義，也蘊涵著經典數論“1+1”的重大意義，我們無法否定它的客觀存在性，算術公理1+1=2與數論的“1+1”二者相輔相成，一脈相承，數論的“1+1”其實它就是數值邏輯公理系統中各個子系列偶環節上的特殊算術公理，數論的“1+1”是數值邏輯公理系統中各個子系列偶數環節上的運算規律，一定要在數值邏輯公理系統中辯證地認識、正確地看待它，數值邏輯公理系統不可能迴避如此重大數學矛盾——哥德巴赫猜想：
（1）、哥德巴赫偶數猜想：大於等於6的偶數=（一個素數+另一個素數）
數論的“1+1” 與算術的1+1=2在數值邏輯公理系統中一脈相承，在算術公理1+1=2的數值邏輯公理系統中蘊涵著數論的“1+1”，數論的“1+1”是數值邏輯公理系統各個子系列偶數環節上的算術公理、是數值邏輯公理系統中偶數環節上的運算規律：譬如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7, 14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，無窮無盡，擁有客觀存在性（當然是辯證推理），既不肯定也不否定其真實性、模稜兩可、不置可否，這背離了數學（邏輯）排中律，很顯然，傳統經典的數論要證明的“1+1”亦是算術公理，依然屬於算術的範疇與算術問題，經典的數論要證明的“1+1”是完美地，…，弄一個足夠多的素數表意義非凡、其意義不亞於證明了“1+1”真實性；
（2）、哥德巴赫奇數猜想：大於等於9的奇數=（一個素數+一個雙素數）=3個素數之和：譬如：9=3+6=3+3+3，11=5+6=5+3+3，13=3+10=3+5+5，15=5+10=5+5+5，17=7+10=7+5+5，19=5+14=5+7+7，…；很顯然，哥德巴赫奇數猜想亦是辯證數值邏輯公理系統中奇數環節上的算術公理，是系統奇數環節上的運算規律但屬於特殊運算規律，擁有客觀存在性，這當然是運用邏輯辯證推理；哥德巴赫猜想——數論的“1+1”所證明的真實性、以及邏輯上所要摘取的是十分完美地！…。
5、分數·整（整·分數）：0/1=0，1/1=1，-1/1=-1，2/1=2，-2/1=-2，3/1=3，-3/1=-3，4/1=4，-4/1=-4，5/1=5，-5/1=-5，6/1=6，-6/1=-6，…儘管是分數形式，數值邏輯公理系統揭示著依然體現整數性質、是系統的特殊規律，因此將其統稱為分數·整（整·分數），分數·整與整數相互對應，整·分數是公理系統的一個特殊規律，均可書寫為a/1。
6、小數·整（整·小數）：無限循環小數0.9(·)=1，小數形式依然體現整數性質，將其簡稱為小數·整（整·小數）。
7、分數單位：簡言之，分子是1、分母是等於、大於2的正整數的分數就是分數單位，譬如1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，……就是分數單位，最大的分數單位是1/2，在數軸上、坐標系、數值邏輯公理系統中得以體現，分數單位、最大的分數單位1/2是一個基本單位與相對整體；
8、小數·單位：什麼是小數·單位目前尚未形成統一認識，如果將分數單位1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9，1/10，…對應下的小數0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…界定為小數·單位，那么就可以將小數0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…統稱為小數·單位，小數·單位涵蓋著小數計數單位，小數·單位的意義比小數計數單位的意義更廣泛，很顯然，最大的小數·單位·是0.5，小數·單位與最大的小數·單位·是0.5是數學真理最新發現之一；小數·單位、最大的小數·單位0.5的數學與哲學意義，就是最大的·小數·單位0.5為小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…擁有相對整·性質提供科學理論根據與支持，小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…擁有相對整·性質又為奇數（含素數）能被2相對·整除提供科學理論根據與支持，這就是小數·單位、最大的·小數單位·0.5的數學與哲學意義！因此，引進小數·單位、最大的·小數·單位0.5是正確的、切合實際的、是非常必要的！小數·單位、最大的·小數·單位·是0.5擁有客觀存在性，在數軸上、坐標系中、數值邏輯公理系統中得以體現，是不可分割的相對整體。
9、小數計數單位：小數計數單位是指小數計數方法中，小數點右邊十分位、百分位、千分位、…上的最具代表性的小數單位，分別為：0.1（1/10），0.01（1/100），0.001（1/1000），…，因為最大的小數計數單位0.1小於最大的·小數·單位0.5與最大的分數單位1/2，所以不能夠揭示出小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的相對整·性質，導致數學真理複雜化與更加抽象化，這就是小數計數單位的局限性，…。
10、分數的內涵：所謂分數的內涵地地道道、千真萬確包括著分數的絕對值（數值）、分數單位、分數單位的個數（份數）、最大的分數單位是1/2、等等概念，因此分數的絕對值（數值）僅僅是分數內涵的一部分，分數的絕對值包含著分數單位與分數單位的個數、這是至關重要的，要充分運用好分數單位、最大的分數單位1/2、分數單位的個數（份數）等等概念進行辯證認識、辯證分析分數的深刻內涵，深化提升對有理數的理性認識，有必要剖析分數的內涵，…。
11、分數·相對整·性質：其他分數的絕對值對比分數1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，…的絕對值更零散，換言之，分數1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，…對比其他分數的絕對值而言相對整裝，在數值邏輯公理系統中，把這一相比較而得到的相對整·性質統稱為分數1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，…的相對整·性質，簡稱為分數·相對整·性質，為什麼會擁有分數·相對整·性質、因為分數±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，±19/2，[(Z±1/2），Z=0，±1，±2，±3，±4,±5,±6,±7，……]的絕對值的分數單位均是最大的分數單位1/2，最大的分數單位1/2決定著它們的絕對值擁有分數·相對整·性質，可以一次全部確定下來，因為這是規律，無需逐一驗證，其他分數不具備相對整·性質——因為其他分數的分數單位1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9，1/10,…均小於最大的分數單位1/2，所以其他分數的絕對值更零散，因此可以一次徹底排除，無需逐一驗證，這也是規律，千萬莫產生誤解，並非所有的分數都具有相對整·性質、更不是分數的絕對值越大才越具有相對整·性質，只有分數±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，±19/2，[(Z±1/2），Z=0，±1，±2，±3，±4,±5,±6,±7，……]的絕對值擁有相對整·性質，這是由最大的分數單位1/2決定著分數±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，…的絕對值擁有相對整·性質，在數值邏輯公理系統中占據整數的位置充分地十足地體現其分數·相對整·性質，分數·相對整·性質的內涵與外延僅僅適用於分數±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，…的範疇，不能超越了此範疇，否則就是對分數·相對整·性質的誤讀、誤解，…；分數·相對整·性質是“分數·相對整”的特殊性質、特殊規律，是最抽象、最深奧、最為“彎彎繞”的算術（數學）真理；務必需要說明，分數·相對整（相對整·分數）與整數（分數·整）是具有差異性、它們是異中之同、差異中的共性與同一性，並非等同的共性，因此既要認識到分數·相對整與整數的差異性、又要認識到分數·相對整與整數的差異中的共性與同一性。
12、分數·相對整（相對·整分數）：將分數±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，±19/2，[(Z±1/2），Z=0，±1，±2，±3，±4,±5,±6,±7，……]以及其絕對值所擁有的相對整·性質統稱為分數·相對整，也就是把正分數·相對整與負分數·相對整統稱為分數·相對整，分數·相對整擁有相互矛盾的雙重性質，其一是分數性質，其二是分數·相對整·性質，…。
14、小數的內涵：所謂小數的內涵地地道道、千真萬確包涵著小數的絕對值、小數·單位、小數·單位的·個數、最大的·小數·單位是0.5、小數計數單位、小數計數單位的個數、最大的小數計數單位是0.1等等概念，因此小數的絕對值（數值）僅僅是小數內涵的一部分，需要了解理解消化小數·單位、小數·單位的·個數、最大的·小數·單位是0.5等等概念與含義，小數的絕對值不僅包含著小數計數單位與小數計數單位的個數，最大的小數計數單位是0.1，而且小數的絕對值還包含著小數·單位與小數·單位的·個數、最大的·小數單位·是0.5，這是至關重要的，要充分運用好小數·單位、小數·單位的·個數、最大的·小數·單位0.5等等概念辯證認識、辯證分析小數的深刻內涵，深化提升對有理數的理性認識，有必要深度剖析小數的深刻內涵，…。
15、小數·相對整·性質： 先舉例說明，例如（以十進制分數、十進制小數為例）：為了便於理解接受在舉例之前先以小數計數單位為例：譬如小數0.9、0.87、0.988、0.7778888、…,小數0.9=9×0.1，即小數0.9包含9個0.1，小數0.87=87×0.01即0.87包含87個0.01，小數0.988=988×0.001即0.988包含988個0.001，小數0.7778888=7778888×0.0000001即0.7778888包括7778888個0.0000001，…這些小數的小數計數單位分別是0.1、0.01、0.001、0.0000001、…,最大的小數計數單位是0.1；以分數單位與小數單位舉例說明（與小數計數單位以及小數計數單位的個數相類似）即：
1/2=0.5=1×1/2=1×0.5，即0.5包括1個0.5、1/2包括1個1/2；
2/3=0.6=2×1/3=2×0.3…，即0.6…包括2個0.3…、2/3包括2個1/3；
3/4=0.75=3×1/4=3×0.25，即0.75包括3個0.25、3/4包括3個1/4；
3/5=0.6=3×1/5=3×0.2，即0.6包括3個0.2、3/5包括3個1/5；
5/6=0.8333…=5×1/6=5×0.1666…，即0.8333…包括5個0.1666…、5/6包括5個1/6；
3/7=0.428571…=3×1/7=3×0.142857…，即0.428571…包括3個0.142857…、3/7包括3個1/7；
…很顯然，小數·單位0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，……均小於最大的·小數·單位·0.5，所以，小數0.6…，0.75，0.6，0.8333…，0.428571…，0.625，0.7…,0.9，…的絕對值均比±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的絕對值更零散，換言之，小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的絕對值均比其他小數的絕對值·相對·整裝，在數值邏輯公理系統中將這一相比較而言得到的相對整·性質統稱為小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的絕對值的小數·相對整·性質，為什麼它們會擁有相對整·性質，因為小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的絕對值的小數·單位均是最大的·小數·單位0.5，最大的·小數·單位·0.5決定著小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的絕對值擁有相對整·性質，可以一次全部確定下來，無需逐一驗證，這是規律，其他小數不具備·相對整·性質、因為其他小數的·小數·單位0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…均小於最大的·小數·單位·0.5，可以一次徹底排除，無需逐一驗證，這也是規律，本文為了便於人們理解，在前面才如此舉例如此說明的，因此，小數的內涵不僅包括小數的絕對值還包含著小數·單位、小數·單位的個數、最大的·小數·單位·是0.5，而且小數·單位與分數單位相互對應、最大的·小數·單位0.5與最大的分數單位1/2互相對應（因為1/2=0.5所以最大的·小數·單位0.5並非憑空而來的，需要形成理性認識）、小數·單位的個數與分數單位個數（份數）相互對應，最大的·小數·單位·0.5以及公理系統為小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的絕對值擁有相對整·性質提供理論依據與支持，因為0.5是最大的·小數·單位·無與倫比，小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…絕對值的·相對整·性質又為奇數±1，±3，±5，±7，±9，±11，…能被2相對·整除提供理論依據與支持，再次說明，並非所有的小數也不是小數的絕對值越大越體現·小數·相對整·性質，小數·相對整·性質的內涵與外延僅僅適用於小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的範疇，否則就是對小數·相對整·性質的誤讀、誤解，…。
16、小數·相對整（相對整·小數）：將小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，±7.5，±8.5，±9.5，±10.5，[(z±0.5),z=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,±7,……]以及其絕對值所擁有的相對整·性質統稱為小數·相對整，也就是將正小數相對整與負小數·相對整統稱為小數·相對整，小數·相對整其絕對值具有相互矛盾的雙重性質，一是小數·相對整·性質，二是普通小數性質，…。
17、1+1=2蘊含著的基本原理與對立統一規律：偶數能被2在抽象意義下自然整除，奇數不能被2在抽象意義下自然整除、奇數（包括素數）卻能被2在抽象意義下·相對·整除，因為小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…擁有相對整·性質，為奇數（包括素數）能被2相對·整除提供科學的理論依據，1+1=2或者說2是數學首要公理，哥德巴赫猜想——數論的“1+1”是數值邏輯公理系統中偶環節上的算術公理擁有客觀存在性，既不肯定也不否定模稜兩可，不置可否，這不符合排中律；其哲學意義（哲理）：偶數能被2在抽象意義下自然整除，奇數不能被2在抽象意義下自然整除、奇數（含素數）卻著實能被2在抽象意義下·相對·整除，傳統意義的偶數能被2整除、奇數不能被2整除是指奇數與偶數二者的排斥性、對立性、差異性，偶數能被2整除、奇數不能被2整除、奇數卻能被2在抽象意義下·相對·整除是指奇數和偶數的異中之同、差異中的共性與同一性，恰好與哲學的對立統一規律相吻合，因此說，奇數與偶數（整數與分數·相對整或整數與小數·相對整）相反相成對立統一， 1+1=2蘊涵著極其深刻的數值邏輯對立統一規律，換言之奇數與偶數蘊涵著哲學的對立統一規律，以上所談就是算術公理1+1=2蘊涵著的基本原理與哲理，哲學（自然辯證法）以對立統一規律為切入點注入純粹數學、注入初等數學，為算術（數學）公理1+1=2與數論的“1+1”指明了正確的前進方向！ 為什麼·1+1=2，並非質疑算術（數學）公理1+1=2的正確性，而是科學地回答算術（數學）公理1+1=2蘊涵著的基本原理與哲理；套用數學順應了1+1=2的客觀規律，並得到人類無數次實踐的檢驗與證明，早已被實踐證明了是正確的自然科學真理，純粹數學（數學基礎）的理論依然處於探索之中，這就是純粹數學（數學基礎）的基本現狀，…；常言道，最簡單的、最質樸恰恰是最深奧的，數學被應驗了，為什麼·1+1=2，一個最簡單的數值邏輯，蘊涵著最深刻的真理對立統一規律、廣義·整數、廣義·數學真理。
自然數與正整數、單位“1”與自然“1”的差異：算術公理1+1=2是科學抽象的，1+1=2與正整數是相對於廣義·單位“1”而言，單位“1”的含量絕對統一，1+1=2並非自然“1”的意義，事實上自然數與正整數既有差異又有聯繫，自然數是相對於自然“1”而言，正整數是相對於廣義·單位“1”而言，正整數把自然數提升到了抽象的科學高度，由於自然數、時常因單位“1”不統一、“含金量”不一致，如果對自然數直接進行運算是有很大的局限性——有時正確、有時有偏差，換言之不是任何條件下、任何時候都正確，我們人類是聰明智慧的，有了數學的廣義·單位“1”、正整數、整數，消除了自然數的局限性；數學中的整數擁有科學抽象的廣義·單位“1”，相對整·分數擁有廣義的科學抽象最大的·分數單位“1/2”、相對整·小數擁有廣義的科學抽象最大的·小數·單位“0.5”，這就是數學（算術）的最為抽象的數學意義，依照邏輯、概念、定義分數就是分數、擁有分數性質、小數就是小數、擁有小數性質，然而卻偏偏冒出一個小數·相對整·性質與分數·相對整·性質來，考驗人類科學的勇氣與智慧！…。
18、廣義·整數：將整數與分數·相對整統稱為廣義·整數，即本文將0，±1/2，±1，±3/2，±2，±5/2，±3，±7/2，±4，±9/2，±5，±11/2，±6，±13/2， {[Z*(±1/2)],Z=0,1.2,3,4,5,6,7,8,9，10，……}統稱為·廣義·整數；亦可以將整數和小數·相對整統稱為廣義·整數，換言之，即本文將0，±0.5 ，±1 ，±1.5，± 2，±2.5，±3，±3.5，±4，±4.5，±5，±5.5，±6，±6.5，[(±0.5*Z),Z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,……]統稱為廣義·整數；廣義·整數蘊涵著整數，正、負分數·相對整，正、負小數·相對整的數學意義；廣義·整數、廣義·數學真理為量子力學奠定堅實基礎、揭示著大宇宙中微觀世界的原子、中子、質子、核外電子，費米子、玻色子等等粒子的某些運動（自鏇）規律，...；在量子力學中將分數±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或者說小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，……統稱為半整數或者叫作量子數，實際上它們就是離散量的有理數，因此說：半整數±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……與分數相對整±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或小數相對整±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，……內涵與外延是完全等價的，沒有什麼差異，就如同質數就是素數、素數就是質數其內涵完全等價相類同，…，費米子的自鏇規律分別遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…、玻色子的自鏇規律分別遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…，因此量子力學證明將0，±1/2，±1，±3/2，±2，±5/2，±3，±7/2，±4，±9/2，±5，±11/2，±6，±13/2， {[Z*(±1/2)],Z=0,1.2,3,4,5,6,7,8,9，10，……}或0，±0.5 ，±1 ，±1.5，± 2，±2.5，±3，±3.5，±4，±4.5，±5，±5.5，±6，±6.5，[(±0.5*Z),Z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,……]統稱為廣義整數是切合實際的。
19、廣義·數學真理：偶數能被2整除，奇數不能被2整除、奇數（包括素數）卻能被2·相對·整除、奇數與偶數相反相成、對立統一，蘊涵著哲學的對立統一規律，為什麼·1+1=2、潛無限·理性認識、實無限·理性認識、廣義·整數、辯證·數值·邏輯、數理邏輯等等內涵的數學真理統稱為廣義·數學真理，廣義·整數是數學真理最新發現之一。
20、潛無限：…。21、實無限：…。
22、有理數：將廣義·整數與分數統稱為有理數，廣義·整數包含著整數（分數·整）、相對整·分數，分數包含著分數·相對整、普通分數；也可以將廣義·整數與小數統稱為有理數，廣義·整數包含著整數與小數·相對整，小數·包含著·小數·相對整、無限循環小數、有限·循環小數、有限·不循環小數（潛無限·不循環小數）、普通小數。
23、有理數系：事實證明，完全有必要把有理數（域）提升到有理數系統高度去把握，將有理數數值邏輯公理系統和深刻內涵統稱為初等數學有理數系統、簡稱為有理數系（統），有理數系是無限開放著的數值·邏輯·公理體系、永遠不會終極、永遠不會枯竭的數值·邏輯·公理體系，縱橫向上只有起點而無終點，正如人文無限和哲學無限的內涵——無窮無盡，一脈相承；有理數系並無什麼缺憾，因為有理數系蘊涵著潛無限·不循環小數，儘管潛無限·不循環小數還不是真正的無理數，它卻是無理數的化身、擁有無理數的要素和成分，潛無限·不循環小數具有無理數的套用價值，實際上是有理數與潛無限·不循環小數為初等數學與套用數學奠定著堅實的基礎，數學也要實事求是，當然有理數（域）系不能替代實數系，…。
24、實數：把有理數和無理數統稱為實數，…。25、實數系：參見數學詞典，…….
26、 廣義·整數、廣義·數學真理客觀的科學證據：廣義·整數、廣義·數學真理究竟是正確的還是錯誤的？是數學真理還是數學謬誤？如果屬於數學真理會有什麼套用價值？它困擾、困惑著許多的人們，廣義·整數有何意義？以往的確無法正確回答如此數學問題，… ；不久前，一次偶然的機遇我看到了量子力學，泡利不相容原理等等，我發現了科學證據，數學潛無限、離散量、廣義·整數原來是量子力學的基礎，原來·廣義·整數揭示著宇宙中微觀世界的原子、中子、質子、核外電子等等粒子、費米子、玻色子的自鏇規律，整數與分數·相對整（小數·相對整）的數值·邏輯·對立統一規律揭示著，無論是巨觀世界還是微觀世界都蘊含著對立統一規律，對立統一規律是宇宙的普遍規律，費米子與玻色子的自鏇運動規律亦蘊涵著對立統一規律，譬如費米子的自鏇規律分別遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…、玻色子的自鏇規律分別遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…，因此廣義·整數、廣義·數學真理為量子力學奠定堅實基礎，量子力學的半整數又為廣義·整數、廣義·數學真理提供客觀上的科學證據與客觀支持，…，潛無限、廣義·整數、廣義·數學真理的確派上了用場，儘管我們的前人在量子力學中對形如（Z+1/2）的數稱之為半整數，的確亦尚未對半整數形成完整的理性認識，半整數從直覺上已意識到了是介於整數與普通分數的中間數或者說是介於整數與普通小數的中間數，潛意識中已帶有“整或相對整”的性質了、但又不同於整數的性質，廣義·整數、廣義·數學真理擁有多方位實際的套用價值，半整數擁有·半整·性質，半整數與分數·相對整、小數·相對整相吻合、巧合，不僅如出一轍，半整數擁有半整性質，半整性質與相對·整性一脈相承，半整數與分數·相對整、小數·相對整其內涵與外延、數值完全等價，半整數與整數相反相成對立統一，蘊含著哲學的對立統一規律，…；人們生活中的用語：半小時、半點新聞、半天、半月、半年、東半球、西半球、半個世紀等等、即半整數如此都是直覺認識，如果對半整數1/2或0.5提升理性認識，半整數1/2或0.5擁有半整性質或擁有相對整·性質，便會形成理性認識；廣義·數學真理為量子力學奠定堅實基礎，量子力學的半整數又為廣義·整數、廣義·數學真理提供客觀上的科學理論證據與支持，為什麼·1+1=2並非空談數學理論，而是擁有實實在在的套用價值，…。
27、推論：實無限、實數系辯證數值邏輯公理系統依然是連鎖形式的（辯證推理）：
實無限、實數系辯證數值邏輯公理系統的內容與形式依然是自然連鎖形式的，依然相互派生子集合，分數±1/2，±3/2，±5/2，±5/2，±7/2，±9/2，…依然從系統發展變化的過程中分化出來，充分地體現其分數·相對整·性質，或者說小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…依然會從系統發展變化的過程中產生分化出來，充分地十足地體現其小數·相對整·性質，為奇數（包括素數）±1，±3，±5，±7，±9，±11，…能被2相對·整除提供客觀的科學理論依據，蘊涵著完整的數學（算術）運算公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關係，實無限、實數系辯證數值邏輯公理系統如下（這當然是推論），{[0≤X1≥1]}1與{[0.5≤X2≥1.5]}2的基數均為實數、其他依次類推，符號↓依然是指相互派生子集合（推論僅以正的為代表）：
{[0≤X1≥1]}1↓{[2≤X5≥3]}5↓{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a,a=1,2,3,4,5,6,……,
{[0.5≤X2≥1.5]}2↓{[1.5≤X4≥2.5]}4↓{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a
1∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[0≤X1≥1]}1，2∑{[0≤X1≥1]1= ∑{[1/2≤X2≥3/2]}2，
3∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[1≤X3≥2]}3，4∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[3/2≤X4≥5/2]}4，
a∑{[0≤X1≥1]}1=∑{[(a-1)/2≤Xa≥(a+1)/2]}a,a=1,2,3,4,5,6,7,8,……；……。
三、結語：為什麼·1+1=2、廣義·整數、廣義·數學真理並非空談數學理論，而是擁有實實在在的套用價值；費米子的自鏇規律分別遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…、玻色子的自鏇規律分別遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…，因此事實證明引進廣義整數0，±1/2，±1，±3/2，±2，±5/2，±3，±7/2，±4，±9/2，±5，±11/2，±6，±13/2， {[Z*(±1/2)],Z=0,1.2,3,4,5,6,7,8,9，10，……}或0，±0.5 ，±1 ，±1.5，± 2，±2.5，±3，±3.5，±4，±4.5，±5，±5.5，±6，±6.5，[(±0.5*Z),Z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,……]是完全正確的，因為量子力學是檢驗廣義整數、廣義數學真理的標準，…。
