人物簡介
畢達哥拉斯畢達哥拉斯畢達哥拉斯是比同時代中一些開壇授課的學者進步一點；因為他容許婦女（當然是貴族婦女而不是奴隸女婢）來聽課。他認為婦女也是和男人一樣有求知的權利，因此他的學派中就有十多名女學者。這是其他學派所沒有的現象。
傳說他是一個非常優秀的教師，他認為每一個人都該懂些幾何。有一次他看到一個勤勉的窮人，他想教他學習幾何，因此對此人建議：如果這人能學懂一個定理，那么就給他一塊錢幣。這個人看在錢的份上就和他學幾何了，可是過了一個時期，這學生對幾何產生了非常大的興趣，反而要求畢達哥拉斯教快一些，並且建議：如果老師多教一個定理，他就給一個錢幣。不需要多少時間，畢達哥拉斯把他以前給那學生的錢全部收回。
畢達哥拉斯是死在義大利科多拿城裡，在一場城市暴動中，他被人暗殺掉。他的墳墓現仍在義大利的這個古山城中，這墳墓就像中國的饅頭式墳。二千多年過去了，這墳還保留下來，可見人們對這學者的重視。
思想
畢達哥拉斯的哲學思想受到俄耳甫斯的影響，具有一些神秘主義因素。從他開始，希臘哲學開始產生了數學的傳統。畢氏曾用數學研究樂律，而由此所產生的“和諧”的概念也對以後古希臘的哲學家有重大影響。畢達哥拉斯還在西方長期被認為是畢達哥拉斯定理（中國稱勾股定理）首先發現者。在宇宙論方面，畢達哥拉斯結合了米利都學派以及自己有關數的理論。他認為存在著許多但有限個世界，並堅持大地是圓形的，不過則拋棄了米利都學派的地心說。
畢達哥拉斯對數學的研究還產生了後來的理念論和共相論。即有了可理喻的東西與可感知的東西的區別，可理喻的東西是完美的、永恆的，而可感知的東西則是有缺陷的。這個思想被柏拉圖發揚光大，並從此一直支配著哲學及神學思想。
他還堅持數學論證必須從“假設”出發，開創演繹邏輯思想，對數學發展影響很大。
人物生平
公元前572年，畢達哥拉斯出生在米利都附近的薩摩斯島（今希臘東部的小島）——愛奧尼亞群島的主要島嶼城市之一，此時群島正處於極盛時期，在經濟、文化等各方面都遠遠領先於希臘本土的各個城邦。畢達哥拉斯的父親是一個富商，九歲時被父親送到提爾，在閃族敘利亞學者那裡學習，在這裡他接觸了東方的宗教和文化。以後他又多次隨父親作商務旅行到小亞細亞。公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都、得洛斯等地，拜訪了數學家、天文學家、泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，並成為了他們的學生。在此之前，他已經在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那裡學習了詩歌和音樂。
公元前550年，30歲的畢達哥拉斯因宣傳理性神學，穿東方人服裝，蓄上頭髮從而引起當地人的反感，從此薩摩斯人一直對畢達哥拉斯有成見，認為他標新立異，鼓吹邪說。畢達哥拉斯被迫於公元前535年離家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，學習當地神話和宗教，並在提爾一神廟中靜修。
抵達埃及後，國王阿馬西斯推薦他入神廟學習。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達哥拉斯學習了象形文字和埃及神話歷史和宗教，並宣傳希臘哲學，受到許多希臘人尊敬，有不少人投到他的門下求學。
畢達哥拉斯在49歲時返回家鄉薩摩斯，開始講學並開辦學校，但是沒有達到他預期的成效。公元前520年左右，為了擺脫當時君主的暴政，他與母親和唯一的一個門徒離開薩摩斯，移居西西里島，後來定居在克羅托內。在那裡他廣收門徒，建立了一個宗教、政治、學術合一的團體。
他的演講吸引了各階層的人士，很多上層社會的人士來參加演講會。按當時的風俗，婦女是被禁止出席公開的會議的，畢達哥拉斯打破了這個成規，允許她們也來聽講。熱心的聽眾中就有他後來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經失傳了。
畢達哥拉斯在義大利南部的希臘屬地克勞東成立了一個秘密結社，這個社團里有男有女，地位一律平等，一切財產都歸公有。社團的組織紀律很嚴密，甚至帶有濃厚的宗教色彩。每個學員都要在學術上達到一定的水平，加入組織還要經歷一系列神秘的儀式，以求達到“心靈的淨化”。
他們要接受長期的訓練和考核，遵守很多的規範和戒律，並且宣誓永不泄露學派的秘密和學說。他們相信依靠數學可使靈魂升華，與上帝融為一體，萬物都包含數，甚至萬物都是數，上帝通過數來統治宇宙。這是畢達哥拉斯學派和其他教派的主要區別。
學派的成員有著共同的哲學信仰和政治理想，他們吃著簡單的食物，進行著嚴格的訓練。學派的教義鼓勵人們自製、節慾、純潔、服從。他們開始在大希臘（今義大利南部一帶）贏得了很高的聲譽，產生過相當大的影響，也因此引起了敵對派的嫉恨。
後來他們受到民主運動的衝擊，社團在克羅托內的活動場所遭到了嚴重的破壞。畢達哥拉斯被迫移居他林敦（今義大利南部塔蘭托），並於公元前500年去世，享年80歲。許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據點，另一些人到了塔蘭托，繼續進行數學哲學研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續繁榮了兩個世紀之久。
個人軼事
成立盟會
傳說
他的最初前世被認為是赫爾墨斯的兒子，叫Aethalides。赫爾墨斯允許他可以選擇除不朽之外任何他所喜歡的能力，於是此人要求無論在生前或死後都保持對自己經歷的記憶。這就是畢達哥拉斯的第一代，一個半神半人的人物。這個人在古希臘的傳說中有點名氣，錫羅斯的弗瑞西德斯（Pherecydes）在《五籟集》（Fivechasm）中提到過他。他的第二世身處英雄時代，叫Euphorbus。此人參與了特洛伊戰爭，被阿伽門農的兄弟Menelaus所傷，Menelaus就是海倫的丈夫。此後，他的靈魂還有上天入地的飄遊經歷，進入過好多植物和動物，還去過哈得斯（Hades），也就是冥界。
第三世是個普通人，叫Hermotimus。他對自己的記憶已經不怎么肯定了，於是去了阿波羅神廟，在那裡他認出了Menelaus從特洛伊返航路上獻祭給阿波羅的盾牌。這塊盾牌除了正面的象牙以外，其他部分差不多都朽爛了。到了他的這一代，記憶已經多少有點問題，最終他藉助於過去時代的器物恢復了自己記憶的完整。
第四代是一個漁夫，叫Pyrrhus。他的地位又低下了一些，只能靠自己的勞動力謀生。此人死後出生了哲學家畢達哥拉斯，畢達哥拉斯可以認為是第五代。
學術貢獻
數的藝術
畢達哥拉斯學派認為“1”是數的第一原則，萬物之母，也是智慧；“2”是對立和否定的原則，是意見；“3”是萬物的形體和形式；“4”是正義，是宇宙創造者的象徵；“5”是奇數和偶數，雄性與雌性和結合，也是婚姻；“6”是神的生命，是靈魂；“7”是機會；“8”是和諧，也是愛情和友誼；“9”是理性和強大；“10”包容了一切數目，是完滿和美好。畢達哥拉斯的黃金分割：（a:b=<a+b>:a）
畢達哥拉斯學派認為由太陽、月亮、星辰的軌道和地球的距離之比，分別等於三種主要的和音，即八音度、五音度、四音度。
畢達哥拉斯學派認為從數量上看，夏天是熱占優勢，冬天是冷占優勢，春天是乾占優勢，秋天是濕占優勢，最美好的季節則是冷、熱、乾、濕等元素在數量上和諧的均衡分布。
畢達哥拉斯學派從數學的角度，即數量上的矛盾關係列舉出有限與無限、一與多、奇數與偶數、正方與長方、善與惡、明與暗、直與曲、左與右、陽與陰、動與靜等十對對立的範疇，其中有限與無限、一與多的對立是最基本的對立，並稱世界上一切事物均還原為這十對對立。
萬物皆數
0他同時任意地把非物質的、抽象的數誇大為宇宙的本原，認為“萬物皆數”，“數是萬物的本質”，是“存在由之構成的原則”，而整個宇宙是數及其關係的和諧的體系。畢達哥拉斯將數神秘化，說數是眾神之母，是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則。
畢達哥拉斯定理——
勾股定理
畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱於世。這定理早已為巴比倫人所知（在中國古代大約是公元前2到1世紀成書的數學著作《周髀算經》中假託商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是中國著名的勾股定理。），不過最早的證明大概可歸功於畢達哥拉斯。他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理（勾股定理）。
數論
畢達哥拉斯對數論作了許多研究，將自然數區分為奇數、偶數、素數、完全數、平方數、三角數和五角數等。在畢達哥拉斯派看來，數為宇宙提供了一個概念模型，數量和形狀決定一切自然物體的形式，數不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數，才有幾何學上的點，有了點才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構成萬物，所以數在物之先。自然界的一切現象和規律都是由數決定的，都必須服從“數的和諧”，即服從數的關係。畢達哥拉斯還通過說明數和物理現象間的聯繫，來進一步證明自己的理論。他曾證明用三條弦發出某一個樂音，以及它的第五度音和第八度音時，這三條弦的長度之比為6:4:3。他從球形是最完美幾何體的觀點出發，認為大地是球形的，提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運動的思想。他還認為十是最完美的數，所以天上運動的發光體必然有十個。
理論
他還有一套這樣的理論：地球沿著一個球面圍繞著空間一個固定點處的“中央火”轉動，另一側有一個“對地星”與之平衡。這個“中央火”是宇宙的祭壇，是人永遠也看不見的。這十個天體到中央火之間的距離，同音節之間的音程具有同樣的比例關係，以保證星球的和諧，從而奏出天體的音樂。整數
畢達哥拉斯和他的學派在數學上有很多創造，尤其對整數的變化規律感興趣。例如，把（除其本身以外）全部因數之和等於本身的數稱為完全數（如6，28，496等），而將本身小於其因數之和的數稱為盈數；將大於其因數之和的數稱為虧數。幾何學
在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了“三角形內角之和等於兩個直角”的論斷；研究了黃金分割；發現了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。當然，還有一個重要貢獻——勾股定理。其他貢獻
在公元前5世紀，水星實際上被認為是兩個不同的行星，這是因為它時常交替地出現在太陽的兩側。當它出現在傍晚時，被叫做墨丘利；但是當它出現在早晨時，被稱為阿波羅。據稱，畢達格拉斯後來指出它們實際上是相同的一顆行星。在音樂方面，畢達哥拉斯把音程的和諧與宇宙星際的和諧秩序相對應，把音樂納入他的以數為中心、對世界進行抽象解釋的理論之中。他對弦長比例與音樂和諧關係的的探討已經帶有科學的萌芽。對五度相生律有重大貢獻。
哲學思想
倫理
他對議事廳的權貴們說，“一定要公正。不公正，就破壞了秩序，破壞了和諧，這是最大的惡。起誓是很嚴重的行為，不到關鍵時刻不要隨便起誓，可是每個官員應能立下保證，保證自己不說謊話。”
在談到治家時，他認為對兒女的愛是不能指望有回報的，但做父親的應當努力用自己的言行去獲得子女由衷的敬愛。父母的愛是神聖的，作子女的應當珍惜。子女應是父母的朋友，兄弟姐妹之間也應該彼此互敬互愛。當提到夫妻關係時，他說彼此尊重是最重要的，雙方都應忠實於配偶。
他談到過自律的問題。他說，自律是對人個性的一種考驗，對兒童、少年、老人、婦女來說，能自律是一種美德，但對年輕人來說，則是必要。自律使你身體健康，心靈潔淨，意志堅強。畢達哥拉斯從如何培養自律講到教育的重要性，他認為人的自律只能在理性和知識的指導下才能培養起來，而知識只能通過教育才能獲得，所以教育的重要性是不容忽視的。
教育
他形象的描述了教育的特性：“你能通過學習從別人那裡獲得知識，但教授你的人卻不會因此失去了知識。這就是教育的特性。世界上有許多美好的東西。好的稟賦可以從遺傳中獲得，如健康的身體，嬌好的容顏，勇武的個性；有的東西很寶貴，但一經授予他人就不再歸你所有，如財富，如權力。而比這一切都寶貴的是知識，只要你努力學習，你就能得到而又不會損害他人，並可能改變你的天性。”誠然，作為一種唯心主義的世界觀，畢達哥拉斯和他的學派的科學探索無法找到正確的方向，甚至在某種程度上給後來的自然哲學以及科學的發展帶來了很大的消極影響。但是，這些失誤，並不能掩蓋畢達哥拉斯在自然科學形成和發展過程中起到的積極作用。列寧告訴我們，畢達哥拉斯是“科學思維的萌芽同宗教神話之類幻想間的一種聯繫”。
人物學派
簡述
畢達哥拉斯學派亦稱“南義大利學派”，是一個集政治、學術、宗教三位於一體的組織。古希臘哲學家畢達哥拉斯所創立。產生於公元前6世紀末，公元前5世紀被迫解散，其成員大多是數學家、天文學家、音樂家。它是西方美學史上最早探討美的本質的學派。畢達哥拉斯曾旅居埃及，後來又到各地漫遊，很可能還曾去過印度。在他的遊歷生活中，他受到當地文化的影響，了解到許多神秘的宗教儀式，還熟悉了它們與數的知識及幾何規則之間的聯繫。旅行結束後，他才返回家鄉撒摩斯島。由於政治的原因。他後來遷往位於南義大利的希臘港口克羅內居住。在這裡創辦了一個研究哲學、數學和自然科學的團體，後來便發展成為一個有秘密儀式和嚴格戒律的宗教性學派組織。
畢氏學派認為，對幾何形式和數字關係的沉思能達到精神上的解脫，而音樂卻被看作是淨化靈魂從而達到解脫的手段。
畢達哥拉斯學派的當代研究主題主要集中在人的美學和社會歸正，在這方面，當代人學家張榮寰將政治、學術、宗教回歸到人的上升即人格極其生態的上升這一人類命運第一命題中，將一個科學的人類學、一個哲學的人類學、一個神學的人類學來求出人存在的某一層面“個性和共性”關係的成果，即更高質量人格的人，在生物性層次、在歷史性層次、在社會性層次、在自我性層次予以貫通。
觀點
1.人類幸福只能是人格社會的產物；是新人格，是新生態和諧共進的結果；2.幸福不是宗派神學的禁慾體驗，也不是禮教理學的享樂感受，更不是金錢地位的無限欲望，而是信念和嚮往實現的人格滿足；
3.重視人的價值，要求提高人的思維能力及創造性潛力，鼓勵積極作為的人生態度，提倡積極開拓的精神；
4.人人能夠信仰真理；
5.以真誠的民主來反映現代社會人高智慧的社會存在；
6.提高人在群體公共事物中的智慧能力，在個人、家庭、團體、組織、國家、乃至聯合國的制度中，讓人與人相互之間的關係和諧發展。
7.宗教改革、文藝復興和法制復興的終極目標是人的歸正。
規矩
1．禁食豆子。2．東西落下了，不要用手揀起來。
3．不要去碰白公雞。
4．不要擘開麵包。
5．不要邁過門閂。
6．不要用鐵撥火。
7．不要吃整個的麵包。
8．不要招花環。
9．不要坐在斗上。
10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。
12．房裡不許有燕子。
13．鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。
14．不要在光亮的旁邊照鏡子。
15．當你脫下睡衣的時候，要把它捲起，把身上的印跡摩平。
所有這些誡命都屬於原始的禁忌觀念。
無理數
傳說畢達哥拉斯的學生希帕索斯(Hippasus)發現了無理數。他在研究邊長為一的正方形時發現其對角線不能用整數之比表達。這個發現打破了畢達哥拉斯及其信徒的信條。據傳希帕索斯(Hippasus)因為公開了這件事而被學派投入大海喪生。但不論如何，無理數的發現為數學發展做出了重要貢獻。人物評價
康福德（《從宗教到哲學》）說，在他看來，“畢達哥拉斯代表著我們所認為與科學傾向相對立的那種神秘傳統的主潮。”他認為巴門尼德——他稱之為“邏輯的發現者”——“是畢達哥拉斯的一個支派，而柏拉圖本人則從義大利哲學獲得了他的靈感的主要來源”。他說畢達哥拉斯主義是奧爾弗斯教內部的一種改良運動，而奧爾弗斯教又是狄奧尼索斯崇拜中的改良運動。理性的東西與神秘的東西之互相對立貫穿著全部的歷史，它在希臘人中間最初表現為奧林匹克的神與其他較為不開化的神之間的對立，後者更接近於人類學者們所研究的原始信仰。在這個分野上，畢達哥拉斯是站在神秘主義方面的，雖然他的神秘主義具有一種特殊的理智性質。他認為他自己具有一種半神明的性質，而且似乎還曾說過，“既有人，又有神，也還有象畢達哥拉斯這樣的生物。”康福德說，受他所鼓舞的各種體系“都是傾向於出世的，把一切價值都置於上帝的不可見的統一性之中，並且把可見的世界斥為虛幻的，說它是一種混濁的介質，其中上天的光線在霧色和黑暗之中遭到了破壞，受到了蒙蔽”。
伯奈特把這種道德觀總結如下：“我們在這個世界上都是異鄉人，身體就是靈魂的墳墓，然而我們決不可以自殺以求逃避；因為我們是上帝的所有物，上帝是我們的牧人，沒有他的命令我們就沒權利逃避。在現世生活里有三種人，正象到奧林匹克運動會上來的也有三種人一樣。那些來作買賣的人都屬於最低的一等，比他們高一等的是那些來競賽的人。然而，最高的一種乃是那些只是來觀看的人們。因此，一切中最偉大的淨化便是無所為而為的科學，唯有獻身於這種事業的人，亦即真正的哲學家，才真能使自己擺脫‘生之巨輪'。”
文字涵義的變化往往是非常有啟發意義的。我在上文已經提到“狂歡”（orgy）那個字；現在我就要談談“理論”（theory）這個字。這個字原來是奧爾弗斯教派的一個字，康福德解釋為“熱情的動人的沉思”。他說，在這種狀態之中“觀察者與受苦難的上帝合而為一，在他的死亡中死去，又在他的新生中復活”；對於畢達哥拉斯，這種“熱情的動人的沉思”乃是理智上的，而結果是得出數學的知識。
這樣，通過了畢達哥拉斯主義，“理論”就逐漸地獲得了它的近代意義；然而對一切為畢達哥拉斯所鼓舞的人們來說，它一直保存著一種狂醉式的啟示的成份。這一點，對於那些在學校里無可奈何地學過一些數學的人們來說，好像是很奇怪的；然而對於那些時時經驗著由於數學上的豁然貫通而感到沉醉歡欣的人們來說，對於那些喜愛數學的人們來說，畢達哥拉斯的觀點則似乎是十分自然的，縱令它是不真實的。仿佛經驗的哲學家只是材料的奴隸，而純粹的數學家，正象音樂家一樣，才是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。
最有趣的是，我們從伯奈特敘述的畢達哥拉斯的倫理學裡，可以看出與近代價值相反的觀念。譬如在一場足球賽里，有近代頭腦的人總認為足球員要比觀眾偉大得多。至於國家，情形也類似：他們對於政治家（政治家是比賽中的競爭者）的崇拜有甚於對於那些僅僅是旁觀者的人們。這一價值的變化與社會制度的改變有關——戰士、君子、財閥、獨裁者，各有其自己的善與真的標準。君子在哲學理論方面曾經有過長期的當權時代，因為他是和希臘天才結合在一片的，因為沉思的德行獲得了神學的保證，也因為無所為而為的真理這一理想莊嚴化了學院的生活。君子可以定義為平等人的社會中的一分子，他們靠奴隸勞動而過活，或者至少也是依靠那些毫無疑問地位卑賤的勞動人民而過活。應該注意到在這個定義里也包括著聖人與賢人，因為就這些聖賢的生活而論，他們也是耽於沉思的而不是積極活動的。
近代關於真理的定義，例如實用主義的和工具主義的關於真理的定義，就是實用的而不是沉思的，它是由於與貴族政權相反對的工業文明所激起的。
無論人們對於容許奴隸制存在的社會制度懷著怎樣的想法，但正是從上面那種意義的君子那裡，我們才有了純粹的數學。沉思的理想既能引人創造出純粹的數學，所以就是一種有益的活動的根源；這一點就增加了它的威望，並使它在神學方面、倫理學方面和哲學方面獲得了一種在其他情況下所不能享有的成功。
關於畢達哥拉斯之作為一個宗教的先知與作為一個純粹的數學家這兩方面，我們已經解釋得很多了。在這兩方面，他都有著無可估計的影響，而且這兩方面在當時也不象近代人所想像的那樣是分離開來的。
大多數的科學從它們的一開始就是和某些錯誤的信仰形式聯繫在一片的，這就使它們具有一種虛幻的價值。天文學和占星學聯繫在一片，化學和煉丹術聯繫在一片。數學則結合了一種更精緻的錯誤類型。數學的知識看來是可靠的、準確的，而且可以套用於真實的世界。此外，它還是由於純粹的思維而獲得的，並不需要觀察。因此之故，人們就以為它提供了日常經驗的知識所無能為力的理想。人們根據數學便構想思想是高於感官的，直覺是高於觀察的。如果感官世界與數學不符，那么感官世界就更糟糕了。人們便以各種不同的方式尋求更能接近於數學家的理想的方法，而結果所得的種種啟示就成了形上學與知識論中許多錯誤的根源。這種哲學形式也是從畢達哥拉斯開始的。
正如大家所知道的，畢達哥拉斯說“萬物都是數”。這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻並不是完全沒有意義的。
他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞里的“調和中項”與“調和級數”就仍然保存著畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯繫。他把數想像為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。
他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該說是些數目的小球球）。他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。
畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關於直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等於另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。但是顯然希臘人是最早觀察到32+42=52的，並且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。
然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(無理數)的發現，這似乎否定了他的全部哲學。在一個等邊直角三角形里，弦的平方等於每一邊平方的二倍。讓我們假設每邊長一時，那么弦應該有多么長呢？讓我們假設它的長度是m/n時。那么m2/n2=2。
如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，於是m和n必有一個是奇數。現在m2=2n2，所以若n是偶數，則m也是偶數；因此n就是奇數。假設m=2p。那么4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶數，與假設相反。所以就沒有m/n的分數可以約盡弦。以上的證明，實質上就是歐幾里德第十編中的證明①。
這種論證就證明了無論我們採取什麼樣的長度單位，總會有些長度對於那個單位不能具有確切的數目關係；也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等於n倍的單位。這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。
柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成於歐幾里德。歐幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如(a+b)²=a²+b²+2ab。正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。整個體系在邏輯上是醒目的，並且已經預示著十九世紀數學家們的嚴謹了。只要關於不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾里德的方法便是幾何學中最好的可能方法。當笛卡兒介紹了坐標幾何學（解析幾何）從而再度確定了算學至高無上的地位時，他曾構想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。
幾何學對於哲學與科學方法的影響一直是深遠的。希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。公理和定理被認為對於實際空間是真確的，而實際空間又是經驗中所有的東西。這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。“獨立宣言”
“我們認為這些真理是自明的”，其本身便脫胎於歐幾里德。十八世紀天賦人權的學說，就是一種在政治方面追求歐幾里德式的公理②。牛頓的《原理》一書，儘管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾里德所支配著的。嚴格的經院形式的神學，其體裁也出於同一個來源。個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。
我相信，數學是我們信仰永恆的與嚴格的真理的主要根源，也是信仰有一個超感的可知的世界的主要根源。幾何學討論嚴格的圓，但是沒有一個可感覺的對象是嚴格地圓形的；無論我們多么小心謹慎地使用我們的圓規，總會有某些不完備和不規則的。這就提示了一種觀點，即一切嚴格的推理只能套用於與可感覺的對象相對立的理想對象；很自然地可以再進一步論證說，思想要比感官更高貴而思想的對象要比感官知覺的對象更真實。神秘主義關於時間與永恆的關係的學說，也是被純粹數學所鞏固起來的；因為數學的對象，例如數，如其是真實的話，必然是永恆的而不在時間之內。這種永恆的對象就可以被想像成為上帝的思想。因此，柏拉圖的學說是：上帝是一位幾何學家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算學。與啟示的宗教相對立的理性主義的宗教，自從畢達哥拉斯之後，尤其是從柏拉圖之後，一直是完全被數學和數學方法所支配著的。
數學與神學的結合開始於畢達哥拉斯，它代表了希臘的、中世紀的以及直迄康德為止的近代的宗教哲學的特徵。畢達哥拉斯以前的奧爾弗斯教義類似於亞洲的神秘教。但是在柏拉圖、聖奧古斯丁、托馬斯·阿奎那、笛卡爾、斯賓諾莎和康德的身上都有著一種宗教與推理的密切交織，一種道德的追求與對於不具時間性的事物之邏輯的崇拜的密切交織；這是從畢達哥拉斯而來的，並使得歐洲的理智化了的神學與亞洲的更為直截了當的神秘主義區別開來。只是到了最近的時期，人們才可能明確地說出畢達哥拉斯錯在哪裡。我不知道還有什麼別人對於思想界有過象他那么大的影響。我之所以這樣說，是因為所謂柏拉圖主義的東西倘若加以分析，就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。有一個只能顯示於理智而不能顯示於感官的永恆世界，全部的這一觀念都是從畢達哥拉斯那裡得來的。如果不是他，基督徒便不會認為基督就是道；如果不是他，神學家就不會追求上帝存在與靈魂不朽的邏輯證.明.。但是在他的身上，這一切還都不顯著。
相關圖書
0簡介
作者：英伯特蘭·羅素著來源：《西方哲學史》
畢達哥拉斯對古代和近代的影響是我這一章的主題；無論就他的聰明而論或是就他的不聰明而論，畢達哥拉斯都是自有生民以來在思想方面最重要的人物之一。數學，在證明式的演繹推論的意義上的數學，是從他開始的；而且數學在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結合在一起的。自從他那時以來，而且一部分是由於他的緣故，數學對於哲學的影響一直都是既深刻而又不幸的。
摘錄
讓我們先從關於他生平已知的一些很少的事實談起。他是薩摩島的人，大約鼎盛於公元前523年。有人說他是一個殷實的公民叫做姆奈薩爾克的兒子，另有人說他是阿波羅神的兒子；我請讀者們在這兩說中自行選擇一種。在他的時代，薩摩被僭主波呂克拉底所統治著，這是一個發了大財的老流氓，有著一支龐大的海軍。
薩摩是米利都的商業競爭者；它的商人足跡遠達以礦產著名的西班牙塔爾特蘇斯地方。波呂克拉底大約於公元前535年成為薩摩的僭主，一直統治到公元前515年為止。他是不大顧慮道德的責難的；他趕掉了他的兩個兄弟，他們原是和他一起搞僭主政治的，他的海軍大多用於進行海上掠奪。不久之前米利都臣服于波斯的這件事情對他非常有利。為了阻止波斯人繼續向西擴張，他便和埃及國王阿馬西斯聯盟。但是當波斯王堪比西斯集中全力征服埃及時，波呂克拉底認識到他會要勝利，於是就改變了立場。他派遣一支由他的政敵所組成的艦隊去進攻埃及；但是水兵們叛變了，回到薩摩島向他進攻。雖然他戰勝了他們，但是最後還是中了一樁利用他的貪財心的陰謀而垮台了。在薩爾底斯的波斯總督假裝著要背叛波斯大王，並願拿出一大筆錢來酬答波呂克拉底對他的援助；波呂克拉底到大陸上去會晤波斯總督時，便被捕獲並被釘死在十字架上。
波呂克拉底是一位藝術的保護主，並曾以許多了不起的建築美化了薩摩。安那克里昂就是他的宮廷詩人。然而畢達哥拉斯卻不喜歡他的政府，所以便離開了薩摩島。據說——而且不是不可能的——畢達哥拉斯到過埃及，他的大部分智慧都是在那裡學得的；無論情形如何，可以確定的是他最後定居於義大利南部的克羅頓。義大利南部的各希臘城市也象薩摩島和米利都一樣，都是富庶繁榮的；此外，它們又遭受不到波斯人的威脅。最大的兩個城市是西巴瑞斯和克羅頓。西巴瑞斯的奢華至今還膾炙人口；據狄奧多羅斯說，它的人口當全盛時期曾達三十萬人之多，雖然無疑地這是一種誇大。克羅頓與西巴瑞斯的大小大致相等。兩個城市都靠輸入伊奧尼亞的貨物至義大利為生，一部分貨物是做為義大利的消費品，一部分則從西部海岸轉口至高盧和西班牙。
義大利的許多希臘城市彼此激烈地進行征戰；當畢達哥拉斯到達克羅頓的時候，克羅頓剛剛被勞克瑞所戰敗。然而在畢達哥拉斯到達之後不久，克羅頓對西巴瑞斯的戰爭便取得了完全的勝利，西巴瑞斯徹底地被毀滅了（公元前510年）。西巴瑞斯與米利都在商業上一直有密切的聯繫。克羅頓以醫學著名；克羅頓有一個人德謨西底斯曾經做過波呂克拉底的御醫，後來又作過大流士的御醫。
畢達哥拉斯和他的弟子在克羅頓建立了一個團體，這個團體有一個時期在該城中是很有影響的。但是最後，公民們反對他，於是他就搬到梅達彭提翁（也在義大利南部），並死於此處。不久他就成為一個神話式的人物，被賦與了種種奇蹟和神力，但是他也是一個數學家學派的創立者。這樣，就有兩種相反的傳說爭論著他的事跡，而真相便很難弄清楚。
