基礎概念
主條目：集合 (數學)和集合代數
集合論是從一個物件o和集合A之間的二元關係開始：若o是A的元素，可表示為o ∈ A。由於集合也是一個物件，因此上述關係也可以用在集合和集合的關係。
另外一種二個集合之間的關係，稱為包含關係。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，則稱集合A為B的子集，符號為A ⊆ B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定義，任一個集合也是本身的子集，不考慮本身的子集稱為真子集。集合A為集合B的真子集若且唯若集合A為集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。
數的算術中有許多一元及二元運算，集合論也有許多針對集合的一元及二元運算：
集合A和B的並集，符號為A ∪ B，是在至少在集合A或B中出現的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的聯集為集合{1, 2, 3, 4} 。
集合A和B的交集，符號為A ∩ B，是同時在集合A及B中出現的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的交集為集合{2, 3} 。
集合U和A的相對差集，符號為U \ A，是在集合U中,但不在集合A中的所有元素，相對差集{1,2,3} \ {2,3,4} 為{1} ，而相對差集{2,3,4} \ {1,2,3} 為{4} 。當集合A是集合U的子集時，相對差集U \ A也稱為集合A在集合U中的補集。若是研究文氏圖，集合U為全集時，且可以藉由上下文找到全集定義時，會使用A來代替U \ A。
集合A和B的對稱差，符號為A △ B或A⊕B，是指只在集合A及B中的其中一個出現，沒有在其交集中出現的元素。例如集合{1,2,3} 和{2,3,4} 的對稱差為{1,4} ，也是其並集和交集的相對差集(A ∪ B) \ (A ∩ B)，或是二個相對差集的聯集(A \ B) ∪ (B \ A)。
集合A和B的笛卡兒積，符號為A × B，是一個由所有可能的有序對(a,b)形成的集合，其中第一個物件是A的成員，第二個物件是B的成員。{1, 2}和{red, white}的笛卡兒積為{(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}。
集合A的冪集是指是以A的全部子集為元素的集合，例如集合{1, 2} 的冪集為{ {}, {1}, {2}, {1,2} } 。
一些重要的基本集合包括空集（唯一沒有元素的集合），整數集合及實數集合。
簡介
集合論或集論是研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含集合、元素和成員關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的“集合”與“集合成員”等術語來形式化地建構數學物件。
在樸素集合論中，集合是被當做一堆物件構成的整體之類的自證概念。
在公理化集合論中，集合和集合成員並不直接被定義，而是先規範可以描述其性質的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成員是有如在歐式幾何中的點和線，而不被直接定義。
異議
一開始，有些數學家拒絕將集合論當做數學的基礎，認為這只是一場含有奇幻元素的遊戲。埃里特·比修普駁斥集合論是“上帝的數學，應該留給上帝”。而且，路德維希·維根斯坦特別對無限的操作有疑問，這也和策梅羅-弗蘭克爾集合論有關。維根斯坦對於數學基礎的觀點曾被保羅·貝奈斯所批評，且被克里斯平·賴特等人密切研究過。
對集合論最常見的反對意見來自結構主義者，他們認為數學是和計算些微相關著的，但樸素集合論卻加入了非計算性的元素。
拓樸斯理論曾被認為是傳統公理化集合論的另一種選擇。拓樸斯理論可以被用來解譯各種集合集的替代方案，如結構主義、模糊集合論、有限集合論和可計算集合論等。
《古今數學思想》書中 (第四冊58頁) 指出：集合論里的中心難點是無窮集合這個概念本身，從希臘時代以來，這樣的集合很自然地引起數學界與哲學界的注意，而這種集合的本質以及看來是矛盾的性質，使得對這種集合的理解，沒有任何進展，Zenode的悖論可能是難點的第一個跡象，既不是直線的無限可分性，也不是直線作為一個由離散的點構成的無窮集合，足以對運動作出合理的結論。Aristotle（亞里士多德）考慮過無窮集合，例如整數集合，但他不承認一個無窮集合可以作為固定的整體而存在，對他來說，集合只能是潛在地無窮。
歷史作用
作用
按現代數學觀點，數學各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結構的集合如群、環、拓撲空間，或者是可以通過集合來定義的（如自然數、實數、函式）。從這個意義上說，集合論可以說是整個現代數學的基礎。
歷史
集合論作為數學中最富創造性的偉大成果之一，是在19世紀末由德國的康托爾（1845－1918）創立起來的。但是，它萌發、孕育的歷史卻源遠流長，至少可以追溯到兩千多年前。
早期研究
概念簡要
集合論是關於無窮集合和超窮數的數學理論。集合作為數學中最原始的概念之一，通常是指按照某種特徵或規律結合起來的事物的總體。例如美國國會圖書館的全部藏書，自然數的全體以及直線上所有點的總體等等。集合論的全部歷史都是圍繞無窮集合而展開的。
創立之前
早在集合論創立之前兩千多年，數學家和哲學家們就已經接觸到了大量有關無窮的問題，古希臘的學者最先注意並考察了它們。公元前5世紀，埃利亞學派的芝諾（約公元前490－前430），一共提出45個悖論，其中關於運動的四個悖論：二分法悖論、阿基里斯追龜悖論、飛矢不動悖論與運動場悖論尤為著名，前三個悖論都與無窮直接有關。芝諾在悖論中雖然沒有明確使用無窮集合的概念，但問題的實質卻與無窮集合有關。
在數理哲學中，有兩種無窮方式歷來為數學家和哲學家所關注，一種是無窮過程，稱為潛在無窮，一種是無窮整體，稱為實在無窮。希臘哲學家亞里士多德（前384－前322）最先提出要把潛在的無窮和實在的無窮加以區別，這種思想在當今仍有重要意義。他認為只存在潛在無窮，如地球的年齡是潛在無窮，但任意時刻都不是實在無窮。他承認正整數是潛在無窮的，因為任何正整數加上1總能得到一個新數。對他來說，無窮集合是不存在的。
哲學權威亞里士多德把無窮限於潛在無窮之內，如同下了一道禁令，誰敢冒天下之大不韙，以至於影響對無窮集合的研究達兩千多年之久。
創立過程
公元5世紀，拜占庭的普羅克拉斯（410－485）是歐幾里德《幾何原本》的著名評述者。他在研究直徑分圓問題時，注意到圓的一根直徑分圓成兩個半圓，由於直徑有無窮多，所以必須有兩倍無窮多的半圓。為了解釋這個在許多人看來是一個矛盾的問題，他指出：任何人只能說有很大很大數目的直徑或者半圓，而不能說一個實實在在無窮多的直徑或者半圓，也就是說，無窮只能是一種觀念，而不是一個數，不能參與運算。其實，他這裡是接受了亞里士多德的潛無窮的概念，而否認實無窮的概念，對這種對應關係採用了迴避的態度。
到了中世紀，隨著無窮集合的不斷出現，部分能夠同整體構成一一對應這個事實也就越來越明顯地暴露出來。例如，數學家們注意到把兩個同心圓上的點用公共半徑聯結起來，就構成兩個圓上的點之間的一一對應關係。近代科學的開拓者伽利略（1564－1642）注意到：兩個不等長的線段上的點可以構成一一對應。他又注意到：正整數與它們的平方可以構成一一對應，這說明無窮大有不同的“數量級”，不過伽利略認為這是不可能的。他說，所有無窮大量都一樣，不能比較大小。
到了十七世紀，數學家把無窮小量引進數學，構成所謂“無窮小演算”，這就是微積分的最早名稱。所謂積分法無非是無窮多個無窮小量加在一起，而微分法則是兩個無窮小量相除。由於無窮小量運算的引進，無窮大模大樣地進入數學，雖然它給數學帶來前所未有的繁榮和進步，它的基礎及其合法性仍然受到許多數學家的質疑，他們對無窮仍然心存疑慮，這方面以“數學家之王”高斯（1777—1855）的意見為代表。高斯是一個潛在無窮論者，他在1831年7月12日給他的朋友舒馬赫爾的信中說“我必須最最強烈地反對你把無窮作為一完成的東西來使用，因為這在數學中是從來不允許的。無窮只不過是一種談話方式，它是指一種極限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些則容許沒有限制地增加。”這裡極限概念只不過是一種潛在的無窮過程。這裡高斯反對那些哪怕是偶爾用一些無窮的概念，甚至是無窮的記號的人，特別是當他們把它當成是普通數一樣來考慮時。
法國大數學家柯西（1789－1857）也同他的前人一樣，不承認無窮集合的存在。他認為部分同整體構成一一對應是自相矛盾的事。
過程艱辛
科學家們接觸到無窮，卻又無力去把握和認識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰。正如大衛·希爾伯特（1862－1943）在他的1926年《論無窮》的講演中所說的那樣：“沒有任何問題象無窮那樣深深地觸動人的情感，很少別的觀念能象無窮那樣激勵理智產生富有成果的思想，然而也沒有任何其它概念能象無窮那樣需要加以闡明”。面對“無窮”的長期挑戰，數學家們不會無動於衷，他們為解決無窮問題而進行的努力，首先是從集合論的先驅者開始的。
誕生
先驅
數學分析嚴格化的先驅波爾查諾（1781－1848）也是一位探索實無窮的先驅，他是第一個為了建立集合的明確理論而作出了積極努力的人。他明確談到實在無窮集合的存在，強調兩個集合等價的概念，也就是後來的一一對應的概念。他知道，無窮集合的一個部分或子集可以等價於其整體，他認為這個事實必須接受。例如0到5之間的實數通過公式y=12x/5可與0到12之間的實數構成一一對應，雖然後面的集合包含前面的集合。為此，他為無窮集合指定超限數，使不同的無窮集合，超限數不同。不過，後來康托爾指出，波爾查諾指定無窮集合的超限數的具體方法是錯誤的。另外，他還提出了一些集合的性質，並將他們視為悖論。因此，他關於無窮的研究哲學意義大於數學意義。應該說，他是康托爾集合論的先驅。
問題出現
黎曼（1826－1866）是在1854年的就職論文《關於用三角級數表示函式的可能性》中首次提出“唯一性問題”的。大意是：如果函式f（x）在某個區間內除間斷點外所有點上都能展開為收斂於函式值的三角級數，那么這樣的三角級數是否是唯一的？但他沒有給予回答。1870年海涅（1821－1881）證明：當f（x）連續，且它的三角級數展開式一致收斂時，展開式是唯一的。進一步的問題是：當f（x）具有無窮多個間斷點時，唯一性能否成立？康托爾就是通過對唯一性問題的研究，認識到無窮集合的重要性，並開始從事無窮集合的一般理論研究。
奠定基礎
早在1870年和1871年，康托爾兩次在《數學雜誌》上發表論文，證明了函式f（x）的三角級數表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立。1872年他在《數學年鑑》上發表了一篇題為《三角級數中一個定理的推廣》的論文，把海涅的一致收斂的嚴酷條件推廣到允許間斷點是某種無窮的集合的情形。為了描述這種集合，他首先定義了點集的極限點，然後引進了點集的導集和導集的導集等有關重要概念。這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端，並為點集論奠定了理論基礎。
集合論誕生
1873年11月29日康托爾在給戴德金（1831－1916）的一封信中，終於把導致集合論產生的問題明確地提了出來：正整數的集合（n）與實數的集合（x）之間能否把它們一一對應起來。同年12月7日，康托爾寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的，也就是不能同正整數的“集體”一一對應起來。這個時期應該看成是集合論的誕生日。
集合拓撲開始
1874年，康托爾發表了這個證明，不過論文題目換成另外一個題目“論所有實代數數集體的一個性質，”因為克洛內克（1823－1891）根本就反對這種論文，他認為這種論文根本沒有內容，無的放矢。該文提出了“可數集”概念，並以一一對應為準則對無窮集合進行分類，證明了如下重要結果：（1）一切代數數是可數的；（2）任何有限線段上的實數是不可數的；（3）超越數是不可數的；（4）一切無窮集並非都是可數的，無窮集同有窮集一樣也有數量（基數）上的區別。
1874年1月5日，康托爾給戴德金寫信，提出下面的問題：
是否能把一塊曲面（如包含邊界在內的正方形）一意地映射到一條線（如包含端點在內的線段），使得面上每一點對應線上一點而且反過來線上每一點對應面上一點？
1877年6月20日，他給戴德金寫信，這次他告訴他的朋友這個問題答案是肯定的理由，雖然幾年以來他都認為答案是否定的。信中說“我看到了它，但我簡直不能相信它”。關於這一成果的論文1878年發表後，吸引人們研究度量空間維數的本質，很快出現一批論文。這批論文標誌集合拓撲的開始。
點集論體系建立
從1879年到1883年，康托爾寫了六篇系列論文，論文總題目是“論無窮線形點流形”，其中前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數學成果，特別是涉及集合論在分析上的一些有趣的套用。第五篇論文後來以單行本出版，單行本的書名《一般集合論基礎》。第六篇論文是第五篇的補充。《一般集合論基礎》在數學上的主要成果是引進超窮數。該文從內容到敘述方式都同現代的樸素集合論基本一致，所以該書標誌著點集論體系的建立。
遭遇挫折
1884年，由於連續統假設長期得不到證明，再加上與克羅內克的尖銳對立，精神上屢遭打擊，5月底，他支持不住了，第一次精神崩潰。他的精神沮喪，不能很好地集中研究集合論，從此深深地捲入神學、哲學及文學的爭論而不能自拔。不過每當他恢復常態時，他的思想總變得超乎尋常的清晰，繼續他的集合論的工作。
康托爾的貢獻
《對超窮集合論基礎的貢獻》是康托爾最後一部重要的數學著作。《貢獻》分兩部分，第一部分是全序集合的研究，於1895年5月在《數學年刊》上發表。第二部分於1897年5月在《數學年刊》上發表。《貢獻》的發表標誌集合論已從點集論過渡到抽象集合論。但是，由於它還不是公理化的，而且它的某些邏輯前提和某些證明方法如不給予適當的限制便會導出悖論，所以康托爾的集合論通常成為古典集合論或樸素集合論。
出現悖論導致懷疑
不過，康托爾的集合論並不是完美無缺的，一方面，康托爾對“連續統假設”和“良序性定理”始終束手無策；另一方面，19和20世紀之交發現的布拉利－福蒂悖論、康托爾悖論和羅素悖論，使人們對集合論的可靠性產生了嚴重的懷疑。加之集合論的出現確實衝擊了傳統的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當時的數學家所接受，遭到了許多人的反對，其中反對的最激烈的是柏林學派的代表人物之一、構造主義者克羅內克。克羅內克認為，數學的對象必須是可構造出來的，不可用有限步驟構造出來的都是可疑的，不應作為數學的對象，他反對無理數和連續函式的理論，同樣嚴厲批評和惡毒攻擊康托爾的無窮集合和超限數理論不是數學而是神秘主義。他說康托爾的集合論空空洞洞毫無內容。集合論的悖論出現之後，他們開始認為集合論根本是一種病態，他們以不同的方式發展為經驗主義、半經驗主義、直覺主義、構造主義等學派，在基礎大戰中，構成反康托爾的陣營。
得到肯定
康托爾的集合論得到公開的承認和熱情的稱讚應該說首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數學家大會上表現出來。瑞士蘇黎世理工大學教授胡爾維茨（1859－1919）在他的綜合報告中，明確地闡述康托爾集合論對函式論的進展所起的巨大推動作用，這破天荒第一次向國際數學界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學，而是真正對數學發展起作用的理論工具。在分組會上，法國數學家阿達瑪（1865－1963），也報告康托爾對他的工作的重要作用。
隨著時間的推移，人們逐漸認識到集合論的重要性。希爾伯特高度讚譽康托爾的集合論“是數學天才最優秀的作品”，“是人類純粹智力活動的最高成就之一”，“是這個時代所能誇耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國際數學家大會上，希爾伯特高度評價了康托爾工作的重要性，並把康托爾的連續統假設列入20世紀初有待解決的23個重要數學問題之首。當康托爾的樸素集合論出現一系列悖論時，克洛內克的後繼者布勞威爾（1881－1966）等人藉此大做文章，希爾伯特用堅定的語言向他的同代人宣布：“沒有任何人能將我們從康托爾所創造的伊甸園中驅趕出來”。
發展
成為系統的學科
1899年第一篇點集論的論文在《德國數學家聯合會年報》上發表，這篇論文是德國數學家舍恩弗利斯（1853－1928）寫的。他本人在其後還為德國《數學科學百科全書》中撰寫有關條目。20世紀初他繼續研究康托爾留下的問題，特別是維數不變性問題。大約同時，德國數學家豪斯道夫（1868－1942）對集合論進行一系列研究，特別是序型及序集理論。1914年出版《集合論大綱》更是集合論及點集拓撲學的經典著作，他的體系是後來研究的基礎及出發點。從此集合論成為系統的學科 。
確立地位
從非歐幾何的產生開始的對數學無矛盾性（相對無矛盾性）的證明把整個數學解釋為集合論，集合論成了數學無矛盾性的基礎，集合論在數學中的基礎理論地位就逐步確立起來。
集合論公理化
19和20世紀之交人們發現了一系列集合論悖論，表明集合論是不協調的，這使得人們對數學推理的正確性和結論的真理性產生了懷疑，觸發了第三次數學危機。為了克服悖論所帶來的困難，人們開始對集合論進行改造，即對康托爾的集合定義加以限制，“從現有的集合論成果出發，反求足以建立這一數學分支的原則。這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾，另一方面，又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來” （策梅羅語）。這就是集合論公理化方案。1908年策梅羅（1871－1953）提出第一個公理集合論系統，後經德國－以色列數學家弗蘭克爾（1891－1965）和挪威數學家斯科蘭姆（1887－1963）的補充和修正，得到現在公認的策梅羅－弗蘭克爾公理系統，簡記為ZF,ZF如果另加選擇公理（AC），則所得的公理系統簡記為ZFC.1925年大數學家馮·諾伊曼（1903－1957）開創了另一套公理系統，後經伯奈斯（1888－1977）及哥德爾（1906－1978）的改進形成了NBG公理系統。已經證明，ZF對於發展集合論是足夠了,它能避免已知的集合論悖論，並在數學基礎研究中提供了一種方便的語言和工具。在ZF中，幾乎所有的數學概念都能用集合論語言表達，數學定理也大都可以在ZFC內得到形式證明，因而作為整個數學的基礎，ZFC是完備的，數學的無矛盾性可以歸結為ZFC的無矛盾性。
對爭議公理的研究
由哥德爾不完全性定理可知，如果ZF是無矛盾的，則在ZF中不能證明自身的無矛盾性,所以在公理集合論中只考慮相對無矛盾性問題。已經證明，如果ZF是無矛盾的，則NBG也是無矛盾的。選擇公理（AC）和連續統假設（CH）有重要地位，是集合論中長期研究的課題。AC成為數學史上繼平行公理之後最有爭議的公理，CH是1878年康托爾提出來的，簡單的說，就是關於直線上有多少點的問題。
近40年來在AC和CH研究方面取得不少進展。1938年，哥德爾證明了：從ZF推不出AC的否定，從ZFC推不出CH的否定，即AC對於ZF，CH對於ZFC是相對無矛盾的.1963年，科恩（1934－ ）創立著名的力迫法，證明了AC對於ZF,CH對於ZFC的相對獨立性,即從ZF推不出AC,從ZFC推不出CH。綜合這兩個結果,得出AC在ZF中,CH在ZFC中都是不可判定的。此外，大基數問題，無窮組合論的研究亦有很大進展，70年代以來，決定性公理的研究與它們交織在一起，有很大的進展，同時，人們還在尋找迄今尚未發現的與其它公理無矛盾的可信賴的新的公理，以期在更有效的途徑上來解決連續統問題，這方面的工作成為集合論當前研究的主流。
正確理解
集合論的等勢性原理,是康托為了給現代分析學構建理論和邏輯基礎而準備的,而不是為了描述“常識世界”而構造的。試圖用“常識”來反駁等勢性原理是荒謬的。就像在現實生活中思考實無窮是沒有意義的一樣，因為你只能舉出潛無窮的例子（例如探究真理時，實踐與認識之間的反覆，直至無窮），而舉不出實無窮的例子。只要能在邏輯上構成一致的體系，在現代分析學體系下就是正確的基礎。
作為一個構造性原理，康托的理論假設可以被置換，在對爭議公理研究里已經闡明。不過如果替代了某些公理能夠形成新的體系，也只是能描述新的體系，不能描述原有體系是“錯誤”的。
