選擇公理
正文
集合論中的一條公理。它肯定對任何由非空集合組成的非空集合S，存在函式ƒ:S→∪S使對每個x∈S有f(x)∈x，f稱作S的選擇函式。容易推知，當S的元素互不相交時，f【S】就是 S的代表集。由ZF公理（見集合論）加上選擇公理組成的系統記作ZFC。由於在一個有窮長的證明中不能容納無窮多次選擇，因而需要有一種方法能 “一下子” 作完無窮多次選擇。而ZF系統並不能保證這種方法常有，所以需要有選擇公理。1904年，德國數學家E.策爾梅洛在證明良序定理時第一次明確地提出了選擇公理。從此，學術界就開始了對選擇公理的探討和爭論，特別是在A.N.懷特海和B.A.W.羅素的工作表明全部數學都可在 ZFC中敘述之後，這種探討就顯得尤有意義。
選擇公理在大多數數學分支中都有著極為重要的作用，強完全性定理和緊緻性定理的證明都離不開它，也正是根據該公理，人們才知道G.F.P.康托爾和R.戴德金德對無窮所下的兩種定義是等價的，並由此得以建立各種簡便易行的基數運算法則。如果沒有選擇公理就無法證明連續函式的兩種定義等價，也無法保證每個向量空間都有基，就連“可數個可數集的並集仍然可數”這樣一個看上去頗為自然的命題也無法證明，良序定理和左恩引理是數學中的得力工具，它們也都與選擇公理等價。不過，選擇公理也有反常的一面。1905年，G.維塔利使用這一公理構造了一個非勒貝格可測的實數集，這好象是順理成章的。然而此後的20年中，德國的F.豪斯多夫、S.巴納赫和A.塔爾斯基套用類似於維塔利的方法陸續證明了一項大出意外的結果，即分球悖論。這就是利用選擇公理，可以把一個球切成有窮多塊，再把這些塊重新組合起來就得到兩個和原先的球大小相同的球。選擇公理就是這樣一個既自然又很不自然的命題，它的真實性問題至今尚未解決。不過它的相對一致性和獨立性研究都已取得圓滿成果。這些成果是：1938年，由K.哥德爾證明了如果ZF一致則 ZF+AC一致；1963年，P.J.科恩則證明如果 ZF一致則ZF+塡AC也一致。柯恩還證明了“對可數個非空實數集組成的族，選擇函式存在”這一命題獨立於ZF。為了避開諸如分球悖論這樣的怪事，集合論研究者還探討了不少選擇公理的弱形式，而且根據柯恩的研究結果，這些弱形式也都獨立於ZF。
60年代以來，集合論研究者深入探討了一些與選擇公理對立的假設。其中最引人注意的是決定性公理，簡稱AD。該公理指自然數上具有完全信息的長度為ω的二人無窮零和對策有必勝策略。按照決定性公理，可以推出原來意義上的連續統假設，還可以推出實數是不可良序的以及每個實數集都是勒貝格可測的等等。進一步加強決定性公理，例如將對策的長度變為ω1，或將自然數博弈改為實數集的冪集上的博弈，都會與ZF不一致。但該公理的某些弱形式又是在ZF或 ZFC中可證的。關於決定性公理的相對一致性研究一直沒有什麼結果，因此集合論研究者普遍認為決定性公理不及選擇公理可靠，而只把它當作一種工作假設。
