數列的極限。
數數是人類最原始的數學活動，應該說，對於數數我們是沒有更多的數學方面的分析可言的了，或者說至少從數學的角度而言，數數是一個足夠清楚而明確的行為。因此我們引入極限這么一個抽象概念就從數數開始。
最為主要的一種事物運動變化的方式，是一種給人以連續性的感覺的變化。對於這樣的變化方式，我們可以有兩種研究方式，一是屬於物理學範疇的研究方式，就是說去探討事物變化發展中表現出來的連續性，究竟是一個什麼樣的過程。另一種研究方式是並不考慮所謂連續性究竟是什麼回事，而是首先人為地定義一種明確的可以定量處理的連續性，使得我們對於一般事物變化發展的描述都具有這種連續性的特點，並且總是在這種套用當中，隨時對實際過程與理論推理進行驗證與對比，從而得到使用這種人為連續性的觀念的合理性，一直到實驗表明再也不能使用這個人為前提為止。
確實，我們應該學會承認，當我們對客觀事物進行描述與分析時，肯定是要基於一些前提條件或者說假設的，問題的關鍵，不是在於我們是不是應該首先證明了這些前提的正確性，才能再來進行隨後的工作，而是承認任何的理論工作都只是相對的，是否有用必須經過實驗的證明才能決定。
現在我們的主要工作就是建立一個關於日常生活的連續性的嚴格表述。而這個概念是可以從我們進行最為簡單的數數開始的。
設存在一個數列，也就是一個數值的集合，這個集合的元素可以一個一個的數出來，同時，每一個元素都可以加上唯一的標誌，而自然數是最為適宜作這件工作的。比如說，把一個數列寫成這樣的樣子：a1,a2...或者簡單地記成{an}。
顯然，可以想像，隨著我們的數數，這個數列的取值，就會發生某種變化，（當然，對於總是取同一個數值的數列，我們沒有什麼興趣。）這種變化的過程應該說是相當明確而沒有任何含糊與抽象的地方。
然後，我們來規定一種具有特定規律的數列變化過程：
對於數列，假設存在一個確定的常數a，現在我們考慮變數（顯然這是一個反映數列數值變化的，隨著n而發生變化的變數。），如果我們任意找到一個數，無論它的數值有多么大或者多么小，我們總是能夠在這個數列當中找到一個元素，使得在這個元素後面的所有的數列元素，都使得相應的變數的數值小於，換一句話來說，就是，對於任意的，總是存在一個N，使得當n>N時，總是成立，這時我們就把a稱為數列的極限。並且稱數列收斂於極限a。我們使用記號來表示這點。否則我們就說數列{an}是發散的。
這就是一個數列收斂於一個極限或者說存在一個極限的定義。
在這個定義裡面，最為關鍵的地方，也是初學者最為困難的地方有兩個：
1。數值是任意的。實際上也就是說，只要存在一個的數值不滿足定義的條件，就不能說數列收斂於極限a。
這裡初學者感到非常困難的地方是，我們是不是一定要對所有可能的都進行檢驗，才能得到最後的判斷呢？在實際問題當中，由於我們的目的是希望知道變數是否越來越小，因此一般總是只要取大於0，並且足夠小（以後我們在有關極限的定義當中，總是先假設了這點，記住這點並非是必要的，而是方便的），當然只是這樣還不能減少我們對的任意取值進行驗證的任務，關鍵在於，我們一般所處理的數列，總是按照某種特定的規律來變化或者說是按照某種特定的規律來定義的，這樣一般從這個數列的變化規律本身，就可以足夠使得我們進行判斷，並且還有可能找到一個特定的由決定的N的值，使得條件得到滿足，或者是可以找到反例。
實際上本章的最困難的地方就是如何判斷一個數列是否存在極限，如果存在的話，又如何得到這個極限。這裡最重要的方法是套用不等式。
不過，我們的課程在這個方面的要求並不是過高的，因此我們只是需要考慮一些比較簡單的例子，而我們的精力應該集中在對於極限思想的理解。
2 滿足條件的n必須取遍所有大於N的自然數。
初學者往往會覺得這是不可能的，實際上，我們並不需要對所有大於N的n值進行檢驗，同樣由於數列的變化是具有規律的，從生成數列本身的規律，我們一般總是能夠通過有限的步驟，來得到所需要的判斷。
那么究竟所謂生成數列的規律是什麼呢？一般說來，一個數列的元素總是一個由變數n決定的函式，這裡變數n取遍自然數，就生成了數列的全部項。這個函式的表達式稱為通項的通項公式。
不過通項公式有時候並非完全只是n的函式，而是同時由變數n和第n項之前的項所決定，這時，通項公式表現為一個遞推公式，這種情況的處理比較複雜，我們不過多的涉及。
實際上對於上面的第二點，如果我們把希望得到的結論放弱一點，就還可以有第二種更為方便的說法，這就是相當重要的柯西收斂原理：
我們說數列{收斂，它的充要條件是：對於任意的>0，總是存在正整數N，使得對於任意的自然數p和n>0，有
成立。
可以看到，在這裡對數列所進行的檢驗與極限的定義當中對數列所進行的檢驗是存在一點差異的，就是在這裡對數列進行檢驗，我們並不需要知道這個數列的極限究竟是多少，而通過檢驗，我們也只是知道這個極限是否存在極限。而在極限的定義當中，要對一個數列進行檢驗，實際上是預先假設知道了這個極限是多少，所謂的檢驗只不過是證明這個數列的極限是否這個給出的極限值。
因此，在實際問題當中，套用柯西原理是更為方便的檢驗方法。
在說明了一個數列的極限的含義以後，我們就可以得到一系列的這種極限過程的性質如下：
（1）數列{以a為極限的另一個說法，或者說一個充要條件是：對於數列{的任意一個子數列{都以a為極限。
這種說法一般並不是套用於正面的結論，因為這就意味著我們要取一個數列的任意子數列來進行驗證，這反而把事情搞複雜了，但一般說來更難以說明正面結論的判據，往往更易於說明反面結論，這也就是說，我們常常可以很方便地套用這個判據來說明某個數列是發散的，因為，我們只要能夠在一個數列里，構造出一個發散的子數列，或者是構造出兩個具有不同收斂極限的子數列，就可以說明這個數列是發散的。
（2）如果兩個不同數列具有相同的極限：而另外一個數列{滿足條件：存在一個確定的自然數N，當n>N時，總是有
成立，那么數列{收斂，並且極限為c。
這個性質被稱為夾逼定理，常常用來求某個合適的數列的極限，前提是已知另外兩個數列的極限，並且這三個數列具有定理所要求的關係。
（3）如果我們把數列看成是以自然數為自變數的函式，那么就可以相應地定義這個函式的有界性和單調性，這兩個概念是相當直觀的，並且顯然可以知道一個收斂數列必然是有界的，因為按照收斂的定義，滿足
的項總是有限的，因此總能夠得到一個確定的函式的界。
反過來，則還必須加上一個條件： 單調而且有界的數列必定存在極限。這是一個相當重要的極限存在定理，因為往往判定一個數列的單調性和有界性是比較容易的。
從這個定理可以得到一個條件比性質（1）更弱，但結論一樣的極限存在定理。
（4）如果數列{的子數列{和{都收斂於同一個極限，那么數列{也收斂於這個極限。
顯然這個定理比性質（1）所需要的條件更弱，但結論是一樣的，這是因為我們選取了特定的子數列。
（5）如果一個數列是由兩個收斂數列通過四則運算得到的，那么這個數列的收斂性質就完全由這兩個數列決定，這就是數列極限的四則運算性質：
a．其中k為實數；
b．；
c．；
d．，其中。
函式的極限
上面對於數列的討論，完全可以看成是對於一種最為簡單的函式的極限的討論，這裡唯一的差別，就是一般的函式的取值往往是連續的，而數列的取值是可以用自然數計數的。
這裡數值的連續性，或者說實數的連續性，仍然是我們不清楚的概念，儘管這是一個微積分最為基本的概念，是我們下面討論的一個基礎，但是由於本課程的限制，我們不學習艱澀的實數連續統理論，因此從邏輯的角度來講，我們只能是預先承認一種直觀上的連續性觀念，而實際上，這種直觀觀念對於我們下面的學習，也是足夠了的。
儘管數列的項是可以用自然數計數，但在數列的極限定義當中，我們並沒有依賴於在實際的檢驗當中，進行逐項的比較，也就是說，在極限的定義當中，數列的這種離散取值形式是無關緊要的。我們仍然可以仿照數列的極限的定義，說明一個函式的極限的定義。
不過我們還必須首先考慮一個函式與數列的形式方面的差別。
我們知道，一個數列所表示的變化，是具有明確的自變數變化形式的，即隨著自然數的增大而變化，而一個一般函式所表達的，則只是一般的自變數與因變數的數值對應，而並沒有更具體地要求指明自變數與因變數的變化過程是如何進行的，函式的這種屬性，實際上也正是函式的抽象能力之所在。那么我們如何考慮在一個函式所表達的變化過程當中可能存在的極限現象呢？類似於數列的極限過程裡面，自變數可以取得任意大一樣，在函式的極限過程裡面，可以考慮自變數與某一個特定值的距離任意小。我們知道一個數列如果收斂，那么它的極限肯定是唯一的，這也可以說是極限概念之所以有意義的地方。而對於一個函式來說，同樣必須考慮自變數在一定的變化方向上的函式變化性質，即如何定義函式的具有唯一性質的極限。這裡所謂自變數的變化方向，就是指自變數與某個特定值的距離任意小的意思。
為了說明自變數與某個特定值的距離任意小這種函式變化的特定形式，我們定義一個特定的概念，就是鄰域的概念：
對於確定的一個實數x，我們定義它的一個鄰域，是指一個開區間這個開區間的特別之處在於可以看成是一個變數，並且一般是可以取任意小的數值的變數，因此這個開區間的特別之處在於，這個開區間的大小是可以任意地小。鄰域這個概念在下面函式的極限定義當中具有關鍵的作用，希望同學們認真加以體會。
首先假設函式f（x）在點的鄰域內有定義，而在點上不一定需要有定義。如果存在一個確定的點A，而我們如果取點A的任意一個鄰域，都可以找到相應的點的鄰域使得對於函式y=f（x）來說，只要自變數x屬於鄰域裡，就有因變數y屬於鄰域，這樣我們就可以說當函式自變數x趨向於點時，函式以A為極限，記成。
我們也可以不使用鄰域是概念，直接使用實數之間距離的概念，以類似於數列極限的形式來說明函式的極限：
對於函式y=f（x），假設存在兩個確定的常數和A，現在我們分別考慮變量（這個變數反映了函式自變數和一個確定的點之間的距離）和（顯然這是一個反映函式數值變化的，隨著x而發生變化的距離變數。），如果我們任意找到一個數，無論它的數值有多么大或者多么小，我們總是能夠找到一個相應的數，使得變數滿足時，都使得相應的變數的數值小於，換一句話來說，就是，對於任意的，總是存在一個，使得當時，總是有成立，這時我們就把A稱為函式f（x）在x趨向於x0時的極限。我們使用記號來表示這點。否則我們就說函式f（x）在x趨向於x0時是發散的。
由於函式變化的連續性，使得函式的極限的概念比數列的極限的概念要顯得複雜，因此我們還可以通過圖形的方式來加強理解。
如下圖所示，我們可以分別觀察在X軸和Y軸上的取值情況。
可以看到，在x的取值向x0接近的過程中，函式y=f（x）表現出了這么一種現象，就是在Y軸上存在一點A，無論我們取多么小的A的一個鄰域，我們都總能至少找到x0的一個鄰域，使得在這個鄰域內的所有函式值都處於我們取定了的A的那個鄰域內，這就說明了函式在x趨向x0時，存在一個極限A。
假如在x0的這個鄰域記憶體在一點，使得函式值超出了A的那個鄰域，比如函式的圖形如圖中虛線所示，突出一個峰B點，那么我們總是還可以在繼續向x0接近的過程中，找到更小的鄰域滿足條件。
注意，在圖中我們故意沒有使得也沒有使得儘管是實際問題當中，我們可能常常這么取，但這並不是必須的。因為在定義當中，只是要求一種存在性就可以了。
另外在圖中，我們也可以看到，極限的存在並不要求函式在x0是有定義的，只要函式能夠無限地接近這點就可以了。
從圖形當中我們可以體會到，函式在某點存在極限，反映的是函式在這點附近的局部性質，這裡附近的意思是指與任何確定距離處函式的性質無關，就好象圖中虛線所示，無論函式如何變化，只要這種變化被限制在確定的距離處，就不影響函式在這點處的極限性質。實際上，函式在這點是否具有這個極限性質，是分析函式在這點的行為的一個強大工具。後面的學習當中，我們能夠進一步體會到，判斷一個函式在某點處是否具有極限，是表示函式在這點行為的重要特徵。
函式的單側極限，左右極限，函式的分段點處的極限。
在前面的圖形說明當中，我們可以看到，函式自變數的取值趨向某個特定的點，還可以取特定的方向，比方說只從左邊或者只從右邊接近特定的點，這在函式所表示的變化規律本身常常是允許的。這就自然地得到了單側極限的概念。
根據自變數趨向某點的方向的左右，可以把單側極限分成兩種，即左極限與右極限。顧名思義，左極限就是在X軸上，自變數總是從左邊趨向特定的點，也就是說，自變數在趨向這個特定的值時，總是小於這個值；反之右極限就是在X軸上，自變數總是從右邊趨向特定的點，也就是說，自變數在趨向這個特定的值時，總是大於這個值。
引入這個概念，首先在理論上具有重要的作用，這體現在如下的定理當中：
一個函式在自變數趨向某點時具有極限A，這件事的另一個說法，或者說它的一個充要條件就是函式在這點的左右極限都存在，並且都是A。
這個定理可以套用於對很多函式在特定點的極限性質的判斷，當然一般是套用於否定性的判斷，即通過很容易地得到函式在這個特定點的左右極限，由於它們不相等，而得到函式在這點不存在極限的結論。
這個定理還具有另外一個方面的實際套用價值，就是用於分析分段函式。我們知道分段函式在分段點處的性質是分段函式最為關鍵的地方，而對於分段函式在分段點處的極限性質，就只有通過分別地考慮函式在分段點處的左右極限來得到。
無窮小量，無窮大量，無窮小量的階。
在微積分的歷史上，一種具有重要意義的極限過程，即無窮小量充當了很關鍵的角色。而在理論的角度來看，這種極限過程也是非常有用的。
所謂無窮小量就是這樣一種函式的極限過程，即當函式自變數趨向於某個特定的值時，函式值本身趨向於0，直觀地說，也就是函式值要多小就有多小。更清楚地說明這點，就是：
對於任意的，總是存在一個，使得當時，總是有成立。
這裡的f（x）在x趨向於x0時，就是無窮小量。
正如一個函式的極限和這個函式在這點的取值不能混為一談一樣，無窮小量和0不能混為一談。無窮小量是一種極限過程，可以理解為是“運動物體”，而任何一個確定的數值，總是一個“靜止物體”。一個無窮小量可以達到和0無限地接近而總是不能取值為0，因為極限過程畢竟表達的只是一個變數的變換過程。
把無窮小量看成是以0為極限值的函式，則同樣可以對它進行四則運算，我們可以得到如下定理：
（1） 有限個無窮小量的和仍然是無窮小量。
（2） 有界函式與無窮小量的乘積是無窮小量。
（3） 常數和無窮小量的乘積是無窮小量。
（4） 有限個無窮小量的乘積是無窮小量。
既然以0為極限的函式具有特定的研究價值，那么反過來，比方說無窮小量的倒數，是趨向於無窮大的，也是具有一點價值的研究對象。這就是所謂無窮大量。
類似地，我們可以定義無窮大量為當函式自變數趨向於某個特定的值時，函式值本身趨向於無窮大，直觀地說，也就是函式值要多大就有多大。我們更清楚地說明這點，就是：
對於任意的，總是存在一個，使得當
時，總是有
成立。
這裡的f（x）在x趨向於x0時，就是無窮大量。
無窮小量最為重要的研究價值，體現在我們可以對它的趨向於0的“速度”進行比較。這種比較的結果，就得到了階的概念。
設在同一個極限過程當中，和都是無窮小量，如果
（1），那么關於就是高階無窮小量，反過來關於就是低階無窮小量。寫成。
（2），那么和就是等階無窮小量，寫成～。並且稱和互為主要部分。
（3），那么和就是同階無窮小量，寫成～a。
一般說來，如果存在常數A>0和B>0，使得
成立，那么和就是同階無窮小量，寫成=O（）。
（4）一般的無窮小量的比較，可以通過定義一個基本無窮小量，即定義函式x=x在x趨向於0時的x為基本無窮小量，則當時，（k為正數。）稱為k階無窮小量。
特別地，如果，那么和就是同階無窮小量，是等價的，並且稱是無窮小量的主要部分。
套用無窮小量的階的性質，可以簡化極限計算與近似計算，下面是相關的一些定理：
如果～，～，其中，，都不取0值，則
（1）當存在時，也一定存在，並且=。
（2）如果存在，則=
（3）如果存在，則=。
這幾個定理都表明套用等階無窮小量進行替換，不會改變結果，這樣就有可能用來進行極限計算的簡化。
（4）如果～，則有和。反過來也成立。
這個定理則是進行近似計算的基本定理，即用主要部分代替一個變數，誤差為一個高階無窮小。
極限的四則運算法則。
在研究數列的極限時，我們已經討論了數列極限的四則運算性質，對於函式的極限，具有同樣的性質，因為這種運算性質只涉及到極限過程本身，與是數列還是函式無關。我們列出如下：
首先假設函式f（x）和g（x）都在自變數x趨向於x0時存在有限的極限，那么就有下面的運算規則，（我們簡寫了極限符號，都是表示）：
a．其中k為實數；
b．；
c．；
d．，其中。
注意這裡函式的運算規則裡面包括了減法，而數列的減法則沒有一般的運算規則。
函式除了通過四則運算進行構造以外，另一個重要的函式構造途徑就是函式的複合，那么複合函式的極限與其組成函式的極限有什麼關係呢？
（1） 設，；
（2） 設存在x0的一個去心鄰域。對於在這個鄰域內的所有x都有，也就是說，在x趨向於x0的過程當中，g（x）不會取值u0；
在這兩個條件下，我們有
這個法則對於我們求函式的極限是非常有用的，因為常常需要進行變數代換，使得複雜函式變換為比較簡單的函式，從而得到所需要的極限。
極限存在的判別性質。
類似於數列極限的夾逼定理，同樣存在函式極限的夾逼定理：
設兩個函式g（x）和h（x）在時，存在同一個極限A，而在x0的去心鄰域裡，存在另一個函式f（x）滿足以下條件：
，
那么在時，f（x）也存在極限A。
在有關函式極限的問題當中，記住重要的一點，就是函式的自變數只需要考慮在它所趨向的點的去心鄰域內的定義即可。
這個定理在某些條件下，可以套用於求函式在某點的極限，即如果已知兩個具有簡單極限性質的函式，和要考慮的函式具有上面不等式所要求的性質，則可以直接得到所考慮函式的極限性質。
利用這個定理，可以得到重要的兩種形式的函式的極限。
對於這兩個極限，重要的是抓住它們的結構特徵：
（1）。
這個極限的結構特徵可以表示為：
，
也就是說，括弧里的部分是無窮小量。這個極限可以套用於求很多函式的極限。
（2）
這個極限的結構特徵可以表示為：
也就是說，括弧里的部分是無窮大量。這個極限同樣可以套用於求很多函式的極限。
我們在後面的練習當中，會遇到很多的例子。
我們已經提到過實數的連續性，不過實數的連續性是比較困難的概念，我們不要求掌握，至於這裡的函式的連續性，則是另外一個概念，套用極限作為工具，可以很好地加以說明。
在上面的關於函式極限的圖形說明當中，我們提到一個直觀問題，就是存在極限，就意味著隨著自變數趨向給定的點，我們希望函式值與極限值之間的距離有多小，就可以通過找到一個與給定點足夠接近的自變數值，使得這個自變數取值和給定點之間的所有的自變數取值所對應的函式值，都與極限值之間的距離是足夠小的。
針對我們關於函式連續的直觀觀念，我們討論下面的三種情況：
（1）如果函式在某點不存在有限的極限，那么函式在這點的表現肯定是不符合我們關於連續的直觀的。這也就是說，函式在這點存在極限，是函式在這點連續的必要條件。
那么函式在這點存在極限是否就是在這點連續了的呢？
（2）我們在討論函式極限時，強調了函式並不一定必須在這點是有定義的。如果函式在這點都沒有定義，那么顯然函式就不可能在這點是連續的了。
（3）如果函式在這點是有定義的，而函式在這點的極限並不是函式在這點的函式值，那么可以想像，函式的圖形仍然不符合我們關於連續性的觀念。
因此在直觀上，可以很容易地接受下面的連續性定義：
我們說函式在某點是連續的，意思是說
（1） 函式在這點的某個領域內有定義；
（2） 函式在這點存在極限；
（3） 函式在這點的極限等於函式在這點的函式值。
上面的定義里，（2）（3）兩條還可以使用另外的說法，因為這裡的關鍵實際上就是極限的概念。
直觀地說，函式在某點連續，就是函式值在極限值處的鄰域想要多小就可以多小，只需要我們取給定點的足夠小的鄰域即可得到相應的足夠的函式值區間。精確地說，就是：
我們說函式在某點處是連續的，意思是說
（1） 函式在這點的某個領域內有定義；
（2） 對於任意給定的，總是存在某個，使得只要
，
就可以得到相應的
，
注意與極限定義相比，這裡沒有要求大於0，而是存在等於0的情況。
我們可以看到極限與連續存在緊密聯繫，相應於單側極限的概念是單側聯繫，它正是通過單側極限來定義的：
函式在某點存在左極限，並且左極限值等於函式在這點的因變數值，這稱函式在這點左連續；
函式在某點存在右極限，並且右極限值等於函式在這點的因變數值，這稱函式在這點右連續。
顯然函式在這點連續的一個充要條件就是函式在這點同時左連續與右連續，左右極限值都同時等於函式在這點的因變數值。
同樣這種單側連續概念可以套用於研究分段函式。
最後，我們可以看到，類似於極限性質是一種局部性質，這裡定義的連續性同樣是函式在一點的局部性質，只是依賴於函式在這點的某個鄰域的行為。而我們應該已經能夠體會到，鄰域概念本身就是一個表達一點的局部範圍的概念。
那么對於一個函式，如果它在定義域的每一點都是連續的，則稱函式在它的定義域上都是連續的。
連續函式的運算性質，初等函式的連續性。
非常類似於極限的運算性質，對於連續性，由於它的極限本質，同樣存在相應的四則運算性質和複合性質：
1．設函式f（x）和g（x）在x0處連續，則函式
（1），其中a，b為任意常數；
（2）；
（3），其中g（x）不能等於0。
都在x0處連續。
2．設函式u=g（x）在x0處連續，函式y=f（u）在u0處連續，g（x0）= u0，那么函式
y=f[g（x）]在x0處連續。
有了這兩個基本定理，我們從基本初等函式的連續性開始，可以一步一步地得到初等函式的連續性，即任意初等函式在其定義域上的每一點處都是連續的。
這個結論具有極其重要的價值。後面我們可以看到，初等函式的這個性質使得我們對它們的處理大大簡化了。
間斷點及其分類。
前面我們已經把函式在某點連續的意思概括為三點，那么相應的，如果說一個函式在某點不連續，或者說發生了間斷，就必定是出現了三種情況之一：
（1） 函式在這點沒有定義；
（2） 函式在這點不存在左右極限之一或左右極限都不存在；
（3） 函式在這點的左右極限與函式在這點的函式值至少有一個不相等。
因此我們可以把函式發生間斷的情況分成三類：
（1）函式在這點的左右極限都存在，並且相等，而與函式在這點的函式值不相等，或者函式在這點根本就沒有定義，我們知道，這在函式的極限定義里，是可以允許的。這種間斷點，由於只要通過重新定義函式在這點的函式值，就可以得到一個在這點連續的新的函式，因此稱為可去間斷點。
（2）函式在這點的左右極限都存在，但不相等，這時無論函式在這點的函式值如何，都把這種間斷點稱為第一類間斷點。
（3）函式在這點的左右極限至少有一個不存在，這時，稱為第二類間斷點。
對於這三類間斷點，我們必須擁有很好的直觀，因為圖形直觀可以幫助我們直截了當地解題。
閉區間連續函式的性質，中值，最值。
通過前面的學習，我們可以體會到，所謂函式的連續性，其實是保持一個連續區間的連續性的任意變換。
而所謂區間的連續性，直觀地看，就是實數軸上面的一個線段區間，而函式的連續性，就正是體現在把X軸上面的一個連續線段區間，變換為Y軸上面的一個連續線段區間。
對於所謂實數區間的連續性，我們只能從直觀的角度來把握，而不能作更進一步的理論探討，因為這超出了本課程的範圍。不過基本的直觀對於我們下面的學習是足夠了的。
對於連續函式或者說連續變換來說，實數軸上面的閉區間具有非常重要的意義，首先我們給出一個基本定理：
連續函式把一個有限閉區間變換為一個有限閉區間，或者說，定義在有限閉區間上面的連續函式的值域也是有限閉區間。
從這個基本定理出發，我們可以從下面的幾個定理體會到閉區間對於連續函式的意義之所在：
（1） 定義在一個閉區間上面的連續函式，必定存在函式在這個區間上面的最大值與最小值。這就是所謂最值定理。
（2） 定義在一個閉區間上面的連續函式，必定是有界的。這就是所謂有界性定理。
（3） 定義在一個閉區間[a，b]上面的連續函式f（x），對於滿足f（a）<c<f（b）的任意的c值，總是存在一個相應的，使得這就是所謂介值定理。
（4） 定義在一個閉區間[a，b]上面的連續函式f（x），如果f（a）·f（b）<0，則總是存在一個，使得這就是所謂零值定理。
（5） 如果函式y=f（x）為在閉區間[a，b]上面嚴格單調增加（減小）的連續函式，f（a）=A，f（b）=B，則在閉區間[A，B]上面存在f的反函式x=g（y）為嚴格單調減小（增加）。這實際上是極其基本的反函式存在定理。
二，答疑解難。
1．數列的極限的定義當中，與N的取值是一一對應的嗎？
[答]：不是。
初學者對於極限的定義的敘述往往理解不夠深入，並且常常產生歧義，這個問題就是最為典型的。
儘管在根據定義進行具體的極限分析時，常常是由推出N的表達式，但這並不是意味著這兩個變數之間具有一定的函式關係，這兩個變數之間確實是具有一定的關係，但決不是函式的關係，而是一種兩個區間的相互影響與決定的關係，實際上，我們給出一個的意思，實際上是給出了一個區間，同樣由此而得到的N，也是一個區間的概念，而不是兩個數值變數的關係，因此N的求法是很多形式的，實際問題當中，我們只是選擇了最為方便的形式而已。
2．函式的極限的定義當中，與是取值是一一對應的嗎？
[答]：不對。
這裡的原因與數列的情形是類似的。這兩個變數同樣是意味著兩個區域，而並不是兩個數值變數的關係。因此在作具體問題時，可以靈活地選擇最為方便的途徑來求出它們的對應關係。
3．函式的極限的定義當中，不等式裡面大於0是必要的嗎？
[答]：是。
初學者往往忽略了這點，因為在數列的極限的定義當中不存在這個問題。
這裡的意思其實就是取x0的去心鄰域。因為函式可以對某點取極限，而同時函式不一定需要在該點有定義，這種情況在實際問題當中是有必要考慮的，因此為了照顧到這種情況，就在定義當中加入了這點要求，而同時不會損害極限的定義本身。
4．求極限的主要方法有哪些？
[答]：在求極限之前，要注意觀察，通過觀察來判斷需要套用什麼樣的途徑與方法，而不是盲目嘗試，一般的方法有如下的幾種，其中有些方法是基於後面的知識，我們也列出，以供參考：
（1） 對於函式在連續點的極限，直接代入即可；
（2） 運用消去零因子的方法；
（3） 通過一定的變形，利用兩個重要的極限；
（4） 在某些特殊情況下，需要通過左右極限來判斷函式在某點的極限；
（5） 運用等價無窮小或者無窮大的性質；
（6） 運用單調有界性質；
（7） 運用夾逼準則；
（8） 通過變數代換；
（9） 對於未定式，必要的話可以考慮運用羅必塔法則；
（10） 對於數列，可以先嘗試計算出有限和，再取其極限；
（11） 運用級數收斂的必要條件；
（12） 通過運用定積分的定義來得到；
（13） 套用導數的定義；
（14） 運用微分中值定理。
