高階無窮小:若lim(β/α)=0，則稱“β是比α較高階的無窮小”。意思 -百科知識中文網

基本概念

對於兩個無窮小量和，如果，就把叫做比 高階的無窮小量，並把叫做比 低階的無窮小量；簡稱是的 高階無窮小，是的低階無窮小，記成。

如果，其中為異於零的常數，這時把叫做的階無窮小。

例如，因為，所以時是比較高階的無窮小，意思是說在的過程中比趨向0的速度快。

在同一個變化過程中的兩個無窮小，雖然同時都趨向於零，但是它們 趨向於零的快慢程度有時卻不一樣，甚至差別很大。實際問題中，有時需要討論這種 趨向零的快慢問題，舉例於下。

有一塊正方形的金屬片，它的邊長原來是3，受熱後增加了，問這塊金屬片的面積增加了多少?

如圖1所示，設加熱前正方形金屬片的面積為，即，加熱後正方形金屬片的面積為，即

因此正方形金屬片在加熱後面積增加了：

這個等式的右邊有兩項，我們在圖1中看到，畫有斜線的兩塊窄矩形的面積之和就是，而畫有交叉線的一小塊正方形的面積就是。

容易看出，當時，就是說，和都是當時的無窮小。現在我們把它們趨近於零的快慢情況列表比較於下：

從表中看出，當時，趨近零比趨近零快得多，從它們的比值來看，就有

即與之比也是當時的無窮小。這時，我們就說是比高階的無窮小。

一般地，我們對兩個無窮小的比較作如下規定：

設和都是無窮小，如果，我們就說是比 高階的無窮小。

在實際問題的計算中，如果遇到幾個不同階的無窮小量之和，常常把高階無窮小忽略不計。例如，在計算上述正方形金屬片加熱後的面積時，如果不大，就往往略去項，而得到

這樣，既抓住了主要矛盾，又簡化了運算手續，而且在許多情況下滿足了實際問題的要求。

設是同一變化過程中的無窮小，這一過程中的極限，那么：

(1)如果，則稱是比高階的無窮小，記作。

(2) 如果，則稱是比低階的無窮小。

(3) 如果，則稱與是同階無窮小。

(4) 如果，則稱與是等價無窮小，記作。

(5) 如果，則稱是關於的k階無窮小。

當時，