函式的有界性

函式的有界性是數學術語。 設函式f(x)的定義域為D，f（x）在集合D上有定義。 如果存在數K1，使得 f(x)≤K1對任意x∈D都成立，則稱函式f(x)在D上有上界。 反之，如果存在數字K2，使得 f(x)≥K2對任意x∈D都成立，則稱函式f(x)在D上有下界，而K2稱為函式f(x)在D上的一個下界。 如果存在正數M，使得 |f(x)|≤M 對任意x∈D都成立，則稱函式在D上有界。如果這樣的M不存在，就稱函式f(x)在D上無界；等價於，無論對於任何正數M，總存在x1屬於X，使得|f(x1)|>M，那么函式f(x)在X上無界。 此外，函式f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界也有下界。 舉例 一般來說，連續函式在閉區間具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以說它的函式值在7和8之間變化，是有界的，所以具有有界性。但正切函式在有意義區間，比如(-π/2，π/2)內則無界。 sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常見的有界函式。 性質 無窮小與有界函式的乘積仍為無窮小。

定義

設函式f(x)的定義域為D，f（x）集合D上有定義。

如果存在數K1，使得 f(x)≤K對任意x∈D都成立，則稱函式f(x)在X上有上界。

反之，如果存在數字K使得 f(x)≥K2對任意x∈D都成立，則稱函式f(x)在D上有下界，而K稱為函式f(x)在D上的一個下界。

如果存在正數M，使得 |f(x)|≤M 對任意x∈D都成立，則稱函式在X上有界。如果這樣的M不存在，就稱函式f(x)在X上無界；等價於，無論對於任何正數M，總存在x1屬於X，使得|f(x1)|>M，那么函式f(x)在X上無界。

此外，函式f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界也有下界。

舉例

一般來說，連續函式在閉區間具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以說它的函式值在7和8之間變化，是有界的，所以具有有界性。但正切函式在有意義區間，比如(-π/2，π/2)內則無界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常見的有界函式。

性質

無窮小與有界函式的乘積仍為無窮小。