基本簡介
舉例
曲線積分先看一個例子：設有一曲線形構件占xOy面上的一段曲線，設構件的密度分布函式為ρ(x,y)，設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續，求構件的質量。對於密度均勻的物件可以直接用ρS求得質量；對於密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。
定義
設L為xOy平面上的一條光滑的簡單曲線弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一點列M1,M2,M3…,Mn把L分成n個小弧段ΔLi的長度為ds，又Mi(x,y)是L上的任一點，作乘積f(x,y)i*ds,並求和即Σf(x,y)i*ds，記λ=max(ds)，若Σf(x,y)i*ds的極限在當λ→0的時候存在，且極限值與L的分法及Mi在L的取法無關，則稱極限值為f(x,y)在L上對弧長的曲線積分，記為：∫f(x,y)*ds；其中f(x,y)叫做被積函式，L叫做積分曲線，對弧長的曲線積分也叫第一類曲線積分。
類別
曲線積分分為：對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）對坐標軸的曲線積分（第二類曲線積分）
兩種曲線積分的區別主要在於積分元素的差別；對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素ds；例如：對L的曲線積分∫f(x,y)*ds。對坐標軸的曲線積分的積分元素是坐標元素dx或dy，例如：對L’的曲線積分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是對弧長的曲線積分由於有物理意義，通常說來都是正的，而對坐標軸的曲線積分可以根據路徑的不同而取得不同的符號。
其他信息
積分聯繫
曲線積分在曲線積分中，被積的函式可以是標量函式或向量函式。積分的值是路徑各點上的函式值乘上相應的權重（一般是弧長，在積分函式是向量函式時，一般是函式值與曲線微元向量的標量積）後的黎曼和。帶有權重是曲線積分與一般區間上的積分的主要不同點。物理學中的許多簡單的公式（比如說）在推廣之後都是以曲線積分的形式出現。曲線積分在物理學中是很重要的工具，例如計算電場或重力場中的做功，或量子力學中計算粒子出現的機率。
量子力學
量子力學中的“曲線積分形式”和曲線積分並不相同，因為曲線積分形式中所用的積分是函式空間上的泛函積分，即關於空間中每個路徑的機率函式進行積分。然而，曲線積分在量子力學中仍有重要作用，比如說復圍道積分常常用來計算量子散射理論中的機率振幅。
復分關係
如果將複數看作二維的向量，那么二維向量場的曲線積分就是相應復函式的共軛函式在同樣路徑上的積分值的實部。根據柯西-黎曼方程，一個全純函式的共軛函式所對應的向量場的鏇度是0。
套用
在各種保守力的場都是路徑無關的，一個常見的例子就是重力場或電場。在計算這種場的做功時，可以選擇適當的路徑進行積分，使得計算變得簡單。
