![歐拉[萊昂哈德·歐拉]](/img/f/cc7/nBnauM3X4MzM3gjN4UTO4EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL1kzLxgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg "歐拉[萊昂哈德·歐拉]")
人物生平
萊昂哈德·歐拉
複平面上的Gamma 函式歐拉1707年4月15日生於瑞士巴塞爾，1783年9月18日卒於俄國聖彼得堡。他生於牧師家庭。15歲在巴塞爾大學獲學士學位，翌年得碩士學位。1727年，歐拉應聖彼得堡科學院的邀請到俄國。1731年接替丹尼爾·伯努利成為物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄國的14年中，他在分析學、數論和力學方面作了大量出色的工作。1741年受普魯士腓特烈大帝的邀請到柏林科學院工作，達25年之久。在柏林期間他的研究內容更加廣泛，涉及行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學，這些工作和他的數學研究相互推動。歐拉這個時期在微分方程、曲面微分幾何以及其他數學領域的研究都是開創性的。1766年他又回到了聖彼得堡。
歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，他不但在數學上作出偉大貢獻，而且把數學用到了幾乎整個物理領域。他又是一個多產作者。他寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，《無窮小分析引論》、 《微分學原理》 、《積分學原理》都成為數學中的經典著作。除了教科書外，他的全集有74卷。
18世紀中葉，歐拉和其他數學家在解決物理問題過程中，創立了微分方程這門學科。值得提出的是，偏微分方程的純數學研究的第一篇論文是歐拉寫的《方程的積分法研究》 。歐拉還研究了函式用三角級數表示的方法和解微分方程的級數法等等。
小時候他就特別喜歡數學，不滿10歲就開始自學《代數學》。這本書連他的幾位老師都沒讀過。可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個記號，事後再向別人請教。1720年，13歲的歐拉靠自己的努力考入了巴塞爾大學,得到當時最有名的數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指導．。這在當時是個奇蹟，曾轟動了數學界。小歐拉是這所大學，也是整個瑞士大學校園裡年齡最小的學生。
歐拉的貢獻之一——彈道學歐拉淵博的知識，無窮無盡的創作精力和空前豐富的著作，都是令人驚嘆不已的！他從19歲開始發表論文，直到76歲，半個多世紀寫下了浩如煙海的書籍和論文．到今幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數論中的歐拉函式，微分方程的歐拉方程，級數論的歐拉常數，變分學的歐拉方程，複變函數的歐拉公式等等，數也數不清．他對數學分析的貢獻更獨具匠心， 《無窮小分析引論》一書便是他劃時代的代表作，當時數學家們稱他為"分析學的化身"．
歐拉是科學史上最多產的一位傑出的數學家，據統計他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數、數論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建築學等占3%，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．
歐拉的貢獻之一——空氣動力學歐拉曾任彼得堡科學院教授，是柏林科學院的創始人之一。他是剛體力學和流體力學的奠基者，彈性系統穩定性理論的開創人。他認為質點動力學微分方程可以套用於液體（1750）。他曾用兩種方法來描述流體的運動，即分別根據空間固定點（1755）和根據確定的流體質點（1759）描述流體速度場。前者稱為歐拉法，後者稱為拉格朗日法。歐拉奠定了理想流體的理論基礎，給出了反映質量守恆的連續方程（1752）和反映動量變化規律的流體動力學方程（1755）。歐拉在固體力學方面的著述也很多，諸如彈性壓桿失穩後的形狀，上端懸掛重鏈的振動問題，等等。歐拉的專著和論文多達800多種。
小行星歐拉2002就是為了紀念歐拉而命名的。
早年
萊昂哈德·歐拉歐拉出生於瑞士巴塞爾的一個牧師家庭，父親保羅·歐拉（Paul Euler）是基督教加爾文宗的牧師，保羅·歐拉早年在巴塞爾大學學習神學，後娶了一位牧師的女兒瑪格麗特·布魯克（Marguerite Brucker），也就是歐拉的母親。歐拉是他們6個孩子中的長子。在歐拉出生後不久，他們全家就從巴塞爾搬遷至郊外的里恩,在那裡歐拉度過了他童年的大部分時光。
歐拉最早是從他的父親那裡接觸到一些數學，後來歐拉搬回巴塞爾和他的外祖母住在一起，並在那裡開始了他的正式學業，在中學時期，由於歐拉所在的學校並不教授數學，他便私下裡從一位大學生那裡學習。
歐拉13歲時進入了巴塞爾大學，主修哲學和法律，但在每周星期六下午便跟當時歐洲最優秀的數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli）學習數學 。歐拉於1723年取得了他的哲學碩士學位，學位論文的內容是笛卡爾哲學和牛頓哲學的比較研究。之後，歐拉遵從了他父親的意願進入了神學系，學習神學，希臘語和希伯來語（歐拉的父親希望歐拉成為一名牧師），但最終約翰·伯努利說服歐拉的父親允許歐拉學習數學，並使他相信歐拉注定能成為一位偉大的數學家。1726年，歐拉完成了他的博士學位論文De Sono，內容是研究聲音的傳播。1727年，歐拉參加了法國科學院主辦的有獎徵文競賽，當年的問題是找出船上的桅桿的最優放置方法。結果他得了二等獎，一等獎為被譽為“艦船建造學之父”的皮埃爾·布格（Pierre Bouguer）所獲得，不過歐拉隨後在他一生中一共12次贏得該獎項一等獎。
在聖彼得堡
這一時期，約翰·伯努利的兩個兒子——丹尼爾·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在位於俄國聖彼得堡的俄國皇家科學院工作，在尼古拉因闌尾炎於1726年7月去世後（此時距他來到俄國僅一年），丹尼爾便接替了他在數學/物理學所的職位，同時推薦歐拉來接替他自己在生理學所空出的職位。歐拉於1726年11月欣然接受了邀請，但並沒有立即動身前往聖彼得堡，而是先申請巴塞爾大學的物理學教授，不過沒有成功。
前蘇聯1957年的郵票紀念歐拉誕辰250周年。歐拉於1727年5月17日抵達聖彼得堡，在丹尼爾等人的請求下，科學院將歐拉指派到數學/物理學所工作，而不是起初的生理學所。歐拉與丹尼爾保持著密切的合作關係，並且與丹尼爾住在一起。在1727年至1730年間，歐拉還擔任了俄國海軍醫官的職務。
俄國皇家科學院由彼得大帝於1724年創建，在彼得大帝和他的繼任者凱薩琳女皇主政時期，科學院是一個對外國學者具有吸引力的地方。科學院有充足的資金來源和一個規模龐大的綜合圖書館，並且只招收非常少的學生，以減輕教授們的教學負擔。科學院還非常重視研究，給予教授們充分的時間及自由，讓他們探究科學問題 。
彼得二世凱薩琳女皇，同時也是科學院的資助者，於歐拉到達聖彼得堡的當天去世。其後彼得二世繼位，彼得二世是個軟弱的君主，實際權力由俄國貴族掌握。貴族們對科學院的外國科學家心存戒心，於是他們切斷了對歐拉及其同事們的財政資助，並且在其它方面找他們的麻煩。
情況在彼得二世去世（1730年）後有所好轉，歐拉在科學院迅速得到提升，並於1731年獲得物理學教授的職位。兩年後，由於受不了在聖彼得堡受到的種種審查和敵視，丹尼爾·伯努利返回了巴塞爾，歐拉於是接替丹尼爾成為數學所所長 。1735年，歐拉還在科學院地理所擔任職務，協助編制俄國第一張全境地圖。
1734年1月7日，歐拉迎娶了科學院附屬中學的美術教師，瑞士人喬治·葛塞爾（Georg Gsell）的女兒，柯黛琳娜·葛塞爾（Katharina Gsell，1707-1773） ，兩人共育有13個子女，其中僅有5個活到成年 。
在柏林
考慮到俄國持續的動亂，歐拉在1741年6月19日離開了聖彼得堡，到柏林科學院就職，職位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年，並在那兒寫了不止380篇文章。在柏林，他出版了他最有名的兩部作品：關於函式方面的文章《無窮小分析引論》，出版於1748年；另一部是關於微分的《微積分概論》， 出版於1755年。 在1755年，他成為瑞典皇家科學院的外籍成員。
視力惡化
葉卡捷琳娜二世女皇在歐拉的數學生涯中，他的視力一直在惡化。在1735年一次幾乎致命的發熱後的三年，他的右眼近乎失明，但他把這歸咎於他為聖彼得堡科學院進行的辛苦的地圖學工作。視力在他在德國期間也持續惡化，以至於弗雷德里克把他譽為“獨眼巨人”。歐拉的原本正常的左眼後來又遭受了白內障的困擾。在他於1766年被查出有白內障的幾個星期後，導致了他的近乎完全失明。即便如此，病痛似乎並未影響到歐拉的學術生產力，這大概歸因於他的心算能力和超群的記憶力。比如，歐拉可以從頭到尾不猶豫地背誦維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀》，並能指出他所背誦的那個版本的每一頁的第一行和最後一行是什麼。在書記員的幫助下，歐拉在多個領域的研究其實變得更加高產了。在1775年，他平均每周就完成一篇數學論文。
逝世
歐拉之墓1783年9月18日，晚餐後，歐拉一邊喝著茶，一邊和小孫女玩耍，突然之間，菸斗從他手中掉了下來。他說了一聲：“我的菸斗”，並彎腰去撿，結果再也沒有站起來，他抱著頭說了一句：“我死了”。“歐拉停止了計算和生命”。後面這句經常被數學史家引用的話，出自法國哲學家兼數學家孔多塞之口：“...il cessa de calculer et de vivre（他停止了計算和生活）”（he ceased to calculate and to live）。
職業生涯
19世紀最偉大的德國數學家高斯![歐拉[萊昂哈德·歐拉]](/img/2/24d/wZwpmL3MTO1ETNzMjM0EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzIzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
歐拉[萊昂哈德·歐拉]歐拉年輕時曾研讀神學，他一生虔誠、篤信上帝，並不能容許任何詆毀上帝的言論在他面前發表。有一個廣泛流傳的傳說說到，歐拉在葉卡捷琳娜二世的宮廷里，挑戰當時造訪宮廷的無神論者德尼·狄德羅：“先生，，所以上帝存在，請回答！”不懂數學的德尼完全不知怎么應對，只好投降。但是由於狄德羅事實上也是一位有作為的數學家，這個傳說有可能屬於虛構。
歐拉是史上發表論文數第二多的數學家，全集總計75卷；他的紀錄一直到了20世紀才被保羅·埃爾德什打破。後者發表的論文達1525篇，著作有32部。歐拉在他的時代，產量之多，無人能及。歐拉實際上支配了18世紀至今的數學；對於當時新數學分支微積分，他推導出了很多結果。很多數學的分枝，也是由歐拉所創或因而有了極大的進展。
在1765年至1771年據說是因歐拉雙眼直接觀察太陽，雙眼先後失明。儘管人生最後7年，歐拉的雙目完全失明，他還是以驚人的速度產出了生平一半的著作。
歐拉著作的驚人多產並不是偶然的，他可以在任何不良的環境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧譁．他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，使他在雙目失明以後， 也沒有停止對數學的研究，在失明後的17年間，他還口述了幾本書和400篇左右的論文．19世紀偉大數學家高斯（Gauss，1777-1855年）曾說："研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法．"
歐拉的父親保羅·歐拉（Paul Euler）也是一個數學家，原希望小歐拉學神學，同時教他一點數學．由於小歐拉的才人和異常勤奮的精神，又受到約翰·伯努利的賞識和特殊指導，當他在19歲時寫了一篇關於船桅的論文，獲得巴黎科學院的獎的獎金後，他的父親就不再反對他攻讀數學了．
1725年約翰·伯努利的兒子丹尼爾·伯努利赴俄國，並向沙皇喀德林一世推薦了歐拉，這樣，在1727年5月17日歐拉來到了彼得堡．1733年，年僅26歲的歐拉擔任了彼得堡科學院數學教授．1735年，歐拉解決了一個天文學的難題（計算慧星軌道），這個問題經幾個著名數學家幾個月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發明的方法，三天便完成了．然而過度的工作使他得了眼病，並且不幸右眼失明了，這時他才28歲．1741年歐拉應普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔任科學院物理數學所所長，直到1766年，後來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡，不料沒有多久，左眼視力衰退，最後完全失明．不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了．
沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發誓要把損失奪回來．在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最後的時刻，在一塊大黑板上疾書他發現的公式，然後口述其內容，由他的學生特別是大兒子A·歐拉（數學家和物理學家）筆錄．歐拉完全失明以後，仍然以驚人的毅力與黑暗搏鬥，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世，竟達17年之久．
歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠複述年青時代筆記的內容，心算並不限於簡單的運算，高等數學一樣可以用心算去完成．有一個例子足以說明他的本領，歐拉的兩個學生把一個複雜的收斂級數的17項加起來，算到第50位數字，兩人相差一個單位，歐拉為了確定究竟誰對，用心算進行全部運算，最後把錯誤找了出來．歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多複雜的分析問題．
約瑟夫·拉格朗日歐拉的風格是很高的，拉格朗日是稍後於歐拉的大數學家，從19歲起和歐拉通信，討論等周問題的一般解法，這引起變分法的誕生．等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得歐拉的熱烈讚揚，1759年10月2日歐拉在回信中盛稱拉格朗日的成就，並謙虛地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發表，使年青的拉格朗日的工作得以發表和流傳，並贏得巨大的聲譽．他晚年的時候，歐洲所有的數學家都把他當作老師，著名數學家拉普拉斯（Laplace）曾說過："歐拉是我們的導師．" 歐拉充沛的精力保持到最後一刻，1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯，那時天王星剛發現不久，歐拉就寫出了計算天王星軌道的要領，還和他的孫子逗笑，喝完茶後，突然疾病發作，菸斗從手中落下，口裡喃喃地說："我死了"，歐拉終於"停止了生命和計算"．
學術成就
數學史上公認的4名最偉大的數學家分別是：阿基米德、牛頓、歐拉和高斯。阿基米德有“翹起地球”的豪言壯語，牛頓因為蘋果聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉沒有戲劇性的故事讓人印象深刻。
第六版10元瑞士法郎正面的歐拉肖像然而，幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函式、變分法的歐拉方程、複變函數的歐拉公式……歐拉還是數學史上最多產的數學家，他一生寫下886種書籍論文，平均每年寫出800多頁，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了47年。他的著作《無窮小分析引論》、《微分學》、《積分學》是18世紀歐洲標準的微積分教科書。歐拉還創造了一批數學符號，如f(x)、Σ、i、e等等，使得數學更容易表述、推廣。並且，歐拉把數學套用到數學以外的很多領域。
法國大數學家拉普拉斯曾說過一句話——讀讀歐拉，他是所有人的老師。中國科學院數學與系統科學研究院研究員李文林表示：“歐拉其實是大家很熟悉的名字，在數學和物理的很多分支中到處都是以歐拉命名的常數、公式、方程和定理，他的探索使得科學更接近我們現在的形態。”
他讓微積分長大成人
英國數學家、自然科學家牛頓恩格斯曾說，微積分的發明是人類精神的最高勝利。1687年，牛頓在《自然哲學數學原理》一書中首次公開發表他的微積分學說，幾乎同時，萊布尼茨也發表了微積分論文，但牛頓、萊布尼茨創始的微積分基礎不穩，套用範圍也有限。18世紀一批數學家拓展了微積分，並拓廣其套用產生一系列新的分支，這些分支與微積分自身一起形成了被稱為“分析”的廣大領域。李文林說：“歐拉就生活在這個分析的時代。如果說在此之前數學是代數、幾何二雄並峙，歐拉和18世紀其他一批數學家的工作則使得數學形成了代數、幾何、分析三足鼎立的局面。如果沒有他們的工作，微積分不可能春色滿園，也許會打不開局面而荒蕪凋零。歐拉在其中的貢獻是基礎性的，被尊為‘分析的化身’。”
中國科學院數學與系統科學研究院研究員胡作玄說：“牛頓形成了一個突破，但是突破不一定能形成學科，還有很多遺留問題。”比如，牛頓對無窮小的界定不嚴格，有時等於零有時又參與運算，被稱為“消逝量的鬼魂”，當時甚至連教會神父都抓住這點攻擊牛頓。另外，由於當時函式有局限，牛頓和萊布尼茨只涉及到少量函式及其微積分的求法。而歐拉極大地推進了微積分，並且發展了很多技巧。
約翰·伯努利“在分析之前，數學主要是解決常量、勻速運動問題。18世紀工業革命時，以蒸汽機紡織機等機械為主體技術得到廣泛運用，但如果沒有微積分、沒有分析，就不可能對機械運動與變化進行精確計算。”李文林表示，到為止，微積分和微分方程仍然是描寫運動的最有效工具，教科書中陳述的方法，不少屬歐拉的貢獻。更重要的是，牛頓、萊布尼茨微積分的對象是曲線，而歐拉明確地指出，數學分析的中心應該是函式，第一次強調了函式的角色，並對函式的概念作了深化。
變分法來源於微積分，後來由歐拉和拉格朗日從不同的角度把它發展成一門獨立學科，用於求解極值問題。而變分學起源頗富戲劇性——1696年，歐拉的老師、巴塞爾大學教授約翰·伯努利提出這樣一個問題，並向其他數學家挑戰：構想一個小球從空間一點沿某條曲線滾落到(不在同一垂直線上的)另外一點，問什麼形狀的曲線使球降落用時最短。這就是著名的“最速降線問題”，半年之後仍沒人解出，於是伯努利更明確地表示“即使是那些對自己的方法自視甚高的數學家也解決不了這個問題”。有人說他在影射牛頓，因為伯努利是萊布尼茨的追隨者，而萊布尼茨和牛頓正因為微積分優先權的問題在“打仗”，並導致歐洲大陸和英國數學家的分裂。
當時牛頓任倫敦造幣局局長。有一天他收到一個法國朋友轉寄的“挑戰書”，於是吃過晚飯後挑燈夜戰，天亮前解了出來，匿名發表在劍橋大學《哲學會刊》。雖是匿名，但約翰·伯努利看到之後驚呼：“從這鋒利的爪我認出了這頭雄獅。”後來伯努利兄弟和萊布尼茨也都解出了這個問題，發表在同一期刊物上。
在這個問題中，變數本身就是函式，因此比微積分的極大極小值問題更為複雜。這個問題和其他一些類似問題的解決，成為變分法的起源。歐拉找到了解決這類問題的一般方法，教科書中變分法的基本方程就叫歐拉方程。
歐拉13歲上大學時，約翰·伯努利已經是歐洲很有名的數學家，伯努利後來對歐拉說，“我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，而你正在將它帶大成人。”
全才數學家
皮埃爾-費馬![歐拉[萊昂哈德·歐拉]](/img/9/b30/wZwpmL1ETOzgjM1MjN1ATN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzYzLxgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
歐拉[萊昂哈德·歐拉]李文林說：“除了分析，很多數學領域都繞不開歐拉的名字。如數論，高斯說數學是科學的皇后，而數論是數學的皇后，其難度和地位可想而知。”代數數論的形成和費馬大定理有很深的關係。費馬17世紀提出的一個猜想——方程，當n≥3時沒有整數解。費馬猜想也稱費馬大定理，費馬在提出這一猜想的同時，在紙邊寫了一句話宣稱：“我已找到了一個奇妙的證明，但書邊空白太窄，寫不下。”於是費馬的證明已成千古之謎。此後經過300年，直到1993年費馬大定理才被英國數學家最終解決。整個18世紀，數學家們都想解決這個猜想，但只有歐拉作出了唯一的成果，證明了n=3的情況，成為費馬大定理研究的第一個突破。
歐拉是解析數論的奠基人，他提出歐拉恆等式，建立了數論和分析之間的聯繫，使得可以用微積分研究數論。後來，高斯的學生黎曼將歐拉恆等式推廣到複數，提出了黎曼猜想，至今沒有解決，成為向21世紀數學家挑戰的最重大難題之一。
“在幾何方面，歐拉解決了哥尼斯堡七橋問題，這也成為圖論、拓撲學的濫觴。”李文林說。哥尼斯堡曾是德國城市，後屬蘇聯。普雷格爾河穿城而過，並繞流河中一座小島而分成兩支，河上建了7座橋。傳說當地居民想設計一次散步，從某處出發，經過每座橋回到原地，中間不重複。李文林說：“這就是今天的‘一筆畫’問題，但在當時沒人能解決。歐拉將這個問題變成一個數學模型，用點和線畫出網路狀圖，證明這種走法不存在，解決了哥尼斯堡七橋問題。對此類問題的討論研究，事實上引導了圖論和拓撲學的發展。”
拓撲學中的歐拉示性數也溯源於歐拉1752年提出的關於凸多面體的一條定理：
歐拉示性數溯源於歐拉提出的凸多面體的定理在一凸多面體中，頂點數-棱邊數+面數=2。
陳省身曾指出歐拉示性數是很多問題和解決辦法的來源，對幾何學的影響是根本性的。李文林說：“因為數學好，歐拉得以解決很多其他領域的問題。物理、力學、天文學、航海、大地測量等等到處都有歐拉的貢獻，他是典型的全才數學家。牛頓、萊布尼茨發明的微積分可以說是‘原生態’，而歐拉18世紀寫的文章我們現在依然能讀，可以說歐拉等人使得數學特別是分析向現代形式發展。”
最多產的數學家
最多產的數學家歐拉歐拉是歷史上最多產的數學家。瑞士自然科學基金會組織編寫《歐拉全集》，計畫出84卷，每卷都是4開本(一張報紙大小)。如果按每本300頁計算，歐拉從18歲開始每天得寫1張半紙。然而這些只是遺存的作品，歐拉的手稿在1771年彼得堡大火中還丟失了一部分。歐拉曾說他的遺稿大概夠彼得堡科學院用20年。但實際上在他去世後的第80年，彼得堡科學院院報還在發表他的論著。
“天才在於勤奮，歐拉就是這條真理的化身。”李文林表示，“很多科學家都很勤奮，而歐拉最為典型。他失明後的十多年都是在完全看不見的情況下作研究。歐拉心算能力很強，可以通過口述讓別人記錄。有一次歐拉的兩個學生算無窮級數求和，算到第17項時兩人在小數點後第50位數字上發生爭執，歐拉這時進行心算，迅速給出了正確答案。”
“高斯的神童故事雖然有趣，但並不是每個人都是神童。即使是身為神童的高斯，其勤奮也是出名的。可以說凡有大成就的數學家必有大勤奮。”李文林舉例說，被譽為“現代分析之父”的德國數學家魏爾斯特拉斯也是異常勤奮。大學畢業後他在一所偏僻的中學任教14年，教數學、德語、書法、體育，每天晚上以驚人的毅力堅持研究，當時工資很低，連投稿的郵費都沒有。後來由於偶然的機會他的研究論文被德國數學家克萊爾創辦的數學雜誌發表出來(克萊爾雜誌以幫助沒出名的年輕學子發表創新成果而著稱)，震驚了歐洲科學界。
胡作玄認為，歐拉的成功說明了一個人的潛能。“高斯曾說，要像歐拉那樣做，我的眼睛也要瞎了。一個人要想做事是沒有問題的，只是現在社會比較複雜，我們應該為科學而科學，為藝術而藝術。”
除了做學問，歐拉還很有管理天賦，他曾擔任德國柏林科學院院長助理職務，並將工作做得卓有成效。李文林說：“有人認為科學家尤其數學家都是些怪人，其實只不過數學家會有不同的性格、閱歷和命運罷了。牛頓、萊布尼茨都終身未婚，歐拉卻不同。”歐拉喜歡音樂、生活豐富多彩，結過兩次婚，生了13個孩子，存活5個，據說工作時往往兒孫繞膝。他去世的那天下午，還給孫女上數學課，跟朋友討論天王星軌道的計算。突然說了一句“我要死了”，說完就倒下，停止了生命和計算。
歐拉恆等式，歐拉常數，歐拉示性數等回顧歐拉的一生，李文林認為：“雖然他20歲離開瑞士，一直沒有回去過，但他卻是一個愛國者，至死沒有改變國籍。所以現在我們還能說他是瑞士數學家。”
“牛頓、萊布尼茨、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯都是全面的數學家。後來隨著科學的發展，全才越來越少，有人說龐加萊也許是最後一個。”但是數學並不會因此枯萎，李文林說：“18世紀末曾有一種悲觀主義在數學家中蔓延，連拉格朗日這樣的大數學家都認為數學到頭了，但事實相反，19世紀初非歐幾何的發現、群論的創立以及微積分嚴格化的突破，使數學獲得了意想不到的蓬勃發展。現代數學，特別是跟計算機結合起來之後，肯定還會有新的形態。”
主要成就
各領域貢獻
分析學在數學領域內，18世紀可正確地稱為歐拉世紀。歐拉是18世紀數學界的中心人物。他是繼牛頓（Newton）之後最重要的數學家之一。在他的數學研究成果中，首推第一的是分析學。歐拉把由伯努利家族繼承下來的萊布尼茨學派的分析學內容進行整理，為19世紀數學的發展打下了基礎。他還把微積分法在形式上進一步發展到複數範圍，並對偏微分方程，橢圓函式論，變分法的創立和發展留下先驅的業績。在《歐拉全集》中，有17卷屬於分析學領域。他被同時代的人譽為“分析的化身”。
1．數論
歐拉的一系列成奠定作為數學中一個獨立分支的數論的基礎。歐拉的著作有很大一部分同數的可除性理論有關。歐拉在數論中最重要的發現是二次反律。
2．代數
歐拉《代數學入門》一書，是16世紀中期開始發展的代數學的一個系統總結。
3．無窮級數
歐拉的《微分學原理》（Introductio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部論著，他第一個引進差分運算元。歐拉在大量地套用冪級數時，還引進了新的極其重要的傅立葉三角級數類。1777年，為了把一個給定函式展成在（0，“180”）區間上的餘弦級數，歐拉又推出了傅立葉係數公式。歐拉還把函式展開式引入無窮乘積以及求初等分式的和，這些成果在後來的解析函式一般理論中占有重要的地位。他對級數的和這一概念提出了新的更廣泛的定義。他還提出了兩種求和法。這些豐富的思想，對19世紀末，20世紀初發散級數理論中的兩個主題，即漸近級數理論和可和性的概念產生了深遠影響。
4．函式概念
歐拉寫的數學名著《無窮分析引論》18世紀中葉，分析學領域有許多新的發現，其中不少是歐拉自已的工作。它們系統地概括在歐拉的《無窮分析引論》、《微分學原理》和《積分學原理》組成的分析學三部曲中。這三部書是分析學發展的里程碑四式的著作。
5．初等函式
![歐拉[萊昂哈德·歐拉]](/img/6/281/wZwpmL0MDOxIjMxMTMzEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzEzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
歐拉[萊昂哈德·歐拉] 歐拉[萊昂哈德·歐拉]《無窮分析引論》第一卷共18章，主要研究初等函式論。其中，第八章研究圓函式，第一次闡述了三角函式的解析理論，並且給出了棣莫弗（de Moivre）公式的一個推導。歐拉在《無窮分析引論》中研究了指數函式和對數函式，他給出著名的表達式——歐拉恆等式（表達式中用表示趨向無窮大的數；1777年後，歐拉用表示虛數單位 ），但僅考慮了正自變數的對數函式。1751年，歐拉發表了完備的複數理論。
6．單複變函數
通過對初等函式的研究，達朗貝爾和歐拉在1747－1751年間先後得到了（用現代數語表達的）複數域關於代數運算和超越運算封閉的結論。他們兩人還在分析函式的一般理論方面取得了最初的進展。
7．微積分學
歐拉圓歐拉的《微分學原理》和《積分學原理》二書對當時的微積分方法作了最詳盡、最有系統的解說，他以其眾多的發現豐富可無窮小分析的這兩個分支。
8．微分方程
《積分原理》還展示了歐拉在常微分方程和偏方程理論方面的眾多發現。他和其他數學家在解決力學、物理問題的過程中創立了微分方程這門學科。
在常微分方程方面，歐拉在1743年發表的論文中，用代換給出了任意階常係數線性齊次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名詞。1753年，他又發表了常係數非齊次線性方程的解法，其方法是將方程的階數逐次降低。
歐拉在18世紀30年代就開始了對偏微分程的研究。他在這方面最重要的工作，是關於二階線性方程的。
9．變分法
1734年，他推廣了最速降線問題。然後，著手尋找關於這種問題的更一般方法。1744年，歐拉的《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的方法》一書出版。這是變分學史上的里程碑，它標誌著變分法作為一個新的數學分析的誕生。
歐拉解決了哥尼斯堡七橋問題，開創了圖論10．幾何學
坐標幾何方面，歐拉的主要貢獻是第一次在相應的變換里套用歐拉角，徹底地研究了二次曲面的一般方程。
微分幾何方面，歐拉於1736年首先引進了平面曲線的內在坐標概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何研究。1760年，歐拉在《關於曲面上曲線的研究》中建立了曲面的理論。這本著作是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，是微分幾何發展史上的里程碑。
歐拉對拓撲學的研究也是具有第一流的水平。1735年，歐拉用簡化（或理想化）的表示法解決了著名的歌尼斯堡七橋遊戲問題，得到了具有拓撲意義的河－橋圖的判斷法則，即現今網路論中的歐拉定理。
11．力學
歐拉將數學分析方法用於力學，在力學各個領域中都有突出貢獻；他是剛體動力學和流體力學的奠基者，彈性系統銷定性理論的開創人。在1736年出版的兩卷集《力學或運動科學的分析解說》中，他考慮了自由質點和受約束質點的運動微分方程及其解。歐拉在書中把力學解釋為“運動的科學”，不包括“平衡的科學”即靜力學。在力學原理方面，歐拉贊成P.-L.M.de馬保梯的最小作用量原理。在研究剛體運動學和剛體動力學中，他得出最基本的結果，其中有：剛體定點有限轉動等價於繞過定點某一軸的轉動，剛體定點運動可用三個角度（稱為歐拉角）的變化來描述；剛體定點轉動時角速度變化和外力矩的關係；定點剛體在不受外力矩時的運動規律（稱為定點運動的歐拉情況，這一成果1834年由L.潘索作出幾何解釋）,以及自由剛體的運動微分方程等。這些成果均載於他的專著《剛體運動理論》（1765）一書中。歐拉認為，質點動力學微分方程可以套用於液體（1750）。他曾用兩種方法來描述流體的運動，即分別根據空間固定點（1755）和根據確定流體質點（1759）描述流體速度場。這兩種方法通常稱為歐拉表示法和拉格朗日表示法。歐拉奠定了理想流體（假設流體不可壓縮，且其粘性可忽略）的運動理論基礎，給出反映質暈守恆的連續性方程（1752）和反映動量變化規律的流體動力學方程（1755）。 歐拉研究過弦、桿等彈性系統的振動。他和丹尼爾第一·伯努利一起分析過上端懸掛著的重鏈的振動以及相應的離散模型（掛有一串質量的線）的振動。他在丹尼爾第一· 伯努利的幫助下，得到彈性受壓細桿在失穩後的撓曲線——彈性曲線（elastica）的精確解。能使細桿產生這種撓曲的最小壓力後被稱為細桿的歐拉臨界載荷。歐拉在套用力學如彈道學、船舶理論、月球運動理論等方面也有研究。
其他貢獻
歐拉的一生，是為數學發展而奮鬥的一生，他那傑出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮鬥精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的．歐拉還創設了許多數學符號，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．
歐拉線歐拉和丹尼爾·伯努利一起，建立了彈性體的力矩定律：作用在彈性細長桿上的力矩正比於物質的彈性和通過質心軸和垂直於兩者的截面的慣性動量。
他還直接從牛頓運動定律出發，建立了流體力學裡的歐拉方程。這些方程組在形式上等價於粘度為0的納維-斯托克斯方程。人們對這些方程的主要興趣在於它們能被用來研究衝擊波。
他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創始人，這些計算法被用於計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。
在數論里他引入了歐拉函式。
自然數的歐拉函式被定義為小於並且與互質的自然數的個數。例如φ（8）=4，因為有四個自然數1，3，5和7與8互質。
在計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法也正是以歐拉函式為基礎的。
數學中最美的公式——歐拉恆等式在分析領域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數。
他在1735年由於解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲。
歐拉將虛數的冪定義為歐拉公式，它成為指數函式的中心。
在初等分析中，從本質上來說，要么是指數函式的變種，要么是多項式，兩者必居其一。被理察·費曼稱為“最卓越的數學公式'”的則是歐拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恆等式）。
在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數。他是歐拉-馬歇羅尼公式的發現者之一，這一公式在計算難於計算的積分、求和與級數的時候極為有效。
在1739年，歐拉寫下了《音樂新理論的嘗試(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，書中試圖把數學和音樂結合起來。一位傳記作家寫道：這是一部"為精通數學的音樂家和精通音樂的數學家而寫的"著作。
歐拉的發明——數獨在經濟學方面，歐拉證明，如果產品的每個要素正好用於支付它自身的邊際產量，在規模報酬不變的情形下，總收入和產出將完全耗盡。
在幾何學和代數拓撲學方面，歐拉公式給出了單聯通多面體的邊、頂點和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之間存在的關係。
在1736年，歐拉解決了柯尼斯堡七橋問題，並且發表了論文《關於位置幾何問題的解法 》，對一筆畫問題進行了闡述，是最早運用圖論和拓撲學的典範。
數獨是歐拉發明的拉丁方塊的概念，在當時並不流行，直到20世紀由平凡日本上班族鍛治真起，帶起流行。
歐拉全集
計算和著作
以萊昂哈德·歐拉為圖案的10瑞士法郎紙幣“歐拉進行計算看起來毫不費勁兒，就像人進行呼吸，像鷹在風中盤旋一樣。”(阿拉戈說)，這句話對歐拉那無與倫比的數學才能來說並不誇張，他是歷史上最多產的數學家。與他同時代的人們稱他為“分析的化身”。歐拉撰寫長篇學術論文就像一個文思敏捷的作家給親密的朋友寫一封信那樣容易。甚至在他生命最後17年間的完全失明也未能阻止他的無比多產，如果說視力的喪失有什麼影響的話，那倒是提高了他在內心世界進行思維的想像力。
歐拉到底出了多少著作，直至1936年人們也沒有確切的了解。但據估計，要出版已經蒐集到的歐拉著作，將需用大4開本60至80卷。彼得堡學院為了整理他的著作整整花了47年。1909年瑞士自然科學聯合會曾著手蒐集、出版歐拉散軼的學術論文。這項工作是在全世界許多個人和數學團體的資助之下進行的。這也恰恰顯示出，歐拉屬於整個文明世界，而不僅僅屈於瑞士。為這項工作仔細編制的預算(1909年的錢幣約合80000美元)卻又由於在聖彼得堡(列寧格勒)意外地發現大量歐拉手稿而被完全打破了。
《歐拉全集》
據統計，歐拉一生平均每年發表八百頁的學術論文，內容涵蓋多個學術範疇。1911年，數學界系統地開始出版歐拉的著作，並定名為《歐拉全集》(Opera Omnia)，全集計畫出84卷，迄今已上架者已有80卷，剩餘還剩下4卷正在籌備中。平均每卷厚達五百多頁，重約四磅。預計《歐拉全集》全部出齊時約重三百磅。
時代背景
分析的時代
歐拉的數學生涯開始於牛頓(Newton)去世的那一年。對於歐拉這樣一個天才人物，不可能選擇到一個更有利的時代了。解析幾何(1637年問世)已經套用了90年，微積分大約50年，牛頓(Newton)萬有引力定律這把物理天文學的鑰匙，擺到數學界人們面前已40年。在這每一個領域之中，都已解決了大量孤立的問題，同時在各處做了進行統一的明顯嘗試。但是還沒有像後來做的那樣，對整個數學，純粹數學和套用數學，進行任何有系統的研究。特別是笛卡兒(Descrates)、牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz)強有力的分析方法還沒有像後來那樣被充分運用，尤其在力學和幾何學中更是如此。
雅可比那時代數學和三角學已在一個較低的水平上系統化並擴展了。特別是後者已經基本完善。歐拉也證明了他確是個大師。事實上，歐拉多方面才華的最顯著特點之一，就是在數學的兩大分支－－連續的和離散的數學中都具有同等的能力。
作為一個算法學家，歐拉從沒有被任何人超越過。也許除了雅可比之外，也沒有任何人接近過他的水平。算法學家是為解決各種專門問題設計算法的數學家。舉個很簡單的例子，我們可以假定(或證明)任何正實數都有實數平方根。但怎樣才能算出這個根呢？已知的方法有很多，算法學家則要設計出切實可行的具體步驟來。再比如，在丟番圖分析中，還有積分學裡，當一個或多個變數被其他變數的函式進行巧妙的(常常是簡單的)變換之前，問題往往不可能解決。算法學家就是自然地發現這種竅門的數學家。他們沒有任何同一的程式可循，算法學家就像隨口會作打油詩的人－－是天生的，而不是造就的。
當一個真正偉大的算法學家像印度的羅摩奴闍一樣不知從什麼地方意外來臨的時候，就是有經驗的分析學者也會歡呼他是來自天國的恩賜：他那簡直神奇的對表面無關公式的洞察力，會揭示出隱藏著的由一個領域導向另一個領域的線索。從而使分析學者得到為他們提供的弄清這些線索的新題目。算法學家是"公式主義者"，他們為了公式本身的緣故而喜歡美觀的形式。
環境的因素
在談到歐拉平靜而有趣的生活之前，我們必須介紹一下他那個時代的兩個環境因素，這些因素促進了他的驚人的活躍，並對他的活動有指導作用。
在18世紀的歐洲，大學不是學術研究的主要中心。假如沒有古典派的傳統及其對科學研究的可以想像的敵意，大學本來是可以成為主要中心的。數學對於古代人足夠嚴密，受到重視；而物理學比較新，受到人們的懷疑。此外，在當時的大學裡，人們希望數學家把他的大部分力量放在基礎教學上。至於學術研究，如果搞的話，那將是毫無益處的奢侈，就像今天在一般的美國高等學校里那樣。那時候英國大學的研究員們能夠把他們選擇的課題搞得相當好。然而，他們很少願意選擇什麼課題，反正搞成了什麼或沒搞成什麼都不會對他們的麵包和黃油產生影響。在如此的鬆弛，或者說公開的敵意之下，根本沒有什麼好理由來解釋為什麼那些大學本來應該在科學發展中起帶頭作用，而事實上卻沒有起到。
萊布尼茨這個帶頭的責任由得到慷慨或有遠見的統治者所資助的各個皇家科學院承擔了。普魯士腓特烈大帝和俄國葉卡捷琳娜女皇慷慨地給了數學以無法報償的資助。他們使得數學的發展有可能在整整一個世紀之中處於科學史上一個最活躍的時期。對歐拉來說，是柏林和聖彼得堡提供了數學創作的力量。而這兩個創造力的中心都應當把它們對歐拉的激勵歸功於萊布尼茨(Leibniz)不斷進取的雄心。是萊布尼茨(Leibniz)起草過規劃的這兩個科學院給歐拉提供了成為歷史上最多產的數學家的機會。因而，在某種意義上說，歐拉是萊布尼茨(Leibniz)的苗裔。
柏林科學院由於缺乏頭腦而日漸衰敗已有40年，歐拉在腓特烈大帝的鼓勵下給了它有力的衝擊，使它再次有了生氣。彼得大帝在世時沒來得及按照萊布尼茨(Leibniz)的規劃建立起來的聖彼得堡科學院，則由他的繼位者建立起來了。
這兩個科學院不像今天一些科學院那樣以鑑定精心撰寫的優秀著作，授予院士資格為主要職責。它們是研究機構，僱傭院士進行科學研究。薪水和津貼金很優厚，使人足以保證本身家庭的舒適生活。歐拉的家屬一度不少於18個人，他還是足以維持他們都過著豐裕的生活。使18世紀院士生活具有吸引力的最後一點是，他的孩子們只要有任何一點才能，都肯定會得到很好的施展機會。
接下來我們就會看到對歐拉的豐碩數學成果具有決定性影響的第二個因素。提供財政支持的統治者很自然地會希望他們的金錢除開抽象的文化之外再多換到些東西。但必須強調的是，一旦統治者的投資得到了適當的報償，他們就不再堅持要受僱傭的人把剩餘時間也花到"生產性"工作上了。歐拉、拉格朗日和其他院士們都可以自由地做他們樂意做的工作。沒有任何明顯的壓力來迫使誰搞出點什麼能被政府直接利用的實際成果。18世紀統治者們比今天許多研究院院長更明智的是讓科學按自己的規律發展的，只不過偶爾提到他們眼前需要什麼。他們似乎本能地意識到了，只要不時作個恰當的暗示，所謂的"純粹"研究就會把他們期待的緊迫實際問題作為副產品搞出來。
大航海時代這個籠統的說法有一個重要的例外，它既不證明，也不否定這個規律。剛巧在歐拉的時代，數學研究中懸而未決的問題正好與海洋霸權這個當時也許是第一等的實際問題聯繫在一起。航海技術勝過所有其他對手的國家必然會控制海洋。而航海的首要問題是在離岸數百海浬的大海中精確地確定艦船的位置，以使之比敵手更快地航抵海戰的地點(不幸，只是為了這個)。正如眾所周知的，英國控制了海洋。它能做到這一點，在很大程度上是由於它的航海家在18世紀能夠把天體力學中的純數學研究成果加以實際套用。這樣一項實際套用正與歐拉直接有關。現代航海的奠基人當是牛頓(Newton)，儘管他本人並不曾為這個問題費過腦筋，也從不曾(就人們迄今所知)踏上過一艘艦船的甲板。確定海上船的位置要靠觀測天體(在特別的航行中有時這要包括木星的衛星)。牛頓(Newton)萬有引力定律表明必要時以充分的耐心可以預先算出百年之內的行星位置和月相盈虧之後，希望控制海洋的那些人便安排航海天文歷的計算人員下苦功編制行星未來位置的表格。
歐拉的貢獻之一——月球問題在這一項很實用的事業中，月亮引出了特別棘手的問題，即牛頓定律彼此吸引的三個星體的問題。當我們進入20世紀的時候，這個問題還要重現許多次。歐拉是第一個為這個月球問題提出一種可以計算的解法(月球理論)的人。這三個相關星體是月亮、地球和太陽。雖然關於這個問題在這裡談不了什麼，要推到後幾章去，但我們可以說，這個問題是整個數學範疇內最難的問題之一。歐拉不曾具體解答這個問題，但他的近似計算方法(今天被更好的方法代替)具有充分的實用價值，足以使英國的計算人員為英國海軍部算出月球表了。為此，計算者獲得5000英鎊(當時這是相當大的一筆款子)，歐拉因其方法而得到300英鎊的獎金。
所獲評價
人類歷史上最有影響的100人之一
歐拉是18世紀最優秀的數學家，也是歷史上最偉大的數學家之一。十八世紀瑞士數學家和物理學家倫哈特·歐拉始終是世界最傑出的科學家之一。他的全部創造在整個物理學和許多工程領域裡都有著廣泛的套用。 歐拉的數學和科學成果簡直多得令人難以相信。他寫了三十二部足本著作，其中有幾部不止一卷，還寫下了許許多多富有創造性的數學和科學論文。總計起來，他的科學論著有七十多卷。歐拉的天才使純數學和套用數學的每一個領域都得到了充實，他的數學物理成果有著無限廣闊的套用領域。
歐拉的貢獻之一——流體力學早在上一個世紀，艾薩克·牛頓就提出了力學的基本定律。歐拉特別擅長論證如何把這些定律運用到一些常見的物理現象中。例如，他把牛頓定律運用到流體運動，建立了流體力學方程。同樣他通過認真分析剛體的可能運動並套用牛頓定律建立了一個可以完全確定剛體運動的方程組。當然在實際中沒有物體是完全剛體。歐拉對彈性力學也做出了貢獻，彈性力學是研究在外力的作用下固體怎樣發生形變的學說。
歐拉的天才還在於他用數學來分析天文學問題，特別是三體問題，即太陽、月亮和地球在相互引力作用下怎樣運動的問題。這個問題──二十一世紀仍要面臨的一個問題──尚未得到完全解決。順便提一下，歐拉是十八世紀獨一無二的傑出科學家。他支持光波學說，結果證明他是正確的。
歐拉豐富的頭腦常常為他人做出成名的發現開拓前進的道路。例如，法國數學家和物理學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日創建一方程組，叫做“拉格朗日方程”。此方程在理論上非常重要，而且可以用來解決許多力學問題。但是由於基本方程是由歐拉首先提出的，因而通常稱為歐拉—拉格朗日方程。一般認為另一名法國數學家讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉創造了一種重要的數學方法，叫做傅立葉分析法，其基本方程也是由倫哈特·歐拉最初創立的，因而叫做歐拉—傅立葉方程。這套方程在物理學的許多不同的領域都有著廣泛的套用，其中包括聲學和電磁學。
![歐拉[萊昂哈德·歐拉]](/img/c/916/wZwpmL2ETNxQzN1MzNwIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzczLwIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
歐拉[萊昂哈德·歐拉]在數學方面他對微積分的兩個領域──微分方程和無窮級數──特別感興趣。他在這兩方面做出了非常重要的貢獻，但是由於專業性太強不便在此加以敘述。他對變分學和複數學的貢獻為後來所取得的一切成就奠定了基礎。這兩個學科除了對純數學有重要的意義外，還在科學工作中有著廣泛的套用。歐拉公式表明了三角函式和虛數之間的關係，可以用來求負數的對數，是所有數學領域中套用最廣泛的公式之一。歐拉還編寫了一本解析幾何的教科書，對微分幾何和普通幾何做出了有意義的貢獻。
歐拉的貢獻之一——拓撲學歐拉不僅在做可套用於科學的數學發明上得心應手，而且在純數學領域也具備幾乎同樣傑出的才能。但是他對數論做出的許多貢獻非常深奧難懂，不宜在此敘述。歐拉也是數學的一個分支拓撲學領域的先驅，拓撲學在二十世紀已經變得非常重要。
最後要提到的一點也很重要，歐拉對使用的數學符號製做出了重要的貢獻。例如，常用的希臘字母π代表圓周率就是他提出來的。他還引出許多其它簡便的符號，數學中經常使用這些符號。
即使沒有歐拉其人，他的一切發現最終也會有人做出。但是我認為做為衡量這種情況的尺度應該提出這樣的問題：要是根本就沒有人能做出他的發現，科學和現代世界會有什麼不同呢？就倫哈特·歐拉的情況而言，答案看來很明確：假如沒有歐拉的公式、方程和方法，現代科學技術的進展就會滯後不前，實際上看來是不可想像的。瀏覽一下數學和物理教科書的索引就會找到如下查照：歐拉角（剛體運動）、歐拉常數（無窮級數）、歐拉方程（流體動力學）、歐拉公式（複合變數）、歐拉數（無窮級數）、歐拉多角曲線（微分方程）、歐拉齊性函式定理摘微分方程）、歐拉變換（無窮級數）、伯努利—歐拉定律（彈性力學）、歐拉—傅立葉公式（三角函式）、歐拉—拉格朗日方程（變分學，力學）以及歐拉一馬克勞林公式（數字法），這裡舉的僅僅是最重要的例子。
德國郵票上的歐拉歐拉的著述浩瀚，不僅包含科學創見，而且富有科學思想，他給後人留下了極其豐富的科學遺產和為科學獻身的精神。歷史學家把歐拉同阿基米德、牛頓、高斯並列為數學史上的“四傑”。如今，在數學的許多分支中經常可以看到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。
從所有這一切來看，有些人可能要問為什麼在美國學者麥可.哈特在其所著的《歷史上最有影響的100人》中沒有把歐拉的名次排得更高些，其主要原因在於雖然歐拉在論證如何套用牛頓定律方面獲得了傑出的成就，但是他自己從未發現任何獨創的科學定律，這就是為什麼要把威廉·康拉德，倫琴和格雷戈爾·孟德爾這樣的人物排在他前面的原因。他們每個人主要是發現了新的科學現象或定律。儘管如此，歐拉對科學、工程學和數學的貢獻還是巨大的。
大師評價
法國數學家拉普拉斯歐拉計算起來輕鬆自如， 就像人們呼吸， 鷹在空中飛翔。
------ D.F.J.Arago （阿拉戈）
學習歐拉的著作，乃是認識數學最好的工具。
------ Johann Carl Friedrich Gauss （卡爾·弗里德里希·高斯）
今天的學生從歐拉的無窮分析引論中所能獲得的益處, 是現代任何一本教科書都不能比擬的。
------ A.Weil（外爾）
讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師。
------Pierre-Simon Laplace（皮埃爾-西蒙·拉普拉斯）
我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，而你正在將它帶大成人。
------Johann Bernoulli（約翰·伯努利）
紀念活動
前蘇聯
前蘇聯於1957年發行的郵票俄羅斯的近代數學可以認為從歐拉開始的，歐拉在俄國生活了 30 多年，他積極將先進的科學知識傳入長期閉塞落後的俄羅斯，創立了俄羅斯第一個數學學派——歐拉學派，親手將一大批俄羅斯青年引進了輝煌的數學殿堂。這也就不難理解，在許多前蘇聯和俄羅斯的書籍里，都親切地稱歐拉是“偉大的俄羅斯數學家”。 為了紀念歐拉誕辰250周年，前蘇聯於1957年發行了印有歐拉頭像的郵票。文字內容為：歐拉，偉大的數學家和學者，誕辰250周年。
瑞士
瑞士於1957年發行：紀念歐拉的250周年誕辰在一個小國家裡誕生一位科學巨匠，這在世界史上並不多見。瑞士數學家歐拉便是其中最出色的一位，雖然他成年以後一直生活在兩座遙遠的異國城市：彼得堡和柏林，他的肖像畫卻出現在瑞士法郎上，與英鎊上的牛頓一起成為至今仍流通歐洲的紙幣上僅有的兩位科學家。1707年4月15日，歐拉出生在瑞士西北部鄰近法國和德國的巴塞爾，這座通用法語的城市至今人口仍不足20萬，卻擁有瑞士最早的學府———巴塞爾大學（1460），萊茵河蜿蜒著穿過她的中心。德國哲學家尼采年輕時曾在巴塞爾大學擔任過十年的古典文獻學教授，在那裡完成了他的代表作《悲劇的誕生》，並與在近郊安度晚年的音樂家華格納成為莫逆之交。
瑞士是歐拉的出生地，也是歐拉學習和生活過的地方，為了紀念歐拉的數學貢獻，以及對世界科學的影響，瑞士於1957年發行一套郵票，以此紀念歐拉的250周年誕辰，又於2007年發行新的紀念郵票，紀念歐拉誕辰300周年。
德國
德國於1957年發行的紀念歐拉的郵票1740年，安娜女皇退位並於當年去世，歐拉遂接受了普魯士國王腓特烈大帝的邀請，到柏林科學院擔任數學部主任。歐拉與普魯士國王相處並不愉快，因為國王喜歡溜須拍馬的大臣。腓特烈大帝之所以支持數學只是感到那是一種責任，但他從內心裡討厭這門學問，因為他自己的數學很蹩腳，這方面他無法與法蘭西皇帝拿破崙相比，後者自稱是個幾何學家，並與同時代所有的巴黎數學家都交上了朋友。即使達朗貝爾十分坦率地告訴普魯士國王，把任何其他數學家置於歐拉之上都是一種錯誤的行為。可惜的是，這不僅沒有讓自負的國王改變對歐拉的看法，反而變本加厲使得歐拉更難以忍受。為了自己子女的前途，歐拉只好打點行裝，離開了生活了25年之久的柏林，再次回到了寒冷的彼得堡，他的妻子和兒孫們也一同返回。
民主德國於1950年發行
前東德發行的歐拉逝世200周年紀念郵票在歐拉回到彼得堡之後，女皇以皇室的規格接待他，撥給他一棟可供全家18人居住的大房子和成套的家具，並派去自己的一個廚子。惱羞成怒的普魯士國王只得寫信給法國數學家拉格朗日，“歐洲最偉大的國王希望歐洲最偉大的數學家在他的宮裡。”顯而易見，他對歐拉的離任耿耿於懷。
為了紀念曾經生活在德國的歐拉，德國曾於1950年，1957年，1983年發行了紀念郵票。1950年，在紀念柏林科學院成立250周年的一套郵票中就有畫有歐拉頭像的郵票。1957年的"Famous Scientists"系列票中也有歐拉的頭像。1983年發行的紀念郵票是為了紀念歐拉的200周年忌辰。
中國
瑞士於2007年發行：紀念歐拉誕辰300周年為慶祝歐拉誕辰300周年，瑞士政府、中國科學院及中國教育部於2007年4月23日下午在北京的中國科學院文獻情報中心共同舉辦紀念活動，回顧歐拉的生平、工作及對現代生活的影響。瑞士教育與研究國務秘書Charles Kleiber在開幕致詞中說：“今天，我們在這裡紀念近代歷史上最偉大的學者之一。沒有歐拉的眾多科學發現，今天的我們將過著完全不一樣的生活。”
歐拉誕辰300周年紀念活動中國科學院副秘書長郭華東、教育部國際合作司司長助理徐永吉、中國科學院數學與系統科學研究院院長郭雷也分別發表了致詞。
值得一提的是，吳文俊院士也出席了紀念活動，並介紹了歐拉和中國古代數學家之間不謀而合的研究方向。
美國
谷歌Doodle紀念歐拉誕辰306周年2013年4月15日是歐拉誕辰的306周年，谷歌更換了首頁塗鴉向這位數學天才致敬。在那天的谷歌塗鴉中，融入了許多萊昂哈德・歐拉的數學成就。
萊昂哈德·歐拉搜尋結果歐拉與中國
歐拉在數論中證明過一個定理，如今叫中國剩餘定理，也叫孫子定理，在孫子算經中有一個簡單的特例，後由南宋數學家秦九韶給出了一般形式。後來歐拉、高斯分別重新發現了這個定理，並給出了證明。
歐拉的著作最初傳入中國，可追溯到大約250年前，由俄國傳教士帶進來，並送給天主教的一個支派“耶穌會”在中國的機構，曾收藏在北京天主教北堂的圖書館裡。然而，明、清年代中國數學已經日漸衰落，裹足不前，遠遠落後於歐洲。大約在乾隆年間傳入中國的歐拉著作只能束之高閣，無人問津。19世紀中葉，在李善蘭與英國傳教士合譯的《代微積拾級》，華蘅芳與美國傳教士傅蘭雅合譯的《微積溯源》中都介紹了歐拉和他的工作。中國人開始知道這位數學大家了，歐拉也登上了晚清人編寫的《疇人傳》。清末民初，西方的先進數學被引進中國，大學裡開設了“微積分”等課程，這才使得越來越多的中國人認識了歐拉，學習他的數學。
歐拉也是所有中國數學家和中國人的導師。這首先是因為每一個進入學校接受教育的人，都要學習他所創造的數學知識；這更是因為，他那苦難而光輝的一生給後世無限的啟迪，教導人們如何做人，如何做學問，如何生存。 遺憾的是，目前中國還沒有一家圖書館引進《歐拉全集》。
