公式定義
實數域上的狄利克雷(Dirichlet)函式表示為:(k,j為整數)
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也可以簡單地表示分段函式的形式D(x) = 0 (x是無理數) 或1 (x是有理數)
性質分析
基本性質
1、定義域為整個實數域 R
2、值域為 {0, 1}
3、函式為偶函式
4、無法畫出函式圖像,但是它的函式圖像客觀存在
5、以任意正有理數為其周期,無最小正周期(由實數的連續統理論可知其無最小正周期)
分析性質
1、處處不連續
2、處處不可導
3、在任何區間內黎曼不可積
4、函式是可測函式
5、在單位區間 [0,1] 上勒貝格可積,且勒貝格積分值為 0(且任意區間以及R上甚至任何R的可測子集上(區間不論開閉和是否有限)上的勒貝格積分值為0 )
對性質5的說明:雖然m(R/Q)=+∞,但在R/Q上有f(x)=0,符合可積條件(說明中Q為有理數集)。
函式周期
狄里克雷函式是周期函式,但是卻沒有最小正周期,它的周期是任意非零有理數(周期不能為0),而非無理數。因為不存在最小正有理數,所以狄里克萊函式不存在最小正周期。
創始人介紹
狄里克雷(1805~1859)Dirichlet,Peter Gustav Lejeune德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻,是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生於迪倫,1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆;1822~1826年在巴黎求學,深受J.-B.-J.傅立葉的影響 。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年,對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授,1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。
在分析學方面,他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函式是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。
在數論方面,他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1833年狄里克萊撰寫了《數論講義》,對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見,使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年,他構造了狄里克雷級數。1838~1839年,他得到確定二次型類數的公式。1846年,使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。
在數學物理方面,他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章,論及著名的第一邊界值問題,現稱狄里克雷問題。
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