概述
高斯分布函式解析基於魏爾斯特拉斯的定義，區域上的解析函式可以看作是其內任一小圓鄰域上冪級數的解析開拓，關於解析開拓的一般定義是，f（z）與g（z）分別是D與D*上的解析函式，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。則稱f（z）是g（z）由D*到D的解析開拓。解析開拓的概念可以推廣到這樣的情形：f（z）與g（z)分別是兩個圓盤D1與D2上的冪級數，且D1∩D2≠，在D1∩D2上f（z)=g（z)則也稱f與g互為解析開拓，把可以互為解析開拓的（f（z），Δ）的解析圓盤Δ全連起來，作成一個鏈。它們的並記作Ω，得到了Ω上的一個解析函式，稱它為魏爾斯特拉斯的完全解析函式，這裡可能出現這樣的情形，在連成一個鏈的圓盤中，有一些圓盤重疊在一起，但在這些重疊圓盤的每一個上的解析函式都是不一樣的，它們的每一個都稱為完全解析函式的分支。這樣的完全解析函式實際是一個多值函式。黎曼提出將多值解析函式中的那些重疊的圓盤看作是不同的“葉”，不使他們在求並的過程中只留下一個代表，於是形成了一種稱為黎曼面的幾何模型。將多值函式看作是定義於其黎曼曲面上的解析函式，這樣多值解析函式變成了單值解析函式。
邊值問題
尋求滿足一定邊界條件的解析函式的一類問題，這是解析函式論在許多理論和實際問題中套用極為廣泛的一個重要分支。下面是兩個最典型的例子。黎曼邊值問題
設l為複平面上一組有向的光滑曲線，把平面分割為若干個連通區域,要求一分區全純函式(即在上述每一個連通區域內全純）φ(z)使(1)式中G(t),g(t)都是已知函式，而φ+(t)和φ-(t)分別表示當z從l的正側（即沿l正向前進時的左側）和負側(右側)趨於l上一點時φ(z)的極限值亦即邊值。此外還應補充要求φ(z)在無窮遠處至多有一極點。如果l中含有開口弧段，則也應說明要求φ(z)在l的端點附近的性態:具有不到一階的奇異性。在G(t),g(t)滿足一定的條件時,這一問題已完全解決。希爾伯特邊值
設G為一區域，l為其邊界，取其正向使G在其左側，要求在G內的一全純函式φ(z)，使(2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已給的實函式。特別,當α(t)=1,b(t)=0時，則此希爾伯特邊值問題就是解析函式的狄利克雷問題。當α(t),b(t),с(t)滿足一定的條件時，上述邊值問題已有較完整的討論,但對G為多連通區域的情況還不能說已完全徹底解決。有人把黎曼邊值問題稱作希爾伯特邊值問題，而把希爾伯特邊值問題稱作黎曼－希爾伯特邊值問題。這兩個問題是有密切聯繫的，求解它們的主要工具都是柯西型積分。
進一步推廣是在(1)或(2)中可以含有或者含有φ+(α(t)),φ-(α(t))，其中α(t)為l映於自身的一個同胚映射，保向或逆向，稱為l的位移。這樣,相應的問題就稱為帶共軛的或帶位移的邊值問題，當然也有既帶共軛又帶位移的邊值問題。
如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N維分區全純向量，而把G(t),α(t),b(t)看作N×N矩陣,g(t),с(t)也看作N維向量,則就構成了分區全純向量的邊值問題。這類問題雖也有許多工作，但與N=1的情況相比較,還遠遠沒有達到完善的地步。
由於解析函式概念可推廣為廣義解析函式（基於把解析函式的實部、虛部所滿足的柯西－黎曼方程組推廣為較一般的一階偏微分方程組），因此解析函式邊值問題也可推廣為廣義解析函式邊值問題，這是把函式論與偏微分方程結合起來的一個方向。
基本性質
奇點
若函式f(z)在點z0不解析，但在z0任一鄰域內總有f(z)的解析點，則稱z0為f(z)的奇點。[1]定理
單連通域內解析函式的環路積分為0。復連通域內，解析函式的廣義環路積分（即包括內外邊界，內邊界取順時針為正）為0。
解析函式的導函式仍然是解析函式。
