理論簡介
概述
系統的一個狀態在相空間中有一個代表點P=(p,q），系統的運動就對應於點 P在相空間中的運動。如果系統是保守的，其總能量E便是常數，點P的運動就被限制在相空間中的等能面（稱為能量面）H=E之上。
假如系統的自由度n非常大,例如在一定容器中氣體分子的運動（巨觀上微小的體積中仍含有大量的分子），如果與外界沒有能量交換，就是一個保守的力學系統。這時 n=3N，N是分子的數目。因為人們無法去解如此巨大數目的哈密頓方程組，也無法實際地測得解方程時所必需的初始資料，所以不可能再用純經典力學的方法來研究這樣的系統。其實，系統中大量分子運動的綜合作用才決定出系統的巨觀性質。例如，氣體的單個分子只是斷續地衝撞容器壁，而大量分子衝撞的綜合平均作用才形成了氣體對器壁的穩定的壓強。
為了研究這類本質上是統計性質的運動規律，人們構想同時考慮都是含有N個粒子，處於同一外部條件之中並且具有同一哈密頓量，但微觀狀態不一樣的一切可能的系統。這些系統在相空間中的代表點就不一樣。這些巨觀條件一樣的一切可能的微觀系統的全體稱為系綜(ensemble）。
圖1.遍歷理論 L.E.玻耳茲曼，特別是J.W.吉布斯建立了完整的統計系綜方法，類比於流體力學中的劉維爾定理，證明了系綜的機率分布守恆定理。如果用φt(P）表示相點P 經過時間t之後在相空間中達到的點，那么φt便是相空間的一個變換。所謂機率守恆，就是說φt能使一定的機率測度保持不變。
如果某系綜相應的機率分布不顯含時間，就稱做穩定系綜。統計力學基本假設之一是認為真實的平衡物理系統在某時刻的狀態與其相應的穩定系綜在相空間中的點有相同的機率。
歷史
微分動力系統的遍歷理論，即光滑遍歷理論。20世紀60年代以來，對微分動力系統的遍歷性質的研究受到了普遍的重視。這一方面是因為引入了微分的工具使得處理問題簡明而又富有幾何直觀，具有數學理論上的價值；另一方面是因為這種系統的物理解釋概括了保守系統和耗散系統，內容更廣泛。微分動力系統的研究對象是微分流形M上的微分同胚φ或流 φt。有關的遍歷性研究往往涉及雙曲性條件。
所謂微分同胚φ在不變集Λ上有雙曲結構，是指M的切空間叢在Λ上可以連續地分解成兩部分，φ的微分Dφ在其中一部分上的作用是壓縮而在另一部分上的作用是擴張。繼Д.Β.阿諾索夫1963年的開創性工作之後，數學家們證明了：在整個流形上有雙曲結構的系統（阿諾索夫系統）是遍歷的。隨後，S.斯梅爾、R.鮑恩和D.呂埃爾將這方面的研究推廣到更為一般的公理A 系統（周期點在非遊蕩集中稠密並且非遊蕩集具有雙曲結構的系統）。他們證明了：公理A系統的非遊蕩集Ω可以分解成有限多塊Ω1，Ω2，…，Ωk，系統限制在每一塊上都具有遍歷性。
在這樣的分解中必定存在某些塊Ωi使得鄰近的軌道都趨於該塊。這樣的塊稱為吸引子。公理A系統是一種耗散系統，吸引子上的適當的不變測度表示這一系統的平衡態。
原理
微分動力系統中相當多的運動趨於吸引子。除去不動點、周期軌道、不變環面這些平凡的吸引子外，還有所謂奇異吸引子。這種吸引子一方面吸引外部的點向它靠攏，另一方面其內部的點又互相排斥、互相離開。由於運動的區域有限，在奇異吸引子的範圍之內勢必產生許多摺疊、孔洞，使運動呈現複雜、紛繁、混亂的圖景。這種運動對初始條件非常敏感，最初的微小差異可導致後來軌道的巨大區別，因而運動表現出某種隨機性。這種運動的另一特點是自相似性，即運動的某些局部會具體而微地不斷呈現縮小了的整個運動的圖景。這一類運動被稱為混沌，是近年來引起廣泛興趣的研究課題。
關於微分動力系統的遍歷性質的某些進一步的研究，涉及雙曲性概念的某種推廣。廖山濤於1963年和Β.И.奧謝列傑茨於1965年的工作在微分動力系統的研究中引入了李亞普諾夫指數的概念。利用這一概念可以定義非一致雙曲性，即在平均意義下的雙曲性。奧塞列傑茨證明了與這一概念相關聯的乘法遍歷定理。70年代中期，Б.佩辛對非一致雙曲集的遍歷性進行了深入的研究，得到了與公理A系統的有關研究相類似的結果。此外，為了深入了解運動的複雜性，人們還探索熵、李亞普諾夫指數、豪斯多夫維數等量的相互關係，探索在怎樣的條件下會出現符號動力系統，在這方面也取得了值得重視的結果。
目標
在遍歷理論的數學研究不斷深入的過程中，這一理論的最初目標（證明各種具體的哈密頓力學系統的遍歷性）始終仍然是人們最重視的問題之一。有一類哈密頓系統稱為可積系統，這種系統的能量面分解成一些不變環面，每一軌道在所屬的環面上運動。這樣的系統不能在整個能量面上具有遍歷性。原來人們以為這種情形或許是少數例外，或許經過小擾動之後就會消失。
從50年代到60年代，柯爾莫哥洛夫，Β.И.阿諾爾德和J.K.莫澤對這一情形進行了深入的研究.他們得到的KAM定理（見哈密頓系統）指出：上述狀況經過小擾動並不會消失，大部分不變環面仍然存在，只是形狀稍有改變。這一意義重大的定理表明，遍歷的力學系統並不像人們原來想像的那么多。
雖然如此，人們並不因此對遍歷性的統計物理套用持懷疑態度，因為至少對於一些重要的情形來說從這一理論推導出的結果與實驗事實吻合。1963年，Я.Γ.西奈依從數學理論上也證明了統計力學中重要的剛球氣體模型確實具有遍歷性。而辛欽早年的一項研究也指出：當系統的自由度無限增大時，遍歷的可能性也就越來越增大。
測量方法
但實驗中的量測總要經歷一段時間。即使巨觀上很短的時間，從微觀的角度來考察也是相當長的。例如，在0℃和1大氣壓下，1立方厘米體積中的氣體分子每秒鐘大約碰撞10 次，即使在10 秒這樣巨觀很短的時間裡，碰撞也達10 次。所以，巨觀量測的物理量，都是一個微觀相當長時間的平均值，可以認為就是。但這一（極限）平均值無法從微觀的力學分析中推算出來，因為無法確定相軌道的初始數據。為了用微觀的力學分析解釋巨觀的物理現象，統計力學中提出了以下基本原理（或基本假設）：對於平衡物理系統，物理量在相空間中按機率測度的平均應等於這物理量沿一軌道的時間平均。
為了支持這一基本原理的引入，玻耳茲曼提出所謂遍歷假設，認為一條相軌線可以跑遍（或者說充滿）整個能量面。以後又有人提出準遍歷假設，認為一條相軌線可以任意接近能量面上的任何一點。然而數學的研究指出，上述遍歷假設不可能成立，而準遍歷假設又不足以保證“相平均=時間平均”。因此，以後關於統計力學數學基礎的研究，集中注意力於“相平均=時間平均”這一條件本身，把滿足這一條件的系統稱為是遍歷的，或者稱為是具有遍歷性的。自20世紀30年代開始，以G.D.伯克霍夫、J.馮·諾伊曼、Α.Я.辛欽和其他許多數學家的工作為標誌，關於遍歷性的研究形成了一個重要的數學分支。
遍歷定理
上述問題在數學上的抽象化的提法如下：設（Χ，B，μ）是一個測度空間，通常假定μ（Χ）=1，即μ為機率測度，φ是Χ的一個變換。如果任意可測集B∈B的原像集φ-1B仍是可測集（即φ-1B∈B），那么φ就稱為可測變換。如果可測變換φ使得μ（φ-1B)=μ（B）對任意B∈B成立，那么φ就稱為保測變換（更詳細一些，φ稱為是保持測度μ不變的變換，μ稱為關於φ不變的測度）。保測變換的物理背景，就是統計力學中的機率守恆運動。長期以來，數學的遍歷理論研究的主要對象是保測變換，其中心問題之一，仍然是探討適當的條件以保證“時間平均（這裡取離散形式）=空間平均”，即。這裡 ƒ是定義於Χ上的適當函式（其背景即統計力學中的物理量），整數k可視為離散化的時間變數，φ表示φ的k次相繼作用，即等等。
但作為數學的研究，人們必須首先證明作為時間平均的極限（在某種確定意義下）的存在性。這方面最早取得的成果，是馮·諾伊曼的平均遍歷定理（1932）和伯克霍夫的個體遍歷定理（1931）。平均遍歷定理斷定：對於平方可積的函式ƒ，時間平均的極限在平均收斂的意義下存在，滿足f（φ（x))=f（x)（幾乎處處成立）和。個體遍歷定理斷定：對於可積函式ƒ，極限 在幾乎處處收斂的意義下存在，f也是可積函式，它滿足f（φ（x))=f（x)（幾乎處處成立）和。有了伯克霍夫個體遍歷定理，數學上不難證明： 遍歷性等價於測度不可分性。所謂測度不可分性是說： 如果 B ∈B使得 φ-1B=B，那么或者μ（B)=0 或者μ（B)=1。
由於上述兩條件的等價性，許多數學研究者索性就以測度不可分性來定義遍歷變換。數學的研究指出，一個能保證遍歷性（即測度不可分性）的更強的條件是混合性，即對任意可測集A、B有。混合性的物理含義是：在充分長的時間之後，能量面一個區域中的狀態變到另一個區域中去的可能性接近於這兩區域機率測度的乘積。換句話說，從每一區域出發的軌道，最終相當均勻地散布於能量面的各區域之中，從各區域出發的軌道最終在能量面上相當均勻地混合起來。
保測變換的各種回歸性質也是與遍歷性有關的重要研究課題。早在1912年（J.-）H.龐加萊就已證明了以下簡單而普遍的回歸定理：對於機率空間的保測變換φ，從一個正測度集合中出發的幾乎所有軌道都要無窮多次地返回這一集合。近年來關於回歸性質的研究成果有多重回歸定理等。
定理推廣
繼伯克霍夫和馮·諾伊曼的開創性工作之後，許多數學家對個體及平均遍歷定理作了種種推廣。它包括：把平均遍歷定理推廣到更一般的巴拿赫空間和更一般的變換；把關於點變換的平均遍歷定理推廣到關於馬爾可夫過程的平均遍歷定理；把關於離散半群φk的個體及平均遍歷定理推廣到更一般的單參數半群φt甚至多參數的情形，等等。由許多數學研究者得到的遍歷定理的各種提法有：極大遍歷定理，一致遍歷定理，受控遍歷定理，局部遍歷定理，阿貝爾遍歷定理和次可加遍歷定理等等。保測變換的譜理論研究，則是遍歷理論與泛函分析相關聯的重要課題。
上面提到的遍歷理論的研究工作，都假定事先有了一定的測度。在數學研究中還可以提這樣一類問題：給定拓撲空間Χ上的連續變換φ，是否存在Χ上的機率測度μ使其成為保測變換？這樣的測度是否唯一？這又引起了關於不變測度的研究。數學上已經證明：對於緊緻的可度量化的空間Χ的連續變換φ，不變測度必定存在。如果這種不變測度μ是唯一的，那么φ關於該測度就必定是遍歷的，這時稱變換φ具有唯一遍歷性。
1958年Α.Η.柯爾莫哥洛夫在保測變換的研究中引進了測度熵的概念。測度熵反映了變換紊亂的程度，其物理背景正是熱力學中的熵。測度熵的引進是繼伯克霍夫和馮·諾伊曼工作之後保測變換研究中的又一重大進展。測度熵作為不變數為研究保測變換的同構問題提供了重要的工具。這一工具最初的效果是辨明了一些過去長期無法區分的系統的不同構。1970年D.奧恩斯坦獲得了正面肯定同構的重要成果，他證明了具有相同測度熵的伯努利移位是同構的。類比於測度熵，R.L.阿德勒、A.G.康海姆和M.H.麥克安德魯等人1965年在動力系統理論的研究中引入了拓撲熵的概念。
