正文
20世紀以來,因受到廣義相對論的影響,黎曼幾何發展很快,從此產生了以更一般的曲線長度積分為基礎的芬斯勒空間,以超曲面的面積積分為基礎的嘉當空間,以二階微分方程組為基礎的道路空間和K展空間等等,而這些通稱一般空間。芬斯勒空間 設M是參考於一系坐標xi(i=1,2,…,n)的n維集合,並且它的曲線xi=xi(t)的“弧長”是按照積分
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近年來,無限維的芬斯勒流形在非線性分析中有重要作用。
嘉當空間 在n維空間裡,以(n-1)維超曲面領域的表面積概念為基礎而構成的幾何,稱n維嘉當空間幾何。設(x)=( x1,x2,…,xn)表示空間一點的坐標,(u)=(u1,u2,…,un)表示該點切空間的(n-1)維子空間的齊次坐標,(x,u)稱為點(x)的超平面素。以B表示超平面素所成的一個區域,採用一個在B是正則的而且取正值的函式L(x,u),這裡L關於ui是正齊一次的,L(x,ρu)=ρL(x,u),(ρ>0),並約定,在超平面素(x,u)的(n-1)維表面積元素為
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從基本函式 L(x,u)作
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K展空間 設在N 維空間SN里給定了一組K 維流形,使得組中有一個且僅有一個流形通過一般位置下的任何K+1個鄰近點,或者和任何一個已知的K維元素(按照一點和其銜接的K維平坦流形組成的元素)相切。這些K維流形簡稱K展,具有這種結構的N維空間SN稱K展空間。特別是,當K=1時,SN就是道路空間。
設(xi;i=1,2,…,N)是SN的一點的坐標,那么每個K展可表成
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根據J.道格拉斯導進一個仿射聯絡到仿射 K展空間SN:
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