基本簡介
羅素悖論悖論有三種主要形式：
1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。
2．一種論斷看起來 好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。
3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
理論含義
羅素悖論形成分類
羅素悖論如果R是第一類的，R是自己的元素，但由定義，R只由第二類集合組成，於是R又是第二類集合；如果R是第二類集合，那么，由R的定義，R必須是R的元素，從而R又是第一類集合。總之，左右為難，無法給出回答。這就是著名的“羅素悖論”。
相關案例
羅素悖論由著名數學家伯特蘭·羅素（Russel，1872—1970）提出的悖論與之相似：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
理髮師悖論與羅素悖論是等價的：因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理髮師宣稱，他的元素，都是村里不屬於自身的那些集合，並且村里所有不屬於自身的集合都屬於他。那么他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。
形成影響
十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈。今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了”可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的訊息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。”
1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理髮師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數學危機”。羅素的悖論發表之後，接著又發現一系列悖論（後來歸入所謂語義悖論）：1、理察悖論
2、培里悖論 3．格瑞林和納爾遜悖論。
問題解決
羅素悖論以上簡單介紹了數學史上由於悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到悖論在推動數學發展中的巨大作用。有人說：“提出問題就是解決問題的一半”，而悖論提出的正是讓數學家無法迴避的問題。它對數學家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系！”正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，人們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模範里，每一個人所學的、教的和套用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至於數學思考也失靈的話，那么應該到哪裡去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧，而羅素悖論在其中起到了重要的作用。
羅素悖論異己詞悖論和羅素悖論還有其它的不同嗎？
思考這個問題的動機原是這樣：是否所有能導致兩難推理的悖論（包括一些所謂的語義學悖論）都有相同結構？如果不是，能不能把它們按照邏輯結構來分類？從而能夠更加清晰地看清每一類悖論產生的根源。比如羅素悖論，用符號表示出來，就可看出，它用了這樣一個定義模式：x是S的，如果x不是x的。(稍微嚴格一點寫成這樣：xRS,如果非xRx.R為一個二元謂詞。)而在定義S時，S本身又可以用它自己的定義來判定，即可以把定義中的x換成S，導致這樣一個語句：S是S的，如果S不是S 的。注意在定義中的兩個語句互為充要條件，所以原來的定義中就蘊含了一個“P等價於非P”的結論，從而導致兩難推理。這種定義模式本身是邏輯中的漏洞，康托的樸素集合論正因為沒有防範的機制而陷入了這個邏輯漏洞，才導致了集合論形式的羅素悖論。羅素悖論已被消除，自己包含自己的集合是不可能存在的。
公理體系
羅素悖論在類的公理體系中，有一些基本的概念是不加定義的，人們只能從其客觀含義上給予解釋，但這樣的解釋僅僅起到幫助理解這些概念。數學中研究的任何一個客體對象都稱為一個類。類的概念是沒有任何限制。類與類之間可能存在著一種稱為屬於的關係，類A屬於類B記為A\inB，此時也稱類A是類B的一個元素(簡稱為元)。人們可以把類理解成為是由若干元素組成的一個整體。一個類是否是另一個類的元素是完全確定的，這就是類元素的確定性。類A如果不是類B的元素，則稱A不屬於B，記為A\not\inB。另一個不加定義的概念就是：類總是具有一定的性質，人們常以P(x)表示類x具有性質P。人們可以把性質理解為“關於類的一句表述”。人們還認為邏輯學中的基本概念與基本知識是類理論的基礎。
類的外延公理
公理Ⅰ(外延公理)\forallA,B(A=B\iff\forallx(x\inA\iffx\inB))。
公理Ⅰ的含義是：兩個類“相等”的充要條件是它們的元素完全相同，這就是說，類完全由其元素確定。類的所有元素可以通俗地稱為它的外延，正因如此，公理Ⅰ被稱為外延公理。由此人們可以定義：
定義1.1兩個類A、B，如果它們的元素完全相同，則稱這兩個類是相等的，記為A=B。
因此，類完全由其外延確定。由外延公理人們可以得出：類中的元素是不會重複出現的(準確地說，重複出現的元素仍然被當作一個元素)，這就是類元素的互異性；類中的元素是不計其出現在類中的順序的，這就是類元素的無序性。一個類可能由若干元素組成，而它本身又可能成為另外的類的元素，這就是類元素的相對性。
類的內涵與羅素悖論
一般地說，類中的元素總是具有某種共同的性質的，這就是類的元素的同質性。一個類的所有元素所共同具有的、而且是這個類的元素所獨有的性質(也就是說不是該類的元素就不具有該性質)通俗地稱為該類的內涵。類的內涵與外延之間存在著直觀的“反比關係”：類的內涵越多，其外延越小；內涵越少，其外延越大。對於類的內涵問題，人們通常希望：任給一個性質，滿足該性質的所有類可以組成一個類。但這樣的企圖將導致如下的悖論：
羅素悖論設性質P(x)表示“x\not\INX”，現假設由性質P確定了一個類A----也就是說“\forallx(x\inA\iffx\not\inx)”。那么現在的問題是：A\inA是否成立？首先，若A\inA，則A是A的元素，那么A具有性質P，由性質P知A\not\inA其次，若A\not\inA，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以A\inA。
羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論：理髮師悖論某理髮師發誓“要給所有不自已理髮的人理髮，不給所有自己理髮的人理髮”，現在的問題是“誰為該理髮師理髮？”。首先，若理髮師給自己理髮，那他就是一個“自己理髮的人”，依其誓言“他不給自己理髮”；其次，若“他不給自己理髮”，依其誓言，他就必須“給自己理髮”。而書目悖論也是羅素悖論的一種通俗表達形式。
為解決此類悖論，人們把類區分為兩種：
定義1.2如果存在類B,而類A滿足條件“\existsB(A\inB)”，則稱類A為一個集合(簡稱為集)，記為Set(A)。
定義1.2說明，一個集合是類的一種，它可以成為其它類的一個元素，這也正是集合的"嚴格"定義。
有另一種集合的定義：已存在一個類B,其中凡是符合屬性P(x)的，可以構成一個類A。類A則是一個集合，或者說是B的一個子類。但對此種定義，人們可以提出質疑，不能保證A不是真類。但人們還是樂於接受該定義的。但定義說不上嚴格。集合能進行各種類運算。真類不是集合的類就是真類。真類是一種能以自身作為元素的類，對於真類，類運算並不一定都能進行。一個真類卻不能成為其它類的元素。因此人們可以理解為“本性類是最高層次的類”。羅素悖論等於用反證法證明了真類的存在。但真類是抽象難理解的。但是，“類和集合是非常一般的概念，什麼是集合的問題是不能徹底回答的。只有隨著數學實踐來確定哪些類是集合，哪些類是真類，任何時間，總有一些類無法確定其到底是不是集合。”
類的內涵公理
公理Ⅱ(內涵公理)設P是一個性質，則\existsA(\forallx(x\inA\iffP(x)\wedgeSet(x)))。
公理Ⅱ的含義是：滿足一定性質的所有集合可以組成一個類。
內涵公理能夠解決羅素悖論：令P(x)為“x\not\inx”(稱為羅素性質)，依內涵公理，人們不能確定所有滿足P的類能否構成一個類，人們只能確定滿足P的所有集合能夠構成一個類A（下面提到的性質1.1），人們有結論“A\inA\iffP(A)\wedgeSet(A)”，即“A\inA\iffA\not\inA\wedgeSet(A)”。此時不會出現悖論，只能得出結果：A不是集合，因此A是本性類，人們把這個類稱為羅素類。對於內涵公理，任給一個對所有集合都滿足的性質P，如P(x)=Set(x)，則有：性質1.1所有的集合構成一個真類。人們把所有集合構成的類稱為極限類（真類），它是類理論所承認的“最大的”類。由公理Ⅰ(外延公理)、公理Ⅱ(內涵公理)組成的公理體系人們稱為羅素公理體系，這是關於類的理論的最基本的公理體系。
羅素公理體系與羅素悖論
羅素悖論產生的原因，是把真類當成集合。可以說，羅素公理體系在兩方面避免羅素悖論：第一，不存在包含自身的集合（包含自身的類是真類）。第二，“所有”集合的總體不是集合！而是一個真類。因為“所有”一詞，包含了自身。以書目悖論為例，根據羅素公理體系，所有符合條件的書的確構成了一個集合，因為它們可以與其它的書進一步構成更大的整體（集合的定義）--比如它們和不符合條件的書共同構成了圖書館里所有的書（類）。問題“這本書要記下自己的書名嗎？”，即是，它包含自己嗎？已經沒有回答的意義。因為根據內涵定義，不存在包含真類的集合。所以實物上不存在裡面提到的那一本目錄書（也有人認為那是一個非法的集合，一個集合要包含自身，但又要和集合內其它元素相區別，是不可能的）。但注意，這一抽象概念卻是存在的，它是一個真類。在理髮師悖論里，理髮師其實劃出了一個真類。如果理髮師修改一下自己的說法：“除了我理髮師本人之外，我給所有不給自己理髮的人理髮”，悖論就被避免了。因為理髮師此時定義了一個集合（根據聲明，他不在自己定義的服務群里）。注意：羅素公理體系只是“避免”了羅素悖論，並沒有解決羅素悖論。羅素公理體系的提出，是保證不產生悖論，又要求這些公理的範圍足夠寬，能容納全部數學。就是說要給數學提供足夠的集合。
影響
公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展。科學幻想
| 科學是無止境的，在人們的思維中存在無窮的空間給我們去想像、去思考、去猜測，理論的提出效應的總結都無疑不是人類智慧的結晶。 |
