數學無矛盾性
正文
又稱協調性、一致性或相容性。人們總是相信數學是沒有矛盾的，如果在推導或計算中得出互相矛盾的結果，那么總是先檢查推導、計算有沒有錯誤，如果無誤，便說這是由於推導過程中作了某個錯誤的假設。這便是反證法。反證法所以可用，完全在於承認了數學沒有矛盾。非歐幾里得幾何學的產生源於人們想證平行公設。當多方證明尚無結果時，便想起反證法。假設平行公設不成立但別的公設全部有效而進行推導，如果能夠推出矛盾，那么根據反證法便把平行公設作為定理而證出來了。但推來推去始終得不出矛盾，到19世紀初，人們開始相信：否定平行公設不會導致矛盾而將得出一個新幾何（非歐幾何）來。但要使新幾何的確成立，不能依靠這種信念而必須嚴格證明：否定平行公設而承認其餘公設不會導致矛盾。這樣，第一次要求對數學的一個部門證明其無矛盾。
為了證明，人們使用造模型法（又叫翻譯法）。即在乙理論中造一個模型，它滿足甲理論的全部公理。這時如果甲理論有矛盾，則在乙理論的這個模型里（亦即翻譯成乙理論的語言後）也同樣推出矛盾，於是乙理論也自相矛盾了。這樣，甲理論的無矛盾性便歸結為乙理論的無矛盾性。人們便是靠在歐氏幾何中構造非歐幾何的模型，用歐氏幾何的無矛盾性來保證非歐幾何的無矛盾，從而確認非歐幾何的。
這時數學分析的無矛盾性也要求證明。微積分的發明者I.牛頓使用“瞬息”概念，而G.W.萊布尼茨使用無窮小的概念，這兩概念都有本質的毛病，遭到人們的非難，數學分析的無矛盾性便急待解決。直到19世紀，人們才最終引入極限論，詳細發展了實數論，把實數作為“有理數的某種無窮集合”而定義。於是數學分析的無矛盾性便歸結為自然數論與集合論的無矛盾性。
這時集合論卻出現了矛盾，而且是在集合論最開始、最基本的地方。這便是有名的羅素集合的悖論。在集合論中，人們承認用任何條件都可以作出一個集合。如果試用“不是自己的元素”或“不屬於自己”即x唘x這個條件來造一個集合，並叫做集合甲。人們問：甲是不是自己的元素？如果“甲屬於甲”，那么它不滿足上述條件,應該從甲的元素中剔出去,即得“甲不屬於甲”。如果“甲不屬於甲”，它便滿足上述條件，應該放到甲的元素中去，即“甲屬於甲”，無論如何，人們都得出矛盾。人們還不知道如何克服這個矛盾，而集合論的影響卻越來越大，滲透到數學的各個部門。集合論以及整個數學的無矛盾性問題便急待解決了。
以前的無矛盾性證明都是相對的，把甲理論的無矛盾性歸結到乙理論的無矛盾性。後來，即使數學的無矛盾性可以歸結到另一理論的無矛盾性，但另一理論的無矛盾性又需證明。顯然，這種相對無矛盾性的證明是不能最後解決問題的。為了克服這個困難，希爾伯特提出了一個有名的希爾伯特計畫如下。
把數學寫成形式公理系統而且寫得非常徹底，使得數學中任何概念的含意都已經完全寫進公理以及推理規則中去了。數學概念將完全由形式公理系統中的公理及推理規則所確定，這樣，數學的推導完全不必使用公理系統中未曾明白寫出的東西;而所謂公理,可以理解為一此符號串，所謂推理規則可以理解為符號串的變換。既然這樣，數學的推導便只是一些數學式子的變換而無需理解式子的內容。數學的無矛盾性可以表達為：在這個公理系統內不能推出兩個互相矛盾的符號公式，等價地說不能推出每一個符號公式。因此要證明數學的無矛盾，只須證明在上述公理系統中不能推出“0≠0”這個公式便行。即然不必管其內容，這個要求也就等於：給出一些公式（表示數學公理），又給出一些有關式子的變換規則，求證根據這些規則無論如何不能把上述那些公理式子變成“0≠0”這個式子。
就數學內容而言可能很艱深抽象，可能討論到無窮情況，但就式子而言,卻是很具體很實在的(它們只是一些符號),對這些符號可以完全在有窮範圍內討論其變換。希爾伯特提出要求，只使用有窮性方法，以使得推論過程更加明確而無任何疑問。所謂有窮性方法是“經得起檢查”的方法。例如，要證明“有一個x使得A(x)”,必須具體給出這個x，或給出構作這個x的方法，證明它確實使A(x)成立；絕不能使用反證法說:“如果每個x都使得A(x)假，那么，…（推導下去）…得出矛盾，故必有x使得A（x）”。又如，要證明“任何x都A(x)”,必須使用一般性方法來證明對給出的任何一個具體的 x都確使A(x)成立；絕不能使用反證法說:“如果有一個x使得A(x)不成立，那么…（推導下去）…得出矛盾，故必然任何x都使得A(x)。”這樣的反證法不是有窮性的。
顯然，這樣的有窮性方法是經得起檢查的，如果用它能證明上述數學公理系統不可能推出“0≠0”一式，那就表明數學公理系統沒有矛盾，也就可以承認數學沒有矛盾了，這就是有名的希爾伯特計畫。
這個計畫提出後不久，W.阿克曼證明了（作了一些限制後的）自然數論是無矛盾的，引起了人們極大期望。但是，1931年K.哥德爾提出了他的著名的不完備性定理並進而得出結論：要證明一個理論的無矛盾必須在比該理論更強的理論中才能進行。上述的有窮性方法能夠表述在自然數論中，希望用它來證明數學甚至自然數論的無矛盾根本是不可能的，自此以後希爾伯特計畫便被修正了。最重要的修正是推廣數學歸納法（可以叫做直到ω的歸納法）到更大的超窮序數去,從而獲得更多的數學系統的無矛盾性。
以後人們仍然探討數學中各部門理論的無矛盾性，某些公理或猜測的無矛盾性及獨立性（獨立性問題歸根到底仍是無矛盾性問題）。最重要的進展有：1936年G.根岑用超限歸納法(它強於自然數論)證明全部自然數論的無矛盾性，1936年F.B.菲奇與P.羅倫岑證明了分支類型論的無矛盾性，1940年哥德爾用內模型法證明了選擇公理與連續統假設相對於現有其他的集合論公理的無矛盾性，1963年P.J.科恩用力迫法證明了選擇公理與連續統假設相對於現有其他的集合論公理的獨立性等等，並從而得出很多成果，推進了數學的發展。因此，儘管全體數學的無矛盾性看來是極難（幾乎是不可能）證明的，但是對其中某些理論、某些命題、某些猜測相對於別的理論、別的命題公理的無矛盾性仍是很值得繼續探討的。
