1900年前後,在數學的集合論中出現了三個著名悖論，理髮師悖論就是羅素悖論的一種通俗表達方式。此外還有康托爾悖論、布拉利—福爾蒂悖論。這些悖論特別是羅素悖論，在當時的數學界與邏輯界內引起了極大震動。觸發了第三次數學危機。解釋
讓我們先了解下什麼是悖論。悖論(paradox)來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。 悖論是自相矛盾的命題。即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認這個命題的
羅素悖論否定命題成立，又可推出這個命題成立 如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。主要形式
悖論有三種主要形式：
1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。
2．一種論斷看起來 好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。
3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
編輯本段羅素悖論例子
《唐·吉訶德》世界文學名著《唐·吉訶德》中有這樣一個故事：
羅素悖論唐·吉訶德的僕人桑喬·潘薩跑到一個小島上，成了這個島的國王。他頒布了一條奇怪的法律：每一個到達這個島的人都必須回答一個問題：“你到這裡來做什麼？”如果回答對了，就允許他在島上遊玩，而如果答錯了，就要把他絞死。對於每一個到島上來的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架。有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個膽大包天的人來了，他照例被問了這個問題，而這個人的回答是：“我到這裡來是要被絞死的。”請問桑喬·潘薩是讓他在島上玩，還是把他絞死呢？如果應該讓他在島上遊玩，那就與他說“要被絞死”的話不相符合，這就是說，他說“要被絞死”是錯話。既然他說錯了，就應該被處
相關書籍絞刑。但如果桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時他說的“要被絞死”就與事實相符，從而就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應該讓他在島上玩。小島的國王發現，他的法律無法執行，因為不管怎么執行，都使法律受到破壞。他思索再三，最後讓衛兵把他放了，並且宣布這條法律作廢。這又是一條悖論。理髮師悖論
由著名數學家伯特蘭·羅素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖論與之相似：
在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
理髮師悖論與羅素悖論是等價的：
因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理髮師宣稱，他的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合，並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那么他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。
編輯本段羅素悖論的影響
十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”
可是，好景
相關書籍不長。1903年，一個震驚數學界的訊息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。”
1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理髮師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數學危機”。
羅素的悖論發表之後，接著又發現一系列悖論（後來歸入所謂語義悖論）：
1、理察悖論
2、培里悖論
3．格瑞林和納爾遜悖論。
編輯本段問題的解決
第一次數學危機羅素悖論提出，危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”解決這一悖論在本質上存在兩種選擇，the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neum
相關書籍ann-Bernays alternative。第二次數學危機
1908年，策梅羅（Ernst Zermelo)在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。這一公理系統在通過Abraham Fraenkel的改進後被稱為Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。在該公理系統中，由於限制公理（The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms)：P(x)是x的一個性質，對任意已知集合A，存在一個集合B使得對所有元素x∈B若且唯若x∈A且P(x)；因此{x∣x是一個集合}並不能在該系統中寫成一個集合，由於它並不是任何已知集合的子集；並且通過該公理，存在集合A={x∣x是一個集合}在ZF系統中能被證明是矛盾的。因此羅素悖論在該系統中被避免了。
第三次數學危機除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼（von Neumann)等人提出的NBG系統等。在the von Neumann-Bernays alternative中，所有包含集合的collection都能被稱為類(class)，因此某些集合也能被稱為class，但是某些collection太大了（比如一個collection包含所有集合）以至於不能是一個集合，因此僅僅是個class。這同樣也避免了羅素悖論。
公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。
以上簡單介紹了數學史上由於悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到悖論在推動數學發展中的巨大作用。有人說：“提出問題就是解決問題的一半”，而悖論提出的正是讓數學家無法迴避的問題。它對數學家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系！”正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模
相關書籍范里，每一個人所學的、教的和套用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至於數學思考也失靈的話，那么應該到哪裡去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧，而羅素悖論在其中起到了重要的作用。邏輯主義
理性不能回答關於其自身的問題，這個問題在康德時期就發現了。邏輯存在無法彌補的漏洞，卻是人了解世界的唯一途徑。到頭來你會發現，不是否定理性就是否定信仰。因為所謂唯心唯物之爭都是建立在這樣不完備的邏輯體系上的純粹理性科學。既然理性無法對其自身做出判斷，那么選擇立場就不能以理性為依據，從而變成一種實質上的迷信。當然如果你堅持要說自己的立場是合乎所謂的科學或實踐的，那么其實你既不屬於唯物也不屬於唯心，本質上只是一種泛經驗主義或者泛邏輯主義罷了。當然，這裡的邏輯主義當然不是羅素的那個，只是一個形象點的稱呼而已。
異己詞悖論和羅素悖論還有其它的不同嗎？思考這個問題的動機原是這樣：是否所有能導致兩難推理的悖論（包括一些所謂的語義學悖論）都有相同結構？如果不是，能不能把它們按照邏輯結構來分類？從而能夠更加清晰地看清每一類悖論產生的根源。比如羅素悖論，用符號表示出來，就可看出，它用了這樣一個定義模式：x是S的，如果x不是x的。(稍微嚴格一點寫成這樣：xRS,如果 非xRx.R為一個二元謂詞。)而在定義S時，S本身又可以用它自己的定義來判定，即可以把定義中的x換成S，導致這樣一個語句：S是S的，如果S不是S的。注意在定義中的兩個語句互為充要條件，所以原來的定義中就蘊含了一個“P等價於非P”的結論，從而導致兩難推理。這種定義模式本身是邏輯中的漏洞，康托的樸素集合論正因為沒有防範的機制而陷入了這個邏輯漏洞，才導致了集合論形式的羅素悖論。
羅素悖論已被消除，包含自己的集合是不可能存在的！
雖然不能說邏輯類型論已經完全解決了上述悖論，但卻可以說它極大地促進了邏輯的發展。因為在一定意義上，它正確地反映了客觀外界的無限多樣性。這種多樣性可以以一種多層性的形式反映在人們思維中。作為人類思維的外在表現形式的語言勢必在某種程度上間接反映著這種客觀的多樣性或多層性。當人們的語言層次或思維層次與客觀外界的層次不協調時，就可能出現悖論，而通過對語言和思維的層次分析，可以幫助我們了解事物的各種規定性。當然，我們應當指出：客觀世界的所謂“多層性”絕不像羅素的邏輯層次那樣壁壘分明，而是呈現出極複雜的狀態，而且，命題的層次說只是從思維的形式和結構方
相關書籍面來講的，它仍是一種有待進一步檢驗的假說。
那么，人們試圖解決悖論的種種努力究竟有什麼意義呢？簡單概括起來大概有以下三個方面：（1）從數學上看，悖論迫使人們從邏輯和哲學的角度對數學基礎問題重新進行了全面而深入的研究，這種努力正是企圖給數學以相對更加牢靠的基礎；（2）從邏輯上看，單以二值邏輯來說，它的值必須或真或假，即不能即真又假，然而，邏輯悖論卻破壞了矛盾律和排中律，使命題的值即真又假，無法確定，解決悖論的努力可以說是在企圖維護形式邏輯的基本律；（3）從哲學上看，人們在解決悖論的努力使自己的認識不斷深化，從而對相對靜止的思維形式和結構，以及它們之間錯綜複雜的層次和關係做了更進一步的剖析。此外，上述努力對於反對詭辯論和相對主義也有一定的意義。哲理數學關於羅素悖論及其他幾個悖論的回答
以上各派學說，雖然從某種程度上回答了羅素的悖論，但對於大多數悖論，仍然無法進行回答。例如“我正在說謊”，這個悖論，傳統的數學至今無法回答。
而真正要回答這一悖論，只有近幾年發展起來的新興學科——哲理數學能夠做到。
哲理數學，被稱為數學史上的第5次革命
數學迄今為止，已經歷了四次革命：
1.由算術到代數、
2.由常量數學到變數數學、
3.由必然數學到或然數學、
4.由明晰數學到模糊數
而哲理數學的提出，無疑將會是一個更大的飛躍。
其實，如果我們仔細分析這些悖論產生的原因，我們會發現，是因為我們在推理過程中一直在使用一條很重要的定律——“排中律”，我們總是簡單的把事物劃分為兩種狀態，我們這兩種狀態是互不相同的，每件事物只能選擇其中的一種狀態。而又必須選擇其中的一種。
我們習慣於使用“排中律”進行思考，這已經成為了一種思維定式，以至於有時我們自己都覺察不到我們在使用這條定律，而把它當成一種“理所當然”。
但是，排中律本身並不是“無懈可擊”和“放之四海皆準”的。“排中律”本身存在很多的漏洞。
下面我將以一個簡單的例子來說說，無限推廣“排中律”所帶來的問題。
首先，問大家一個問題：請將按照性別對人進行分類。
這個問題，我相信90%的人都能回答，而且答案基本上是一致的。那就是將人分為“男人”、“女人”兩類。
接下來，我再問大家，請認真想一想，世界上只有這兩種人嗎？答案顯然不是。
但是為什麼在回答第一個問題時，大多數人沒有回答出3類人或者4類人呢？這實際上就是“排中律”的思維定式在起作用！！！
“排中律”是我們簡單的把事物看成是“非此即彼”和“非彼即此”的
而是我們忽略了那些“亦此亦彼”和“非此非彼”的事物。
事實上，正是“排中律”和“排中律”所形成的思維定式蒙蔽了我們的眼睛！
哲理數學正是打破了傳統數學中“排中律”的桎梏，指出事物是可以亦此亦彼的。指出了矛盾的對立與統一，從而將哲學與數學聯繫起來。而傳統數學只看到了對立，而忽略了統一。只看到了一分為二，沒有看到合二為一。
認識到了“排中律”的局限性，回過頭來再看這些悖論，這些悖論也就迎刃而解了。
以上文字參考孟凱韜先生的《哲理數學》一書。
羅素悖論一句話
A是非A.
A集合是由非A集合中的元素構成.
實際上
假設有另外兩個集合B與非B.
如果A是B,
那么A是非A,也就是非B,
A就是非B,
A又是非非B,
因此,就會無限死循環下去,
相當於
1-1+1-1.......
到底是零,還是1.
因此羅素悖論是集合的規則導致,該集合必須無限循環下去的.
實際上,數學的三次危機
第一次無理數,
無限不循環小數.
第二次,無窮小
無窮小是零還是非零
第三次,無窮大,A是非A,導致無限循環.
因此,數學的三次危機本質上都是
實無限,還是虛無限.
無限之後到底是定值,還是不確定的
