簡介
羅素悖論產生的原因，是把真類當成集合。
可以說，羅素公理體系在兩方面避免羅素悖論：第一，不存在包含自身的集合（包含自身的類是真類）。第二，“所有”集合的總體不是集合！而是一個真類。因為“所有”一詞，包含了自身。
不加定義的概念
在類的公理體系中，有一些基本的概念是不加定義的，我們只能從其客觀含義上給予解釋，但這樣的解釋僅僅起到幫助理解這些概念。
羅素公理體系
羅素公理體系數學中研究的任何一個客體對象都稱為一個 類。類的概念是沒有任何限制。類與類之間可能存在著一種稱為 屬於的關係，類A屬於類B記為 ，此時也稱類A是類B的一個 元素（簡稱為 元）。我們可以把類理解成為是由若干元素組成的一個整體。一個類是否是另一個類的元素是完全確定的，這就是類元素的 確定性。類A如果不是類B的元素，則稱A 不屬於B，記為 。
另一個不加定義的概念就是：類總是具有一定的 性質，我們常以P（x）表示類x具有性質P。我們可以把性質理解為“關於類的一句表述”。
我們還認為邏輯學中的基本概念與基本知識是類理論的基礎。
類的外延公理
羅素公理體系公理Ⅰ( 外延公理) 。
公理Ⅰ的含義是：兩個類“相等”的充要條件是它們的元素完全相同，這就是說，類完全由其元素確定。類的所有元素可以通俗地稱為它的 外延，正因如此，公理Ⅰ被稱為外延公理。由此我們可以定義：
羅素公理體系定義1.1兩個類A、B，如果它們的元素完全相同，則稱這兩個類是 相等的，記為 。
因此，類完全由其外延確定。
由外延公理我們可以得出：類中的元素是不會重複出現的（準確地說，重複出現的元素仍然被當作一個元素），這就是類元素的 互異性；類中的元素是不計其出現到類中的順序的，這就是類元素的 無序性。
一個類可能由若干元素組成，而它本身又可能成為另外的類的元素，這就是類元素的 相對性。
類的內涵與羅素悖論
一般地說，類中的元素總是具有某種共同的性質的，這就是類的元素的 同質性。
一個類的所有元素所共同具有的、而且是這個類的元素所獨有的性質（也就是說不是該類的元素就不具有該性質）通俗地稱為該類的 內涵。類的內涵與外延之間存在著直觀的“反比關係”：類的內涵越多，其外延越小；內涵越少，其外延越大。
對於類的內涵問題，我們通常希望：任給一個性質，滿足該性質的所有類可以組成一個類。但這樣的企圖將導致如下的悖論：
羅素公理體系
羅素公理體系
羅素公理體系 羅素公理體系
羅素公理體系 羅素公理體系 羅素公理體系羅素悖論設性質P（x）表示“ ”，現假設由性質P確定了一個類A----也就是說“ ”。那么當前的問題是： 是否成立？首先，若 ，則A是A的元素，那么A具有性質P，由性質P知 ；其次，若 ，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的元素組成的，所以 。
羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論：
理髮師悖論某理髮師發誓“要給所有不自己理髮的人理髮，不給所有自己理髮的人理髮”，現當前的問題是“誰為該理髮師理髮？”。首先，若理髮師給自己理髮，那他就是一個“自己理髮的人”，依其誓言“他不給自己理髮”；其次，若“他不給自己理髮”，依其誓言，他就必須“給自己理髮”。
而書目悖論也是羅素悖論的一種通俗表達形式。
真類與集合
為解決此類悖論，我們把類區分為兩種：
羅素公理體系
羅素公理體系定義1.2如果存在類B,而類A滿足條件“ ”，則稱類A為一個 集合（簡稱為 集），記為 。
定義1.2說明，一個集合是類的一種，它可以成為其它類的一個元素，這也正是集合的"嚴格"定義。
有另一種集合的定義：已存在一個類B,其中凡是符合屬性P(x)的，可以構成一個類A。類A則是一個集合，或者說是B的一個子類。但對此種定義，人們可以提出質疑，不能保證A不是真類。但人們還是樂於接受該定義的。但定義說不上嚴格。
集合能進行各種類運算。
真類不是集合的類就是真類。真類是一種能以自身作為元素的類，對於真類，類運算並不一定都能進行。
一個真類卻不能成為其它類的元素。因此我們可以理解為“本性類是最高層次的類”。
羅素悖論等於用反證法證明了真類的存在。但真類是抽象難理解的。
但是，“類和集合是非常一般的概念，什麼是集合的問題是不能徹底回答的。只有隨著數學實踐來確定哪些類是集合，哪些類是真類，任何時間，總有一些類無法確定其到底是不是集合。”
類的內涵公理
羅素公理體系公理Ⅱ（內涵公理）設P是一個性質，則 。
公理Ⅱ的含義是：滿足一定性質的所有集合可以組成一個類。
羅素公理體系
羅素公理體系
羅素公理體系
羅素公理體系內涵公理能夠解決羅素悖論：令P（x）為“ ”（稱為 羅素性質）。我們無法確定所有滿足P的 類能否構成一個類，但是依據內涵公理，我們可以確定滿足P的所有 集合能夠構成一個類 （這就證明了下面的性質1.1）。這時，可以得出“ ”，即“ ”。這並不導致悖論，只是說明：A不是集合；因此A是本性類，我們把這個類稱為 羅素類。
羅素公理體系對於內涵公理，任給一個對所有集合都滿足的性質P，如 ，則有：
性質1.1所有的集合構成一個真類。
我們把所有集合構成的類稱為 極限類（真類），它是類理論所承認的“最大的”類。
由公理Ⅰ（外延公理）、公理Ⅱ（內涵公理）組成的公理體系我們稱為 羅素公理體系，這是關於類的理論的最基本的公理體系。
羅素公理體系與羅素悖論
羅素悖論產生的原因，是把真類當成集合。
可以說， 羅素公理體系在兩方面避免羅素悖論：第一，不存在包含自身的集合（包含自身的類是真類）。第二，“所有”集合的總體不是集合！而是一個真類。因為“所有”一詞，包含了自身。
以書目悖論為例，根據羅素公理體系，問題“這本書要記下自己的書名嗎？”，即是，它包含自己嗎？已經沒有回答的意義。因為根據內涵定義，不存在包含真類的集合。所以實物上不存在裡面提到的那一本目錄書（也有人認為那是一個非法的集合，一個集合要包含自身，但又要和集合內其它元素相區別，是不可能的）。但注意，這一抽象概念卻是存在的，它是一個真類。
在理髮師悖論里，理髮師其實劃出了一個真類。如果理髮師修改一下自己的說法：“除了我理髮師本人之外，我給所有不給自己理髮的人理髮”，悖論就被避免了。因為理髮師此時定義了一個集合（根據聲明，他不在自己定義的服務群里）。
注意：羅素公理體系只是“避免”了羅素悖論，並沒有解決羅素悖論。羅素公理體系的提出，是保證不產生悖論，又要求這些公理的範圍足夠寬，能容納全部數學。就是說要給數學提供足夠的集合。
