極坐標系
圖1如圖1所示，在平面上取一定點o，稱為極點，由o出發的一條射線ox，稱為極軸。再取定一個長度單位，通常規定角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定，有序數對（ρ，θ）就稱為P點的極坐標，記為P（ρ，θ）；ρ稱為P點的極徑，θ稱為P點的極角。
當限制ρ≥0，0≤θ<2π時，平面上除極點Ο以外，其他每一點都有唯一的一個極坐標。極點的極徑為零 ，極角任意。若除去上述限制，平面上每一點都有無數多組極坐標，一般地 ，如果（ρ，θ）是一個點的極坐標 ，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作為它的極坐標，這裡n 是任意整數。
平面上有些曲線，採用極坐標時，方程比較簡單。例如以原點為中心，r為半徑的圓的極坐標方程為ρ=r ，等速螺線的極坐標方程為ρ=aθ 。此外，橢圓、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐曲線，可以用一個統一的極坐標方程表示。
極坐標系對於平面上任意一點p，用ρ表示線段op的長度，稱為點p的極徑或矢徑，從ox到op的角度θ [0，2π]，稱為點p的極角或輻角，有序數對(ρ，θ)稱為點p的極坐標。極點的極徑為零，極角不定。除極點外，點和它的極坐標成一一對應。
相關歷史
極坐標
第一個用極坐標來確定平面上點的位置的是牛頓。他的《流數法與無窮級數》，大約於1671年寫成，出版於1736年。此書包括解析幾何的許多套用，例如按方程描出曲線。書中創建之一，是引進新的坐標系。17甚至18世紀的人，一般只用一根坐標軸（x軸），其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的。
牛頓所引進的坐標之一，是用一個固定點和通過此點的一條直線作標準，例如我們使用的極坐標系。牛頓還引進了雙極坐標，其中每點的位置決定於它到兩個固定點的距離。
由於牛頓的這個工作直到1736年才為人們所發現，而瑞士數學家J.貝努利於1691年在《教師學報》上發表了一篇基本上是關於極坐標的文章，所以通常認為J.貝努利是極坐標的發現者。
J.貝努利的學生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標的普遍可用，而且自由地套用極坐標去研究曲線。他還給出了從直角坐標到極坐標的變換公式。確切地講，J.赫爾曼把cosθ,sinθ當作變數來使用，而且用n和m來表示cosθ和sinθ。歐拉擴充了極坐標的使用範圍，而且明確地使用三角函式的記號；歐拉那個時候的極坐標系實際上就是現代的極坐標系。
極坐標系：
眾所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）製成了一張求各角所對弦的弦長函式的表格。並且，曾有人引用了他的極坐標系來確定恆星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻，儘管最終並沒有建立整個坐標系統。
關於是誰首次將極坐標系套用為一個正式的坐標系統，流傳著有多種觀點。關於這一問題的較詳盡歷史，哈佛大學教授朱利安·羅亞爾·科利奇的《極坐標系起源》作了闡述。格雷瓜·德·聖-萬桑特 和博納文圖拉·卡瓦列里，被認為在幾乎同時、並獨立地各自引入了極坐標系這一概念。聖-萬桑特在1625年的私人文稿中進行了論述並發表於1647年，而卡瓦列里在1635進行了發表，而後又於1653年進行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標系來解決一個關於阿基米德螺線內的面積問題。布萊士·帕斯卡隨後使用極坐標系來計算拋物線的長度。
在1671年寫成，1736年出版的《流數術和無窮級數》（en:Method of Fluxions）一書中，艾薩克·牛頓第一個將極坐標系套用於表示平面上的任何一點。牛頓在書中驗證了極坐標和其他九種坐標系的轉換關係。在1691年出版的《博學通報》（Acta eruditorum）一書中雅各布·伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線，定點稱為極點，射線稱為極軸。平面內任何一點的坐標都通過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利通過極坐標系對曲線的曲率半徑進行了研究。
實際上套用“極坐標”en:Polar coordinate system這個術語的是由格雷古廖·豐塔納開始的，並且被18世紀的義大利數學家所使用。該術語是由喬治·皮科克在1816年翻譯拉克魯瓦克斯的《微分學與積分學》（Differential and Integral Calculus）一書時，被翻譯為英語的。
坐標轉化
極坐標系（1）極坐標系坐標轉換為平面直角坐標系（笛卡爾坐標系）下坐標：極坐標系中的兩個坐標 ρ和 θ可以由下面的公式轉換為直角坐標系下的坐標值：
x=ρcosθ
y=ρsinθ
（2）平面直角坐標系坐標轉換為極坐標系下坐標：由上述二公式，可得到從直角坐標系中 x和 y兩坐標如何計算出極坐標下的坐標：
極坐標系在 x= 0的情況下：若 y為正數 θ= 90° (π/2 radians)；若 y為負，則 θ= 270° (3π/2 radians).
極坐標方程
用極坐標系描述的曲線方程稱作 極坐標方程，通常表示為 r為自變數θ的函式。極坐標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果 r(-θ) = r(θ)，則曲線關於極點（0°/180°）對稱，如果r(π-θ) = r(θ)，則曲線關於極點（90°/270°）對稱，如果r(θ-α) = r(θ)，則曲線相當於從極點順時針方向鏇轉α°。
圓的極坐標方程
（1）圓心在原點，半徑為1的圓的極坐標方程為： r(θ) = 1。
極坐標系
極坐標系
極坐標系
極坐標系在極坐標系中，圓心在(，φ) 半徑為 a 的圓的方程為，這個方程如果由轉化而來，則。
該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r(θ)=a表示一個以極點為中心半徑為 a的圓。
直線的極坐標方程
極坐標系
極坐標系經過極點的射線的極坐標方程由如下方程表示：θ=φ，其中φ為射線的傾斜角度，若 k為直角坐標系的射線的斜率，則有φ = arctan k。 任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。 這些在點（ ，φ）處的直線與射線θ = φ 垂直，其方程為：。
極坐標系的意義
（1）用於定位和導航。極坐標通常被用於導航，作為旅行的目的地或方向可以作為從所考慮的物體的距離和角度。例如，飛機使用極坐標的一個略加修改的版本進行導航。這個系統中是一般的用於導航任何種類中的一個系統，在0°射線一般被稱為航向360，並且角度是以順時針方向繼續，而不是逆時針方向，如同在數學系統那樣。航向360對應地磁北極，而航向90，180，和270分別對應於磁東，南，西。因此，一架飛機向正東方向上航行5海里將是在航向90（空中交通管制讀作090）上航行5個單位。
（2）有些幾何軌跡問題如果用極坐標法處理，它的方程比用直角坐標法來得簡單，描圖也較方便。1694年，J.貝努利利用極坐標引進了雙紐線，這曲線在18世紀起了相當大的作用。
（3）建模有徑向對稱的系統提供了極坐標系的自然設定，中心點充當了極點。這種用法的一個典型例子是在適用於徑向對稱的水井時候的地下水流方程。有徑向力的系統也適合使用極坐標系。這些系統包括了服從平方反比定律的引力場，以及有點源的系統，如無線電天線。
（4）行星運動的克卜勒定律。克卜勒第二定律極坐標提供了一個表達在引力場中克卜勒行星運行定律的自然數的方法。克卜勒第一定律，認為環繞一顆恆星運行的行星軌道形成了一個橢圓，這個橢圓的一個焦點在質心上。上面所給出的二次曲線部分的等式可用於表達這個橢圓。 克卜勒第二定律，即等域定律，認為連線行星和它所環繞的恆星的線在等時間間隔所劃出的區域是面積相等的，即d\mathbf{A}\over dt是常量。這些等式可由牛頓運動定律推得。在克卜勒行星運動定律中有相關運用極坐標的詳細推導。
