定律定義
克卜勒在《宇宙和諧論》發表的表述:每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽,而太陽則處在橢圓的一個焦點中。
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數學推導
設定
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這樣,角速度是
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對時間微分和對角度微分有如下關係:
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根據上述關係,徑向距離 對時間的導數為:
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再求一次導數:
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代入徑向運動方程
,
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將此方程除以
,則可得到一個簡單的常係數非齊次線性全微分方程來描述行星軌道:
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為了解這個微分方程,先列出一個特解
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再求解剩餘的常係數齊次線性全微分方程,
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它的解為
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這裡,
與
是常數。合併特解和與齊次方程解,可以得到通解
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選擇坐標軸,讓
。代回
,
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其中,
是離心率。
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這是圓錐曲線的極坐標方程,坐標系的原點是圓錐曲線的焦點之一。假若
,則
所描述的是橢圓軌道。這證明了克卜勒第一定律。
發展簡史
克卜勒1596年出版《宇宙的神秘》一書受到 第谷的賞識,應邀到布拉格附近的天文台做研究工作。1600年,到布拉格成為第谷的助手。次年第谷去世,克卜勒成為第谷事業的繼承人。
第谷去世後克卜勒用很長時間對第谷遺留下來的觀測資料進行分析,他在分析火星的公轉時發現,無論按哥白尼的方法還是按托勒密或第谷的方法,算出的軌道都不能同第谷的觀測資料相吻合,他堅信觀測的結果,於是他想到火星可能不是作當時人們認為的勻速圓周運動,他改用各種不同的幾何曲線來表示火星的運動軌跡,終於發現了“火星沿橢圓軌道繞太陽運行。
克卜勒在1619年出版的《 宇宙和諧論》發表該定律。
定律影響
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克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動中的行星的連線(向量半徑)所掃過的面積都是相等的。 這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉的角動量守恆。
克卜勒第三定律:是指繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星,其橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個常量。這裡,a是行星公轉軌道半長軸,T是行星公轉周期,K是常數,其大小隻與中心天體的質量有關。