等式

等式

含有等號的式子叫做等式。等式可分為矛盾等式和條件等式。等式兩邊同時加上(或減去)同一個整式,或者等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式,等式仍然成立。形式是把相等的兩個數(或字母表示的數)用“=”連線起來。 恆等式(identities),數學概念,恆等式是無論其變數如何取值,等式永遠成立的算式。

基本信息

定義

含有等號的式子叫做等式(數學術語)。

形式:把相等的兩個數(或字母表示的數)用“=”連線起來。

等式可分為矛盾等式和條件等式。矛盾等式就是左右兩邊不相等的"等式"。也就是不成立的等式,比如5+2=8,實際上5+2=7,所以5+2=8是一個矛盾等式。有些式子無法判斷是不是矛盾等式,比如x-9=2,只有x=11時這個等式才成立(這樣的等式叫做條件等式),x≠11時,這個等式就是矛盾等式。條件等式是指一些數量相等的關係。代數中所學的方程都是條件等式。

基本性質

性質1

等式兩邊同時加上(或減去)同一個整式,等式仍然成立。

若a=b

那么a+c=b+c

性質2

等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式,等式仍然成立。

若a=b

那么有a·c=b·c

或a÷c=b÷c (c≠0)

性質3

等式具有傳遞性。

若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an

拓展性質

拓展1:等式兩邊同時被一個數或式子減,結果仍相等。

如果a=b,那么c-a=c-b。

拓展2:等式兩邊取相反數,結果仍相等。

如果a=b,那么-a=-b。

拓展3:等式兩邊不等於0時,被同一個數或式子除,結果仍相等。;

如果a=b≠0,那么c/a=c/b。

拓展4:等式兩邊不等於0時,兩邊取倒數,結果仍相等。

如果a=b≠0,那么1/a=1/b。

意義

等式的性質是解方程的基礎,很多解方程的方法都要運用到等式的性質。如移項,運用了等式的性質1;去分母,運用了等式的性質2。

運用等式的性質,涉及除法時,要注意轉換後,除數不能為0,否則無意義。

恆等式

恆等式(identities),數學概念,恆等式是無論其變數如何取值,等式永遠成立的算式。 恆等式成立的範圍是左右函式定義域的公共部分,兩個獨立的函式卻各自有定義域,與x在非負實數集內是恆等的,而在實數集內是不恆等的。

恆等式有多個變數的,也有一個變數的,若恆等式兩邊就一個變數,恆等式就是兩個 解析式之間的一種關係。它來源於e^ix=cosx+isinx(複數的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。

“函式相等”與“恆等式”之間有什麼關係,由“恆等式”能得出“函式相等”嗎?

數學上,恆等式是無論其變數在給定的取值範圍內取何值,等式永遠成立的算式。恆等式有多個變數的,也有一個變數的,若恆等式兩邊就一個變數,恆等式就是兩個 解析式之間的一種關係。給定兩個解析式,如果對於它們的定義域(見函式)的公共部分(或公共部分的子集)的任一數或數組,都有相等的值,就稱這兩個解析式 是恆等的。

相關性質為:

1.若y=f(x)與y=g(x)有相同的定義域,對於定義域內的任一個x均有f(x)=g(x)則y=f(x)與y=g(x)是相等函式,同時兩解析式必相同。

2.若y=f(x)與y=g(x)是相等函式,則兩個函式的解析式相同,於是其中的參數都能對應相等。

不等式

一般地,用純粹的大於號“>”、小於號“<”連線的不等式稱為嚴格不等式,用不小於號(大於或等於號)“≥”、不大於號(小於或等於號)“≤”連線的不等式稱為非嚴格不等式,或稱廣義不等式。總的來說,用不等號(<,>,≥,≤,≠)連線的式子叫做不等式。

通常不等式中的數是實數,字母也代表實數,不等式的一般形式為F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等號也可以為<,≤,≥,> 中某一個),兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域,不等式既可以表達一個命題,也可以表示一個問題。

例題

1.下列式子可以用“=”連線的是( )

A.5+4_______12-5 B.7+(-4)______7-(+4) C.2+4×(-2)______-12 D.2×(3-4)_____2×3-4

2.下列等式變形錯誤的是( )

A.由a=b得a+5=b+5; B.由a=b得- a9 =- b9

C.由x+2=y+2得x=y; D.由-3x=-3y得x=-y

3.運用等式性質進行的變形,正確的是( )

A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果 ac = bc ,那么a=b;

C.如果a=b,那么ac = bc D.如果a2=3a,那么a=3

答案:1:B,2:D,3:C

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